第二章_系统的数学模型

第二章 系统的数学模型

2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。

解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有

c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x

0 即 m x

0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有

(x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x

-x 0)=k 2x 0 消除中间变量有

c(k 1+k 2)x

0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有

c(x

i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x

0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。

解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有

⎰+

=i d t C i R u o 221

1

1i R u u o i =-

dt i i C u u o i ⎰-=

-)(1

11

消除中间变量，并化简有

i

i i o

o o u R C u C C R R u

R C u R C u C C R R u

R C 1

22112211

22112211

)(1

)1(+++=++++

（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有

dt i C i R u u o i ⎰+

+=1

11

i R dt i C u o 221

+=

⎰

消除中间变量，并化简有

i i o o u C u R u C C u

R R 2

221211

)11()(+=+++

2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。

解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：

图 2.5

M=J θ ＋C m θ

＋Rk(R θ－x) (1)

K(R θ－x)=m x

＋c x (2) 消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程

mJ θ（4）＋（mC m ＋cJ ）θ ＋(R 2km ＋C m C ＋kJ) θ ＋k(cR 2＋C m ) θ =m M

＋c M ＋k M 2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y ∙∙∙

+15y ∙∙

+50y ∙

+500y=r ∙∙

+2r (b) 5y ∙∙

+25y ∙

=0.5r ∙

(c) y ∙∙+25y=0.5r (d) y ∙∙

+3y ∙

+6y+4ydt ⎰=4r

解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) 3s Y(s) + 152s Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s)

=2s R(s) + 2R(s)

∴ Y(s)/R(s) = 232

2

1550500

s s s s ++++ (b) 52s Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)

∴ Y(s)/R(s) =

2

0.5525s

s s

+ (c) 2s Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)

∴ Y(s)/R(s) =

20.5

25s + (d) 2s Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 41

s Y(s) = 4R(s)

∴ Y(s)/R(s) = 3

2

4364

s

s s s +++ 2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－22t t e e --+。试求系统的传递函数。 解：由传递函数的定义有

()i X s =

1s

Y(s) =

112

21

s s s -+

++ ∴ Y(s)/()i X s = 22

262

32

s s s s ++++ 2.8 输出y （t ）与输入x （t ）的关系为y （t ）=2x （t ）+0.5x 3（t ） （a ）求当工作点分别为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值。

（b ）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。

解：（a ）将x 0=0, x 0=1, x 0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x 3(t)中，即得当工作点为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值分别为y 0=0,y 0=2.5,y 0=8

(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x 0,y 0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得

Y 0+△y=2x 0+0.5x 03+(2+1.5x 2)∣x=x0·△x

△y=（2+1.5x 2）∣x=x0△x

若令x=△x,y=△y 有 y=（2+1.5x 02）x 当工作点为x 0=0时,y=（2+1.5x 02）x=2x 当工作点为x 0=1时,y=（2+1.5x 02）x=3.5x 当工作点为x 0=2时,y=（2+1.5x 02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式ρ

p

cwx Q v

2=,，式中，Q 为通过节流阀流口的

流量；P 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；

w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。试以Q 与P 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。

解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(p x F Q v =在预定工作点),(οοp x F v 处

按泰勒级数展开为：

),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v v

x p x x F

∆∂∂∙)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂∙)(00,)(+…

消除高阶项，有：