根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式的 综合应用
授课人：张海燕
知识要点
ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) • 一元二次方程
的根的判别式 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，Δ＞0 • 定理1 方程有两个不等实数根. ax2 +bx +c = 0(a ≠ 0) 中，Δ=0 • 定理2 方程有两个相等实数根. ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，Δ＜0 • 定理3 方程没有实数根.
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A． k > −1 B. ． C. k < 1 D.
k > −1 且 k ≠ 0
k <1 且 k ≠ 0
变式一
已知关于x的一元二次方程 已知关于 的一元二次方程
x − 2(m +1)x + m − 2m − 3 = 0
2 2
的两个不相等的实数根中， 的两个不相等的实数根中， 有一个根为0， 的值。 有一个根为 ，求m的值。 的值
其他…… 其他
张海燕
题型③ 应用根的判别式判 ③ 断三角形的形状。 断三角形的形状。
已知：a、b、c为∆ABC的三边， 当m>0时，关于x的方程 c( x 2 + m) + b( x 2 − m) − 2ax = 0 有两个相等的实数根。判断∆ABC 的形状，并且说明理由。
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2 （1）再次强调：根的判别式是指 ∆ = b − 4ac
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为 一般形式，以便正确找出a、b、c的值。 （3）如果说方程有实数根，即应当包括有 两个不等实根或有两相等实根两种情况， 此时 b 2 − 4ac ≥ 0 切勿丢掉等号。 （4）根的判别式 b 2 − 4ac 的使用条件， 是在一元二次方程中，而非别的方程中， 因此，要注意隐含条件 a ≠ 0
（2）若方程有两个不等实数根，则m的 若方程有两个不等实数根， 取值范围是 （3）若方程有实数根，则m的取值范围 若方程有实数根， 是
（4）若方程有无实数根，则m的 若方程有无实数根， 取值范围是
若关于x的一元二次方程 若关于 的一元二次方程 kx − 2 x − 1 = 0 有两个不相等的实数根， 的取值范围是 的取值范围是（ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
题型① 题型①
• 例1：不解方程，判断下列方 ：不解方程， 程的根的情况： 程的根的情况：
（1） 2 x + 3 x − 4 = 0
2
x 2 − 2kx − 1 = 0 （2）
1 2 2 关于x 关于x的方程 x − (m + 3) x + m = 0 题型② 题型② 4 若方程有两个相等实数根， （1）若方程有两个相等实数根，则m的 取值范围是
∆ = b 2 − 4ac
知识要点
• 根的判别式可以逆用，即反过来 也是成立的。 • 定理4 ax + bx + c = 0(a ≠ 0) 中，方程有 两个不等实数根 Δ＞0. • 定理5 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)中，方程有 5 两个相等实数根 Δ＝0. • 定理6 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)中，方程没 有实数根 Δ＜0.
变式二
• 讨论关于 的方程 讨论关于x的方程
(m − 3) x − 2(m + 1) x + m + 1 = 0
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的根情况。 的根情况。
一元二次方程根的判别式的 综合应用
根的判别式的基本知识点 不解一元二次方程， 不解一元二次方程，判断根的情况
根据方程根的情况， 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围