从几个生活实例看数学建模及其应用

从几个生活实例看数学建模及其应用

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：

从几个生活实例看数学建模及其应用

［内容摘要] 本文通过几个生活中的事例，并运用数学建模，来分析问题,以便更方便的得出解决问题的方案。从中通过将数学建模的抽象理论实例化，生动化，我们能够更清楚看出数学在生活中无处不在,无处不用。

［关键词] 数学建模ﻩ生活数学

数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，与生活是息息相关的。作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学相当的意义。在各种不同的领域中,人们一直在运用数学建模来描绘，刻画某种生活规律或者生活现象，以便找到其中解决问题的最佳方案或得到最佳结论。例如,运用模拟近似法建模的方法，在社会科学，生物学,医学,经济些学等学科的实践中,来建立微分方程模型。在这些领域中的一些现象的规律性仍是未知的,或者问题太过复杂,所以在实际应用中总要通过一些简化，近似的模型来与实际情况比对，从而更加容易的得出规律性。

本文通过数学模型在生活中运用的几个例子，来了解，探讨数学模型的相关知识。

一、数学模型的简介

早在学习初等代数的时候，就已经碰到过数学模型了,例如在三个村庄之间建立一个粮仓，使其到三个村子的距离只和最短。我们可以通过建立方程组以及线性规划来解决该问题。

当然,真实实际问题的数学建模通常要复杂得多,但是建立数学

建模的基本内容已经包含在解决这类代数应用题的过程中了。那就是:根据建立模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设；用字母表示待求的未知量；利用相应的物理或其他规律，列出数学式子;求出数学上的解答；用这个答案解释问题；最后用实际现象来验证结果。

一般来说，数学模型可以描述为,对于现实世界的一个特定对象,为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设,运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

二、数学模型的意义

1)在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地。

2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。

3)数学迅速进入一些新领域,为数学建模开拓了许多新的处女地。

三、数学建模实例

例1、某饲养场每天投入６元资金用于饲养、设备、人力，估计可使一头６0ｋg重的生猪每天增重2.5ｋg。目前生猪出售的市场价格为12元/kｇ,但是预测每天会降低０.１元，问该场应该什么时候出售这样的生猪?

问题分析投入资金可使生猪体重随时间增长,但售价随时间

减少，应该存在一个最佳的出售时机,使获得利润最大。根据给出的条件,可作出如下的简化假设。

模型假设每天投入6元资金使生猪的体重每天增加的常数

为ｒ（=2.5k ｇ);生猪出售的市场价格每天降低常数g （=０.１元）。

模型建立 给出以下记号:t ~ 时间(天)；w ～ 生猪体重;

P ~ 单价（元/kg ）; R ~ 出售的收入(元);Q ～ 纯利润（元);

C ~ ｔ天投入的资金（元）。

按照假设,60( 2.5),12(0.1).w rt r p gt g =+==-=又知道

,6,R pw C t ==再考虑到纯利润应扣掉以当前价格(12元/kg ）出售

60ｋg 生猪的收入，有1260,Q R C =--⨯得到目标函数（纯利润)为

()(12)(60)6720Q t gt rt t =-+-- ﻩ (１)

其中ｒ=２.5,g=0.1 ． 求(0)t ≥使()Q t 最大。

模型求解 这是求二次函数最大值问题,用代数或微分法

容易得到 6303r g t gr

--= (2） 当r ＝２．５ , g=0．１时,t=40，(36)324Q =,即10天后出售，可得最大纯利润324元。

例2、（渔船出海问题)讨论渔业资源的最大经济效益模型,这里用出海渔船的数量作为控制函数。实际上,捕鱼业的具体做法是等渔场中鱼量增长到相当大以后,才派出一定数量的渔船进行捕捞。 模型假设1ﻩ、渔场鱼量()x t 的自然增长服从logistic 规律，单位时间捕捞量h 与渔船数量()u t 和渔场鱼量()x t 成正比，在捕捞条件下满足 ()()(,)x t f x h u x =- ﻩ (1)

()(1)x f x rx N

=-ﻩ ﻩ (2) ﻩﻩ(,)()()h u x qu t x t = ﻩ (3)

ｒ ，Ｎ 同前,q 是每只渔船单位时间(如每天）的捕捞率(相对于x 而言)。()u t 视为连续变量，非整数部分理解为在时间内进行捕捞。 ﻩ 2、初始时刻渔场鱼量

ﻩ(0),1N x K K =>>ﻩ ﻩﻩ (4)

(0)x 很小。在时间0t τ≤≤内不派鱼船出海。t τ>以后出海渔船的数量保持常数U ,即()u t 的形式为

ﻩﻩ{0,0,()t U t u t ττ≤≤>=ﻩ ﻩ ﻩ (5)

而τ，U 为待定参数,捕捞期间()t τ>渔场鱼量x 保持稳定。 ３、鱼的出售单价为p ，每只渔船单位时间(天）的运费为c,通货膨胀率或称折扣率因子为δ。

建模与求解 在假设１和3下,单位时间的利润（折合到初始时刻）为()t e ph cu δ--,模型的目标函数是以()u t 为控制函数的长期效益,即归纳为如下的泛函极值问题：

(())[((),())()][()]()t t J u t e ph u t x t cu t dt

e pqx t c u t dt

δδ∞

-∞-=-=-⎰⎰ ﻩ ﻩ(６）

()(1)()x x t rx qu t x N

=-- ﻩﻩ (7) 因为假设2给出了控制函数()u t 的形式(5)，所以（6),（７)可转化为函数极值问题。

ﻩ 当0t τ≤≤时0,()u x t =容易由方程（７)在初始条件(４)下解出;当t τ>时,()u U x t =要保持在某一变量不变（假设2),这个常量可由（7）