高考复习：空间几何体的结构特征及三视图与直观图

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图

三视图与直观图

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这

些特征描述现实生活中简单物体的结构．

(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易

组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画

法画出它们的直观图．

(3)会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解

空间图形的不同表示形式．

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．

知识点一空间几何体的结构特征

1．多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的形成

几何体旋转图形旋转轴

圆柱矩形任一边所在的直线

圆锥直角三角形任一直角边所在的直线

圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线

球半圆直径所在的直线

易误提醒(1)棱台可以看成是由棱锥截得的，但截面一定与底面平行．

(2)球的任何截面都是圆．球面被经过球心的平面截得的圆叫作大圆，大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫作小圆，小圆的半径小于球的半径．必记结论球的截面的性质

(1)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；

(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r＝R2－d2.

[自测练习]

1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()

A．棱柱的侧棱长都相等

B．棱锥的侧棱长都相等

C．三棱台的上、下底面是相似三角形

D．有的棱台的侧棱长都相等

解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．

答案：B

2．如图，在球中被平面所截面的截面小圆的半径为2，球心半径为3，则球心到截面圆心距离为________．

解析：由条件知r＝2，R＝3，

∴r2＋d2＝R2，∴d＝R2－r2＝ 5.

答案： 5

知识点二空间几何体的三视图

1．三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

2．三视图的画法

(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．

易误提醒(1)画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示．

(2)一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．

[自测练习]

3．(2016·深圳调研)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是()

解析：由于三视图可见部分用实线画出，不可见部分用虚线画出，故选B. 答案：B

4．某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为( )

A ．圆锥

B ．三棱锥

C ．三棱柱

D ．三棱台

解析：根据俯视图与侧视图，可得该几何体为三棱柱． 答案：C

知识点三 空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是

1．原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°或135°，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直．

2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

必记结论 斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”⎩⎪⎨⎪

⎧

坐标轴的夹角改变与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半

图形改变

“三不变”⎩⎪⎨⎪

⎧

平行性不改变与x ，z 轴平行的线段的长度不改变

相对位置不改变

[自测练习]

5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )

解析：根据斜二测画法的规则知，选A.

答案：A

考点一空间几何体的结构特征|

1．给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．

其中正确命题的序号是()

A．①②③B．②③

C．③D．①②③④

解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错；对于②，截面与底面不一定平行，故②错；对于④，棱台的侧棱延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④错；由面面垂直的判定及性质知③正确，故选C.

答案：C

2．下列结论中正确的是()

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，B错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边