从阴影恢复形状

第7讲
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第8页
8.1.1 阴影与形状
将两个平面和它们法线对应的梯度点都投影到重 合的梯度坐标与空间坐标中
S和G同号，凸结构
S和G异号，凹结构
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第9页
8.1.2 利用单目图象求解照度方程
在图象上对一个单独点亮度的测量只能提供 一个约束，而表面的朝向有两个自由度
表面最速上升方向与x轴的夹角是s，tans = p/q
在最速上升方向上的斜率是
取步长为
m(s ) p2 q2 f 1[E(x, y) ]
p 2 q2 ds
d x pds
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d y qds
d z ( p2 q2 )ds f 1[E(x, y)]ds
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p
q(n1) q (n) 1 E(x, y) R( p(n) , q(n) ) R(n)
E(x, y) I (x, y)r
1
p2 q2 1
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8.1.1 阴影与形状
一般情况（i e）
cos i [ p q 1]T • [ pi qi 1]T
( ppi qqi 1)
[ p q 1]T • [ pi qi 1]T
1. 线性情况
R( p, q) f (ap bq)
ap bq f 1[E(x, y)]
m( ) p cos qsin
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8.1.2 利用单目图象求解照度方程
选一个特定的方向0，这个方向上的斜率是
m(0 )
ap bq a2 b2
第8章 景物恢复：单图象
单目单幅 （2.4.3小节）
8.1 从阴影恢复形状 8.2 纹理与表面朝向 8.3 由焦距确定深度 8.4 根据三点透视估计位姿
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8.1 从阴影恢复形状
阴影：亮度的空间变化 表面亮度的空间变化 表面形状
8.1.1 阴影与形状 8.1.2 利用单目图象求解照度方程
p2



p x

p 2 y

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0
q2

q x

q 2 y

0
转变成最小化如下总误差问题
(x, y) E(x, y) R( p, q)2 (p)2 (q)2
xy
p(n1) p(n) 1 E(x, y) R( p(n) , q(n) ) R(n)
dq vd x wd y
d p ( pu qv)ds 和 dq ( pv qw)ds
y q
z p2 q2
p Ex 2f'
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q E y 2f'
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8.1.2 利用单目图象求解照度方程
3. 平滑约束的一般情况
认为（在物体轮廓内）物体表面是光滑的
p 2 q 2 1 pi2 qi2 1
E(x, y) I(x, y) r
( ppi qqi 1)
p2 q2 1 pi2 qi2 1
图象照度约束方程
E(x, y) R( p, q)
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8.1.1 阴影与形状
面元朝向变化而导致的图象灰度变化
第13页
8.1.2 利用单目图象求解照度方程
2. 旋转对称情况
为确定亮度梯度可将图象照度方程对x和y求导
u 2z x2
2z v 2z
x y
y x
w 2z y2
在图象平面取步长(dx, dy)而带来的dp和dq的变化
x p
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d p ud x vd y

1 f 1[E(x, y)] a2 b2
从一个特定的图象点开始
先取一个小步长ds，
此时z的变化是dz = mds
dz 1 f 1[E(x, y)] ds a2 b2
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8.1.2 利用单目图象求解照度方程
先求在表面上一点(x0, y0, z0)处的解，将前面的微分 方程对z积分得到：
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8.1.1 阴影与形状
把梯度坐标同样布置在XY平面上
N = [p q –1]T V = [0 0 –1]T
cos e cos i [ p q 1]T • [0 0 1]T
1
[ p q 1]T • [0 0 1]T ( p 2 q 2 1
一个3-D表面可表示为： z = f (x, y)
其上的面元法线可表示为： N = [p q –1]T。
可见3-D空间中的表面从 其取向来看只是2-D梯度 空间的一个点G( p, q)
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8.1.1 阴影与形状
梯度空间法：理解由平面相交而形成的结构
两个平面S1和S2相交 凸结构/凹结构 交线l的投影l' 与G1和G2间的连线垂直
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8.1.1 阴影与形状
沿N的反射强度
E(x, y) I (x, y)r cosi
如果光源来自观察者背后且为平行光线，则 cosi = cose。再假设物体具有朗伯散射表面，即表 面反射强度不因观察位置变化而变化，则观察到 的光线强度可写成
E(x, y) I(x, y)r cose
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8.1.1 阴影与形状
层次的变化分布取决于4个因素： ① 物体（正对观察者）可见表面的几何形状 ② 光源的入射强度和方向 ③ 观察者相对物体的方位和距离 ④ 物体表面的反射特性
• 面元的法向矢量N • 光源入射强度和方向矢量I • 视线矢量V
• 表面反射特性r
z(s) z0
1 a2 b2
s

0
f
1[E(x, y)]ds
当反射图是梯度元素 线性组合的函数时， 特征曲线是平行直线
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8.1.2 利用单目图象求解照度方程
2. 旋转对称情况
R( p, q) f ( p2 q2 )
p2 q2 f 1[E(x, y)]