[经济学]第六章 回归模型的函数形式
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（随机形式）
• 令 Yi* ln Yi ，X i* ln X i 有
•
1-5
Yi*＝1＋2 X i* ui
体现了双 对数。也 称为对数 线性(loglinear)模 型。
第一节 如何度量弹性：双对数模型
双对数模型性质 • 斜率 2 度量了Y 对X的弹性，即X一个（微小）变化引
1-9
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-10
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
1-11
博彩支出的Log-linear 模型
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-12
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-13
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
双对数模型(对数-对数模型) 半对数模型/增长率模型 线性趋势模型 线性-对数模型 倒数模型 多项式回归模型
1-3
前
言
传统回归模型 • 刻画解释变量的绝对增加量 与应变量的绝对增加 量 间的关系 扩展函数形式模型 • 刻画解释变量的相对增加量 与应变量的相对 增加量 间的关系 度量指标 • 斜率— 绝对变化量 • 弹性系数— 相对变化量 实例 • 价格每变化1个%点，对商品需求的增加量？ • 价格每增加1个货币单位，对商品需求的增加量多少个% 1-4 点？
1-15
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-16
第一节 如何度量弹性：双对数模型
生产函数例子的双对数回归结果：
1-17
例二：表 9-3（精要）
Energy demand in OECD countries, 1960-1982.
d (ln X ) 1 dX ，变换形式有 d (ln X ) dX X X
• 微积分算子d 表示无穷小，d (ln X ) ln X
dX X • d (ln X ) 可写成 ln X X X X t X t 1 • 时间序列中， ln X ln X t t 1 X t 1
第一节 如何度量弹性：双对数模型
考虑如下函数形式 2 Y AX • （6-1） i i
• 其中，Y是博彩支出，X为个人可支配收入。
变量X非线性 dY • A 2 X ( 2 1) dX
恒等式变换
• 令 1 ln A 有
ln Yi＝ln A＋2 ln X i ln Yi＝1＋2 ln X i
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
只有解释 变量为对 数形式， 得名半对 数模型！
1-21
例三：表 9-4（精要）
Population of United States (millions of peoHale Waihona Puke Baidule), 1970-1999.
r
称为复合增长率(compound growth rate)
ˆ ln(1 r ) 2 ˆ ) 1 r anti log( 2
例子中美国人口复合增长率 为0.9848%
1-25
第三节 线性趋势模型
线性趋势模型 • Yt 1 2t ut
• Y 对时间t 回归，t 按时间顺序度量 • t 称为趋势变量(trend variable)
• 散点图，但多元回归不合适 • R2不可以直接比较，也不是好的标准！！ • 永远第一位的准则：
• 分析侧重点
1-14
第二节 多元对数线性模型
三变量对数线性模型
ln Yi＝1＋2 ln X 2i＋3 ln X 3i ui
• 偏弹性系数
一个典型适用点：柯布-道格拉斯生产函数 • Y AL K • 1 规模报酬递减 • 1 规模报酬递增 • 1 规模报酬不变
起Y变化的百分比 • 实践中应用广泛。
弹性 • Y 变动的百分比 Y/Y 100 E X变动的百分比 X/X 100 Y X X 斜率 ( ) X Y Y
1-6
在微积分中：
d (Y ) Y
第一节 如何度量弹性：双对数模型
对数和百分比
• 实践中，lnX的一个微小变化近似等于X的相对或百分比 变化。 • 理由如下：
1-7
第一节 如何度量弹性：双对数模型
不变弹性模型：与X取值无关
1-8
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子：
Weekly lotto expenditure (Y) in relation to weekly personal disposable income (X) ($)，表9-1
计 量 经 济 学 基 础 与 应 用
1-1
第六章
回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前
言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容 • 经济变量的非线性现象（参数为线性，但变量为非线性） • 非线性回归模型的线性化解 • 各种特殊的回归模型模型
1-22
第二节 如何测定增长率：半对数模型
美国人口增长率的半对数回归结果：
1-23
例三：图 9-3（精要）
1-24
Semilog model.
第二节 如何测定增长率：半对数模型
瞬时增长率与复合增长率 ˆ 称为瞬时增长率(instantaneous growth rate) • 2
• •
1-18
第一节 如何度量弹性：双对数模型
OECD国家能源需求例子的双对数回归结果：
围绕这个 系数能讨 论什么？
1-19
第二节 如何测定增长率：半对数模型
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率 •
1-20
第二节 如何测定增长率：半对数模型
• 令 Yi* ln Yi ，X i* ln X i 有
•
1-5
Yi*＝1＋2 X i* ui
体现了双 对数。也 称为对数 线性(loglinear)模 型。
第一节 如何度量弹性：双对数模型
双对数模型性质 • 斜率 2 度量了Y 对X的弹性，即X一个（微小）变化引
1-9
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子双对数回归结果：
1-10
双对数模型拟合直线
LnY
LnX
1-11
博彩支出的Log-linear 模型
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子线性回归结果：
1-12
线性模型拟合直线
线性回归结果
1-13
第一节 如何度量弹性：双对数模型
如何设定模型的函数形式？
双对数模型(对数-对数模型) 半对数模型/增长率模型 线性趋势模型 线性-对数模型 倒数模型 多项式回归模型
1-3
前
言
传统回归模型 • 刻画解释变量的绝对增加量 与应变量的绝对增加 量 间的关系 扩展函数形式模型 • 刻画解释变量的相对增加量 与应变量的相对 增加量 间的关系 度量指标 • 斜率— 绝对变化量 • 弹性系数— 相对变化量 实例 • 价格每变化1个%点，对商品需求的增加量？ • 价格每增加1个货币单位，对商品需求的增加量多少个% 1-4 点？
1-15
例一：表 9-2（精要）
Real GDP, employment, and real fixed capital, Mexico, 1955-1974.
1-16
第一节 如何度量弹性：双对数模型
生产函数例子的双对数回归结果：
1-17
例二：表 9-3（精要）
Energy demand in OECD countries, 1960-1982.
d (ln X ) 1 dX ，变换形式有 d (ln X ) dX X X
• 微积分算子d 表示无穷小，d (ln X ) ln X
dX X • d (ln X ) 可写成 ln X X X X t X t 1 • 时间序列中， ln X ln X t t 1 X t 1
第一节 如何度量弹性：双对数模型
考虑如下函数形式 2 Y AX • （6-1） i i
• 其中，Y是博彩支出，X为个人可支配收入。
变量X非线性 dY • A 2 X ( 2 1) dX
恒等式变换
• 令 1 ln A 有
ln Yi＝ln A＋2 ln X i ln Yi＝1＋2 ln X i
复利计算公式
Yt Y0 (1 r )t ln Yt ln Y0 t ln(1 r ) ln Yt 1 2t ln Yt 1 2t ut
只有解释 变量为对 数形式， 得名半对 数模型！
1-21
例三：表 9-4（精要）
Population of United States (millions of peoHale Waihona Puke Baidule), 1970-1999.
r
称为复合增长率(compound growth rate)
ˆ ln(1 r ) 2 ˆ ) 1 r anti log( 2
例子中美国人口复合增长率 为0.9848%
1-25
第三节 线性趋势模型
线性趋势模型 • Yt 1 2t ut
• Y 对时间t 回归，t 按时间顺序度量 • t 称为趋势变量(trend variable)
• 散点图，但多元回归不合适 • R2不可以直接比较，也不是好的标准！！ • 永远第一位的准则：
• 分析侧重点
1-14
第二节 多元对数线性模型
三变量对数线性模型
ln Yi＝1＋2 ln X 2i＋3 ln X 3i ui
• 偏弹性系数
一个典型适用点：柯布-道格拉斯生产函数 • Y AL K • 1 规模报酬递减 • 1 规模报酬递增 • 1 规模报酬不变
起Y变化的百分比 • 实践中应用广泛。
弹性 • Y 变动的百分比 Y/Y 100 E X变动的百分比 X/X 100 Y X X 斜率 ( ) X Y Y
1-6
在微积分中：
d (Y ) Y
第一节 如何度量弹性：双对数模型
对数和百分比
• 实践中，lnX的一个微小变化近似等于X的相对或百分比 变化。 • 理由如下：
1-7
第一节 如何度量弹性：双对数模型
不变弹性模型：与X取值无关
1-8
第一节 如何度量弹性：双对数模型
博彩支出的例子：
Weekly lotto expenditure (Y) in relation to weekly personal disposable income (X) ($)，表9-1
计 量 经 济 学 基 础 与 应 用
1-1
第六章
回归模型的函数形式
chapter six
Functional Forms of Regression Models
Yu Zhen
The Economic School of Jilin University
前
言
经济变量间的非线性–（复合利率，增长率，弹性系数） 主要内容 • 经济变量的非线性现象（参数为线性，但变量为非线性） • 非线性回归模型的线性化解 • 各种特殊的回归模型模型
1-22
第二节 如何测定增长率：半对数模型
美国人口增长率的半对数回归结果：
1-23
例三：图 9-3（精要）
1-24
Semilog model.
第二节 如何测定增长率：半对数模型
瞬时增长率与复合增长率 ˆ 称为瞬时增长率(instantaneous growth rate) • 2
• •
1-18
第一节 如何度量弹性：双对数模型
OECD国家能源需求例子的双对数回归结果：
围绕这个 系数能讨 论什么？
1-19
第二节 如何测定增长率：半对数模型
经济变量增长率：监控经济运行状况
考察对象： 伴随解释变量（时间）的增加，应变 量的增长率 •
1-20
第二节 如何测定增长率：半对数模型