二维形式的柯西不等式大全

若a, b, c, d都是实数, 则(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd) 2 当且仅当ad bc时, 等号成立 .
证明思路1：(代数证法)
证明 : (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2 c 2 b 2 d 2 a 2 d 2 b 2 c 2 (ac bd ) 2 (ad bc ) 2 (ac bd ) 2
例1 已知 a, b 为实数 , 证明
a
4
b
4
a
2
b a b
2 3
3 2
.
分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.
本例说明 , 在证明 不等式时, 联系经 典不等式, 既可以 启发证明思路, 又 可以简化运算 .所 以, 经典不等式是 数学研究的有力 工具 .
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了 . 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
y
P 1 ( x1 , y1 )
y
P 1 ( x1 , y1 )
| y1 - y2 |
所以, 对于任何实数 a, b, c, d ,以下不等式成立 :
a 2 b 2 c 2 d 2 | ac bd | , a 2 b 2 c 2 d 2 | ac | | bd | .
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
2.已知2 x2 3 y2 6, 求证x 2 y 11.
证明：因为2x 2 3 y 2 6, 1 4 所以 x 2 y 2 x 3 y 11. 2 3
2 2
因此x 2 y 11.
a b 3. 已知x, y, a, b R , 且 1,求x y的最小值. x y a b 解 : x , y , a , b R , 1, x y
探究一
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设a, b, c, d都是实数, 则比较 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd ) 2 大小
联
想
二维形式的柯西不等式
• 定理1:(二维形式的柯西不等式)
证明思路2：(构造向量法)
什么时候“=”成立？
设 (a, b), (c, d ),则 a 2 b 2 , c 2 d 2 ,
ac bd, 利用 , 两边平方后得证 .
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量 ,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 b2 c2 d 2
a
2
b 2 c 2 d 2
ac bd 2
| ac bd |,
a2 b2 c2 d 2 | a |2 | b |2 | c |2 | d |2 | a || c | | b || d || ac | | bd |.
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 , 求 x 2 y 的最大值.
变式 2.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 , 求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
课堂练习 1: 已知 a,b R ， a+b=1, x1 , x2 R ,
2 2
解 : 由柯西不等式(4 x 2 9 y 2 )(12 12 ) ( 2 x 3 y )2 1, 1 2 2 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号. x 2 x 3 y 由 得 2 x 3 y 1 y
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
⑵ 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
O
P2 ( x2 , y2 )
x
这个图中有什么 不等关系?
P 2 ( x2 , y2 )
O
| x1 - x2 |
x
随堂练习
1.求函数y 3 x 5 4 6 x的最大值.
解：函数定义域为 5， 6，且y 0. y 3 x 5 4 6 x
3
2
4
2
x 5 6 x 5.
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2

2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、 3、 7、 8 题
37
例1中哪4 个数分 别对应柯西不等 式①中的a, b, c, d ?
证明 根据柯西不等式, 有 a 4 b4 a 2 b2
a
2
a b b a b
2 2 3
3 2
.
运用这个定理, 我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
x y ( x) ( ( a 当且仅当 x b )2 b y

2
y)
2


a x

2
b y
ห้องสมุดไป่ตู้
2
y b )2
a x ,即 x y
a 时取等号. b
( x y )min ( a
4.若2x 3 y 1, 求4x 9 y 的最小值 , 并求最小值点 .
二维形式的柯西不等式
一、复习引入
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节, 我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.