多元复合函数求偏导数
第六节多元复合函数求偏导
f3
xe y
f1
f
3
2z
x y
e y f1
fzf12
( f 11 xe y f 13 1)
ux y
( f 21 xe y f 23 1)
x yx y
xe2 y f 11 e y f 13 xe y f 21 f 23.
21
例8 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
开始对答案
13
练习1. z y , x et , y 1 t,求 dz .
x
dt
解 ：dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(1)
t
2 et
.
14
2. z u2 ln v, u x , v 3x 2 y， 求 z , z .
y
x y
解：z z u z v
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
27
七、设z
§8-4__多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用
8.4多元复合函数的微分法在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则.8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数),(v u f z =，中间变量u 和v 都可以是x 和y 的二元函数；也可以只是某一个变量t 的函数，还可能中间变量u 和v 分别是不同个数自变量的函数，譬如u 是y x ,的函数，而v 只是x 的函数；等等。
下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出．定理8.4.1设函数),(v u f z =是v u ,的函数，),(),,(y x v y x u ψϕ==．若),(),,(y x y x ψϕ在点),(y x 处偏导数都存在，),(v u f z =在对应点),(v u 处可微，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处关于y x ,的两个偏导数都存在，且yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=的结构图，如图8-4所示.从函数结构图可以看出，z 和x 的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量u 到达自变量x ，还有一条是经中间变量v 到达自变量x 的.从公式(1)的第一式可以看出，z 和x 的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成.例8.4.1设)sin(y x e z xy+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令y x v xy u +==,，则v e z usin = 函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv ∂∂⋅=sin cos uu e v y e v ⋅+ =sin()cos()xy xye x y y e x y +++,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv ∂∂⋅=sin cos uu e v x e v ⋅+=sin()cos()xy xye x y x e x y +++. 例8.4.2设2)(2y x y x z -+=，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：令22,y x v y x u -=+=，则vu z =，函数结构图，如图8-5所示.x z ∂∂=u z ∂∂x u ∂∂⋅+v z ∂∂xv∂∂⋅=1ln v v vu u u -+ =2222122()()()ln()x y x yx y x y x y x y ----+++-,y z ∂∂=u z ∂∂y u ∂∂⋅+v z ∂∂yv∂∂⋅=12ln (2)v v vu y u u y -+- =22221222()()2()ln()x y x yy x y x y y x y x y ----+-+-.2.二元复合函数求导法则的推广和变形多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论：（1）当函数z 有两个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),,(t v v t u u v u f z ===．函数结构图，如图8-6所示.因此(8-1)变形成为dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=．因为复合结果和中间变量都是t 的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数dtdz 为全导数．当函数z 有三个中间变量，而自变量只有一个，即)(),(),(),,,(t w w t v v t u u w v u f z ====．函数结构图，如图8-7所示.因此公式(8-1)可以推广成为 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=．（2）当函数z 有一个中间变量，而自变量有两个.例如),(),,(y x u x u f z ϕ==.函数结构图，如图8-8所示.此时(8-1)变形成为．yu u f y z x f x u u f x z ∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, 在上面第一个式中，xz∂∂表示在复合函数]),,([x y x f z ϕ=中，把y 看作常量，求得的z 对x 的偏导数；xf∂∂表示在复合函数],[x u f z =中，把u 看作常量，求得的z 对x 的偏导数，因此x z ∂∂和xf ∂∂表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如),(),(y x u u f z ϕ==，函数结构图，如图8-9所示.此时(8-1)变形成为．yu du dz y z x u du dz x z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂,(3)当函数z 有两个中间变量，而自变量有三个，即),,(),,,(),,(w v u y y w v u x x y x f z ===．函数结构图，如图8-10所示。
复合函数的偏导数
由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z tz u源自u tz v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
证: 把 u (x2 y2 )看作是由函数
u (z)及 z x2 y2
复合而成，分别对 x 与 y求导得
u (z) 2x, u (z) 2y,
x
y
从而 x u y u 2xy(z) 2xy(z) 0.
y x
例8 设z f (u, x, y), 其中 f 具有对各变量的连续的 二阶偏导数，且 u xey , 求 2 z . yx
ux
zv
z z u z v z w y u y v y w y
wy
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
其中 fij表示 f 先对第i个变量求导，再对第j个求二阶偏导.
三、小结
1、链式法则 （特别要注意课中所讲的特殊情况）
2、全微分形式不变性 （理解其实质）
思考题
设z f (u,v, x)，而u ( x) ，v ( x)，
则 dz f du f dv f ， dx u dx v dx x
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
复合函数求偏导
复合函数偏导求法：运用链式求导法。
运用链式求导时，对一个变量求导，其余变量当成常数对待。
复合函数求导规则
复合函数求导的前提：复合函数本身及所含函数都可导。
法则1：设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
法则2：设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。
链式法则
链式法则是微积分中的求导法则，用于求一个复合函数的导数，是在微积分的求导运算中一种常用的方法。
复合函数的导数将是构成复合这有限个函数在相应点的导数的乘积，就像锁链一样一环套一环，故称链式法则。
偏导数求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。
如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，那么称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。
简称偏导数。
按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
第四节 复合函数的求导法则
,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x
y) z x
(x
y) z y
zu
zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y
df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解 令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:
9.4 多元复合函数求导法则(新)
∂z 2 x = e cos y + ∂x x
∂z 1 x = −e sin y + ∂y y
18
z = f (u, v) =
u2v 2 2 , u +v ≠ 0 2 2 u +v
u =t , v =t
t 但，z = f (t, t ) = 2
dz 1 = dt 2
0,
u2 +v2 = 0
∂z du ∂z dv ≠ ∂u ⋅ dt + ∂v ⋅ dt = 0⋅1+ 0⋅1 = 0
2
常用导数符号
∂z = fv (u, v) = fv = f2′ ∂v ∂2 z ′′ = fvv (u, v) = fvv = f22 2 ∂v
称为混合偏导数
′′ ′′ ′′ ′′ 当 f12 和 f21 均连续时有 f12 = f21
3
推广: 推广 设下面所涉及的函数都可微 . 1、中间变量多于两个的情形 、中间变量多于两个的情形.
8
例 3.
u = f (x, y, z) = e
x2 + y2 +z2
, z = x sin y, 已知
2
∂u ∂u , . 可微，求 ∂x ∂ y
u
x y z
∂u ∂ f = 解: ∂x ∂x
x y
2 2 x2 + y2 +x4 sin 2 y
= 2 x (1+ 2 x sin y) e
∂u ∂ f ∂ f ∂z = + ⋅ ∂y ∂y ∂z ∂y
x
y x
y
5
z = eu sin v, u = xy , v = x + y , 求 例2. 设
7-5多元复合函数求导
(1 1.求偏导数时，应用正确的符号，如： x y ) ?
z 2.求高阶偏导数时，应用逐阶求导，如求： ?
xy
(1 xy ) x ?
(1 xy ) y ?
应 先 求 z x， 再 求 z x y = （ z x ） . y
z (x 2 y) ; 1 z x 2y ln( x 2 y ) ; 解：ln z ( x 2 y ) ln( x 2 y ) ; z x x 2y z x2 y (x 2 y) (ln( x 2 y ) 1 ); P295,1(6) x
7
一、多元复合函数求导的链式法则 I.一元函数与多元函数复合的情形： 定理1. 若函数 具有连续偏导数,则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则：
dz z d u z dv dt u dt v dt
P302,7-25
z
u
函数结构图
v
t
t
函数与中间变量、自变量关系结构的图示
z f ( u , v , w ), u ( x , y ), v x , w y
z x z u x u z v x v ,
z y
z
u y
u
z w
w y
,
z x
f
u x
u
f x
,
z y
f u
z f [ ( x, y ), ( x, y )]在点( x, y )的两个偏导数都存在,
且有
z u z v f11 f 2 1 x u x v x
z u z v f12 f 2 2 y u y v y
9(4)多元复合函数的求导法则
∂u ∂u ∂u sinθ = cosθ − ∂x ∂ r ∂θ r
∂ u ∂ u = ∂u + 1 ∂u 得 + ∂ y ∂r r 2 ∂ θ ∂x
2 2
2 2
多元复合函数的求导法则
∂u ∂u ∂u sin θ cos θ − = ∂x ∂r ∂θ r
x2 + y2 +z2
∂u ∂u 求 , ∂x ∂y
u
+2ze
x2 + y2 +z2
2 2
⋅ 2 xsin y
4 2
= 2 x (1+ 2 x2 sin2 y) ex
∂u ∂ f ∂ f ∂z + ⋅ = ∂y ∂y ∂z ∂y
+ y +x sin y
x y z
x y
= 2ye
x2 + y2 +z2
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w = + + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
u
z
x
v w
y
多元复合函数的求导法则
例2 设z = e u sin v , u = xy , v = x + y , 求 ∂z 和 ∂z . ∂x ∂y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v 解 = ⋅ + ⋅
r θ
x y
多元复合函数的求导法则
y u = F(r,θ ), r = x + y , θ = arctan x ∂ u ∂ u ∂ r ∂u ∂ θ ∂ u y ∂ u x = + = + ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ∂ y ∂r r ∂ θ r 2 r x ∂u ∂u cos θ sin θ + u = ∂r ∂θ r y θ
多元复合函数求偏导 -回复 -回复
多元复合函数求偏导-回复-回复如何通过多元复合函数求偏导？引言：多元复合函数是在多元函数的基础上，通过将多个函数组合起来，形成一个更复杂的函数。
在实际问题中，我们经常会遇到需要求解多元复合函数的偏导数的情况。
在本文中，我们将详细介绍如何通过一步一步的方法来求解多元复合函数的偏导数。
一、基本概念和定义首先，我们来回顾一下一元函数和多元函数的概念。
一元函数是只有一个自变量的函数，例如y = f(x)。
而多元函数是有多个自变量的函数，例如z = f(x, y)。
多元函数可以看作是一元函数的扩展，其中自变量的个数可以是任意多个。
对于多元函数，我们可以用一个向量来表示自变量，例如x = (x₁, x₂, ..., x_n)，其中x₁, x₂, ..., x_n 是自变量的分量。
类似地，我们可以用一个向量来表示函数的导数，例如∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂x_n)，其中∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ..., ∂f/∂x_n是函数f关于对应自变量的偏导数。
二、链式法则在求解多元复合函数的偏导数时，我们经常使用的方法之一是链式法则。
链式法则指导我们如何通过多元复合函数的偏导数来求解最终函数的偏导数。
设有两个多元函数y = f(u, v) 和u = g(x₁, x₂, ..., x_n)，其中u, v 是自变量，而x₁, x₂, ..., x_n 是自变量。
我们希望求解函数y = f(g(x₁, x₂, ..., x_n), v) 对应的偏导数∂y/∂x₁, ∂y/∂x₂, ..., ∂y/∂x_n。
根据链式法则，我们可以得到如下的关系式：∂y/∂x₁= (∂y/∂u) * (∂u/∂x₁)∂y/∂x₂= (∂y/∂u) * (∂u/∂x₂)...∂y/∂x_n = (∂y/∂u) * (∂u/∂x_n)其中∂y/∂u 表示函数f的偏导数关于变量u的偏导数，而∂u/∂x₁, ∂u/∂x ₂, ..., ∂u/∂x_n 分别表示函数g的偏导数关于变量x₁, x₂, ..., x_n 的偏导数。
高等数学《复合函数的求导法则》
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
例：z f (u,v, w) , u u(t ) , v v(t ) , w w(t ) ,
则 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
f
(
xy,
x y
)，f
可微，求
z
x
和
z
y
.
解
zx
f1
y
f
2
(
1 y
)
y
f1
1 y
f2 .
zy
f1 x
f2
(
1 y2
)
x
f1
x y2
f2 .
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
(2) 设u ( x, y)、v ( x, y)、w w( x, y)
都在点( x, y)具有对 x 和 y 的偏导数，复合函数
2、全微分形式不变性 ( 理解其实质 ) 3、求复合函数偏导数时，由于复合关系比较复 杂，用链式法则求偏导数时，首先要搞清楚哪些 是自变量，哪些是中间变量，其次要分清是求偏 导数或是全导数.
总结：
1、多元函数偏导数的类型很多，有求偏导数， 有证明偏导数存在，有讨论可微与连续及与偏 导数的关系问题.
——全导数公式
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t); 由于函数z f (u, v)在点(u,v)有连续偏导数
z zuu zvv 1u 2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
zu
u t
zv
v t
高等数学多元复合函数的求导法则
全微分形式不变性的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u z v dy u y v y
z u dx u dy z v dx v dy u x y v x y
e [ y sin( x y) cos(x y)]d x 且复合结构与原来的 f (u,v) 完全相xy同
利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量
来处理
exy[x sin(x y) cos(x y)]d y
z exy[x sin(x y) cos(x y)] y
z
uvw
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u, v) , u (x, y), v (x, y)
z z u z v x u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
u v
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv t dt t dt
uv
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
f21 1
f22 x y]
为简便 起f11见
9-6-多元复合函数求导
z yy = [ f11 ⋅ x + f12 ( −2 y )] x + [ f21 ⋅ x + f22 ⋅ ( −2 y )]( −2 y ) − f2 ⋅ 2
例 10 z = f (2 x − y, y sin x ) ，其中 f 具有连续的二阶偏导数， 具有连续的二阶偏导数，求
∂2 z 。 ∂x∂y
解
dz ∂z du ∂z dv ∂z = ⋅ + ⋅ + dt ∂u dt ∂v dt ∂t
= ve − u sin t + cos t = e cos t − e sin t + cos t
= e t (cos t − sin t ) + cos t .
注意记号
t t
t
∂u ∂u 例3 u = f ( x , y , z ), z = sin( x + y )计算 ∂x , ∂y 。 x
二、全微分形式不变性
设函数 z = f ( u, v )具有连续偏导数， 具有连续偏导数，则有全微分
∂z ∂z dz = du + dv ;当 u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y ) ∂u ∂v ∂z ∂z 时，有dz = dx + dy . ∂x ∂y
全微分形式不变性的实质：
∂v ∂f ∂w + , ∂x ∂w ∂x ∂v ∂f ∂w + . ∂y ∂w ∂y
z
u v w
x
y
总结
1. 公式的个数 = 最终变量的个数 2. 每个公式中的项数 = 中间变量的个数 3. 每一项的结构类似于一元符合函数的链式法则
一种特殊情况
令 v = x,
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微， 则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中 视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分 形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y
第7-4节(多元复合函数的求导法则)
∂ z ∂f ∂u ∂f = ⋅ + . ∂ y ∂u ∂ y ∂y
区 别 类 似
两者的区别
中的 y 看作不变而对 x 的偏导数
把 z = f ( u, x , y )
把 复 合 函 数 z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不
变而对 x 的偏导数
江西理工大学理学院
u
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂y u u = e sin v ⋅ x + e cos v ⋅ 1 = e u ( x sin v + cos v ).
江西理工大学理学院
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
例 1 设 z = e uv ，而 u = sin t ， v = t 2 ，
dz 求 . dt
解
dz ∂z du ∂z dv = ⋅ + ⋅ dt ∂u dt ∂v dt
= ve uv ⋅ cos t + ue uv ⋅ 2t
= te
t 2 sin t
( t cos t + 2 sin t ).
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u
x
z
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ , ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ = + ⋅ . ∂ y ∂u ∂y ∂v ∂y
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类似地再推广，设 u = φ ( x , y ) 、 v = ψ ( x , y )、
w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，
多元复合函数求偏导数课件
（2）若曲面方程为（显函数形式）
z f (x, y)
则可写为隐函数形式 f (x, y) z 0
曲面上
M
点的法向量为
0
n fx, fy, 1
（六）方向导数与梯度
1. 方向导数的定义
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
2．计算公式：若 z f (x, y) 可微，则
2, 6
所求方程为 即
2
x
4 6
y
2 6
z
2 6
0
2x y z 2 6 0
求
u
x2 a2
y2 b2
z2 c2
在点
M ( x0 ,
y0 , z0 )
处沿点
的向径 r0 的方向导数，问 a,b,c 具有什么关系时
此方向导数等于梯度的模?
解
r0 x0 , y0 , z0 ,
r0
偏导数，则对于每一点(x, y)，向量
gradf
f x
,
f y
称为z f (x, y)在点 (x, y)的梯度。
梯度与方向导数的关系：
梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值。
（七）函数的极值﹑最大值和最小值
1．极值的必要条件：
若 z f (x, y) 在点 x0, y0 处有极值，则
设 是一个点集，如果对于每一点P
变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它
对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
z f (P)
• 当 P R 时， z f (P) f (x) 为一元函数；
• 当 P R2 时，
z f (P) f (x, y) 为二元函数；
多元复合函数求偏导
多元复合函数求偏导多元函数是指一个或多个自变量与一个因变量之间的函数关系。
对于多元函数中的每个自变量，我们都可以求它们的偏导数。
多元复合函数就是由多个函数复合得来的函数，偏导数的求法稍有不同。
下面将详细介绍多元复合函数求偏导的方法。
一、多元复合函数的定义多元函数可以写作f(x1,x2,...,xn)=y的形式，其中x1,x2,...,xn是自变量，y是因变量。
如果一个函数g(t)的自变量t可以表示为f中的一个或多个自变量，那么g也称为f的复合函数。
设有函数f(x,y)和g(t)且t=f(x,y)，则g(t)=g(f(x,y))是f的复合函数。
二、一元复合函数的偏导数对于单变量函数f(x)，其导数可以表示为：lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx则f的一阶导数是f'(x)=lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx对于复合函数g(f(x))，我们可以将其看作是两个函数的复合，即：g(t)=g(f(x))，其中t=f(x)对g而言，其导数可以表示为：g'(t)=lim（g(t+Δt)-g(t)）/Δ tf'(x)可以写成：f'(x)=lim（f(x+Δx)-f(x)）/Δx将f'(x)代入g'(t)中，得到：g'(t)=lim（g(f(x+Δx))-g(f(x))）/Δx将f(x+Δx)代回t中，得到：g'(t)=lim（g(f(x+Δx))-g(f(x))）/f'(x) Δx这就是一元复合函数的偏导数。
三、多元复合函数的偏导数对于多元函数f(x1,x2,...,xn)=y，其一阶偏导数可以表示为：∂f/∂xi=lim（f(x1,x2,...,xi+Δxi,...,xn)-f(x1,x2,...,xi,...,xn)/Δxi这表示当其他自变量不变时，对于xi的变化率。
如果一个函数g(t)可以写成f的一个或多个自变量的函数，那么g也称为f的复合函数。
多元复合函数的求偏导法则
dy dx
Fx Fy
【例5】 设x2 + y2 = 1，求 dy dx
解 因为F(x，y) = x2 + y2－1，
Fx 2x Fy 2 y
所以
dy dx
Fx Fy
2x 2y
x y
【例6】
设x2 + 2y2 + 3z2 = 4x，求
z x
z ，y
解
法一：直接法
两边对x求偏导，得 2x 6z z 4 x
dy dx
解
两边对x求导，得
2x 2yy 0
解得
y x
y
还有没有其他求导方法？
现由多元复合函数的求导法则推导出一元隐函数 的求导公式。
1、 设方程F(x，y) = 0确定了隐函数y = f (x)，将其代 入方程得 F[x，f (x)] = 0
两端对x求导，得
Fx
Fy
dy dx
0
若 Fy 0 ，则有
y f [( x)] 对 x 的导数为 dy dy du
dx du dx 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形。
1、两个中间变量，一个自变量
设z = f (u， )，u = (x)， (x)，
du
z
u
u
dx
z
z v
v
图7-20
x dv dx
则复合函数z = f [ (x)， (x)]的导数（或全导数）为
解 ： 其关系图如图7-21，
z x
z u u x
z
x
2u e x y2
u2
1 2x
u2
2(e2x2 y2 x) = e2x2y2 x2 y
z z u z 2u 2yexy2 1 1
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若曲线的方程表示为
y y x z z x
则在点M 0 处切向量为
T 1, y x0 z x0
2．曲面的切平面及法线 （1）设曲面方程为（隐函数形式）
F ( x, y, z ) 0
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上一点 ，则曲面在
（1）链式法则
链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构，可按照 “连线相乘，分线相加”的原则来进行 。
设 z f u, v, u x, y , v x, y ,
则 z f x, y , x, y 是 x, y 的复合函数.
（2）若曲面方程为（显函数形式）
第八章 习题课
多元函数微分学
一
基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。
2 了解二元函数的极限和连续的概念。
3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏
导数的求法。
4 掌握多元复合函数的微分法。
5 了解全微分形式的不变性。
6 掌握隐函数的求导法。
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及
法线。
8 了解方向导数的概念和计算公式。
9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向 导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法 及最大（小）值的求法。
P
二
注意
要点提示
1.从一元函数推广 2.多元函数与一元数的区别
（一）函数的概念 1.点函数的定义： 设 是一个点集，如果对于每一点 P 变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它 对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
T x t0 , y t0 z t0 ,
曲线在点 M 0处的切线方程为
x x0 y y0 z z0 x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
曲线在点 M 0 处的法线方程为
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )( z z0 ) 0
u u v u 若 1 , , , 存在， 2 z x y x y
f u, v 可微，
u x y v x y
z z u z v 则 x u x v x z z u z v . y u y v y
z
求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.
z z dz dx dy x y
（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系 • 一元函数：可导 函数可微， 一元函数：可导
连续，
• 多元函数：偏导数连续
函数的偏导数存在 函数可微 函数连续
多元函数连续
函数的偏导数存在。
（四）多元函数微分法
1．多元复合函数求导法
点 M 0 处 的法向量为
n Fx, Fy, Fz
M0
切平面方程为
Fx( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx( x0 , y0 , z0 ) Fy( x0 , y0 , z0 ) Fz( x0 , y0 , z0 )
u z v
x y
z f v f y v y y
注意：
z f 与 是不同的。 y y
2．隐函数求导法： 方法1 对方程两端求（偏）导数，然后解 出所求（偏）导数 方法2 隐函数的求导公式： 设
z z ( x, y ) 是由方程 F ( x, y, z) 0
Fy( x, y, z ) z y Fz( x, y, z )
所确定的隐函数，则
Fx( x, y, z ) z x Fz( x, y, z )
（五）微分法在几何上的应用
1．空间曲线的切线及法平面
（1）设空间曲线：
x x(t )，y y(t )，z z(t )
t为参数
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是曲线上一点，其相应
的参数为t 0 ，则曲线在点 M 0 处切向量为
若z f u, v , u x , v x ,
dz z du z dv 则 dx u dx v dx
u z v
x x
称为全导数.
设z f u( x), v( x, y), y
z f du f v 则 x u dx v x
z f ( P)
• 当 P R 时， z f ( P) f ( x) 为一元函数； 2 • 当 P R 时， z f ( P) f ( x, y) 为二元函数； 3 • 当 P R 时， z f ( P) f ( x1 , x2 , x3 ) 为三元函数； … … • 当 P R n 时， z f ( P) f ( x1, x2 , xn )为 n 元函数。
2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有 限次的四则运算和复合步骤所构成，可 用一个式子所表示的函数，称为多元初 等函数。 • 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的。
（二）偏导数与全微分 1．偏导数 （1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。
x z z f ( x x, y ) f ( x, y ) lim lim x x0 x x0 x
y z z f ( x, y y) f ( x, y) lim lim y y 0 y y 0 y
（2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数 的微分法问题，对一个变量求导，暂时将 其余变量看作常数。
2．全微分
微分公式：若z f ( x, y)的全微分存在，则