《数学物理方法》第二章 复变函数的积分

(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方
程为z(t)，将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，
可得
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【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)； (2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)； (3)沿抛物线x=t, y=t2，其中1≤ t ≤2，见图2.2(c)．
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根据复变积分性质(5)及式(2.1.15)，易得
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【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式
证明 分别作出
y1=2q/p 及
y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中，有
sinq >2q/p ； 而在闭区间[0,p/2 ]的端点，有sinq = 2q/p。
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解 (1) 直线方程为 先将 z=x+iy 代入被积表达式，
随后将 y=3x-2 代入，即有
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(2) 在1+i到2+i段 有 y=1，dy=o；
在2+i到2+4i段 有 x=2，dx=0，
因而
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(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz＝(1+i2t)dt 代入，即有
x=t, y=t2
本题沿三个不同路径的积分值相同，但是“积分与 路径无关”这个结果不是必然的，见习题2.1.1.它仅 对解析函数成立，详见2.2节．
段，xk是第k段［zk-1，zk］
上的任一点．令n→∞，且 每一段的长度|Dz|→0时， 若和式的极限
存在，且与弧段的分法及各xk的选取无关，则称此
极限为f(z)沿曲线L的积分，记作
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与实数函数的积分相似，复变函数的积分定 义为和的极限。
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§2.1.2 复变积分的计算方法
(1) 化为两个实变线积分计算． 将f(z) = u+iv及dz = dx+idy代入，即有 (2.1.3)
解析函数特有的积分性质是今后解决许ຫໍສະໝຸດ Baidu理 论与实际问题的重要基础
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§ 2.1复变积分的定义和性质
本节讨论复变积分的定义和性质; 作为第4章的预备知识，在给定条件下分 别计算f(z)及f(z)eimz沿无穷大半圆周的积 分．
§2.1.1 复变函数积分的定义
设L为复平面上的曲线，函 数f(z)在L上有定义，如图 2.1所示将曲线L任意分成n
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(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为
l ，则
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【2.1.2】试证明，若z在上半平面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关，即
则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分
证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数，只 要证明，当R→∞时这 个复数的模为零，则 式(2.1.16)得证.
C-R条件是在解析点从微分角度反映f(z)的实部 与虚部取值的关联性；柯西定理则是在解析区 域从积分的角度反映f(z)在积分回路上取值的关 联性．
在柯西定理的基础上，还将介绍解析函数的原 函数、定积分公式，以及在实际计算中非常有 用的小圆弧引理与大圆弧引理．
§2.2.1单通区域的柯西定理
定理若函数f(z)在单通区域D内解析， 则f(z)在D内沿任意闭曲线的积分为 零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1) 证明这个定理的严格证明比较复杂,
为简单起见, 我们在“f(z)在D内连续” 附加条件下证明这个定理．
先将复变积分化为两个实变积分的 线性叠加
(2.2.2)
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其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零？
设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y), Q(x,y)
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综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式，并利用题设条件
(2.1.21)
由复变积分性质(5)导出的例2.1.1和例2.1.3这两个结 论，将会启发我们怎样用留数定理计算实变积分， 见4.2节．
对于解析函数的积分，还具有一些特有的性质，由 2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公式、最大模 定理等反映．
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§2.1.3 复变积分的性质 深人浅出、学以致用
既然复变积分可归结为实变积分，因此，复变积分 的许多性质是实变积分的直接推广。对于这些性质， 我们将不加证明地叙述．
(1)若曲线L依次由n段线段l1, l2,… ln组成，则
(2)掉转积分路径的方向，积分变号，即
式中l-与l重合，但方向相反
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【2.1.4】试证明 若当引理：若z在上半平 面及实轴上趋于∞时，f(z)一致地趋于零 (与辐角无关)，则
式中m>0，CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周，参看图2.3.
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证明 当z 在CR上时，z=Reiq，由复变积
分性质(5)可得
将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分．第二项先作变换 q = p-j，再用q 表示j，两项合并后利用若当不等式，即有
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(3) 若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在，则 (2.1.10)
上式还可推广为有限多项函数和、差的情形． (4) 被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外，即
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(5) 复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线 的实变线积分，即
证明由实变函数线积分的定义出发，并利用 “矢量之和的长度不大于矢量长度之和” ， 以及复变积分的定义，即有
以及
在D内连续，则格林公式成立
由f(z)在 D内解析及 f(z)在D内连续可得u,v及 ux, uy, vz, vy 连续，将格林公式与C-R条件代入式(2.2.2)，可得
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作业- §2.1 第31页
Group 1
1. 2.1.1 2. 2.1.4*
Group 2
1. 2.1.2 2. 2.1.4*
Group 3
1. 2.1.3 2. 2.1.4*
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§2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
柯西定理是解析函数积分理论的基本定理，它 给出解析函数的一个重要性质—解析函数在其 解析区域取值的关联性．
第二章 复变函数的积分
在实变函数的微积分学中，微分法、积分 法是研究函数性质的重要方法。 同样，在复变函数中，微分法、积分法是 研究复变函数性质的重要方法和解决实际 问题的有力工具。 复变函数的积分是研究解析函数性质的重 要工具
复变积分的定义及其性质; 解析函数特有的积分性质
柯西定理、 柯西公式、 高阶导数公式 最大模定理等