3.1.1空间向量及其运算
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空间向量及运算
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
向量。
一：空间向量的基本概念
（4）若空间向量 m、n、p 满足m n, n p ，则 m p ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是———（—1—）—（—2—）（5）
变式：如图所示，长方体中 （1）写出与向量AB 相等的其余向量；
（2） 写出与向量 AA1相反的向量。 D1
A1 D
A
解：பைடு நூலகம்
C1 B1
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
探究二：空间向量如何进行加减运算？
C a+b B
b
O
A
a
a b OA OC OA AB OB
a b OA OC CA
1 3
(AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
解：(1)AB BC＝AC;
A1 G
D A
B1 M
C B
(2)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
空间向量的数乘
a a k a (k>0)
k a (k<0)
a
a
A
空AB间向量共线定理：
对于空间任意的两个
向量B，a,b,(a≠0），b 1.共线与向a量共:线如的果表充示要空条间件向量是的
有向线段所在存直在线互实相数平λ行，或使重b合=,则λ这a些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
a
及空间任意两个向量的问
题，平面O′ 向量中有
关结论仍适用于它们。
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a + b =b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加法的运算律： 加法交换律： a + b = b + a
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
练一练
化简(ABCD) (AC BD)
解：
方法一：
解：
将减法转化为加法进行化简 方法二：
AB CD AB DC
利用AB AC CB, DC DB BC
( AB CD) ( AC BD)
(AB CD) (AC BD)
AB DC AC BD
AB CD AC BD
AB DC CA BD
(AB AC) (DC DB)
AB BD DC CA
CB BC 0
AD DA 0
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
D1
AB1 B1C1 C1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1 (3) AC AB1 AD1 xAC1
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
解(1) AB1 A1D1 C1C
C B
(1)与AB相等的向量有DC, D1C1, A1B1 (2)与AA1相反的向量有A1A, B1B,C1C, D1D
探究一：空间任意两个向量是否都可以平移
到同一平面内？为什么？
B
结论：空间任意两个向量 b 都是共面O向量，所以A 它们
可用同一平面内的两条有
向线段思考表：示平。面是因否此唯凡一是？ 涉
长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
如何理解零向量的方向？
B B
A
零向量的方向是任意的
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 a、b 满足| a || b |，则 a b ；
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC A1C1 ；
加法结合律：(a + b)+c = a +(b + c)
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
阅读教材P71-72填写下表 平面向量
空间向量
定义 表示法 向量的模 相等向量
相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量
思考： 一个质量分布均匀的正三角形钢
板，重量为500N,在它的三个顶点处同时 受力，每个力与它相邻的三角形两边之间 的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢 板将如何运动？
F1
F2
O F3
G
从建筑物上找向量的影子
在空间里既有 大小又有方向 的量叫做空间
向量。
一：空间向量的基本概念
（4）若空间向量 m、n、p 满足m n, n p ，则 m p ；
（5）空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是———（—1—）—（—2—）（5）
变式：如图所示，长方体中 （1）写出与向量AB 相等的其余向量；
（2） 写出与向量 AA1相反的向量。 D1
A1 D
A
解：பைடு நூலகம்
C1 B1
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
探究二：空间向量如何进行加减运算？
C a+b B
b
O
A
a
a b OA OC OA AB OB
a b OA OC CA
1 3
(AB
AD
AA1 )
(4) AB
AD
1 2
CC1
解：(1)AB BC＝AC;
A1 G
D A
B1 M
C B
(2)AB AD AA1 AC AA1 AC CC1 AC1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
空间向量的数乘
a a k a (k>0)
k a (k<0)
a
a
A
空AB间向量共线定理：
对于空间任意的两个
向量B，a,b,(a≠0），b 1.共线与向a量共:线如的果表充示要空条间件向量是的
有向线段所在存直在线互实相数平λ行，或使重b合=,则λ这a些
向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
a
及空间任意两个向量的问
题，平面O′ 向量中有
关结论仍适用于它们。
结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
内，成为同一平面内的两个向量。
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或 减法 平行四边形法则 数乘 减法:三角形法则
规定零向量与任何向量共线
探究三：空间向量的加法是否满足交换律？
C a+b B
b
O
A
a 空间向量加法交换律： a + b =b + a
空间向量的加法是否满足结合律？
(a b) c = a (b c)
O
O
a a
b +c
A
b
B
c
C
A
b
C
Bc
(空间向量)
空间向量的加法的运算律： 加法交换律： a + b = b + a
数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
练一练
化简(ABCD) (AC BD)
解：
方法一：
解：
将减法转化为加法进行化简 方法二：
AB CD AB DC
利用AB AC CB, DC DB BC
( AB CD) ( AC BD)
(AB CD) (AC BD)
AB DC AC BD
AB CD AC BD
AB DC CA BD
(AB AC) (DC DB)
AB BD DC CA
CB BC 0
AD DA 0
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1
(3)
D1
AB1 B1C1 C1C A1
C1 B1
AC x 1.
D A
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C B
(3) AC AB1 AD1 x AC1
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1 (3) AC AB1 AD1 xAC1
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C1 B1
C
A
B
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
解(1) AB1 A1D1 C1C
C B
(1)与AB相等的向量有DC, D1C1, A1B1 (2)与AA1相反的向量有A1A, B1B,C1C, D1D
探究一：空间任意两个向量是否都可以平移
到同一平面内？为什么？
B
结论：空间任意两个向量 b 都是共面O向量，所以A 它们
可用同一平面内的两条有
向线段思考表：示平。面是因否此唯凡一是？ 涉
长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
如何理解零向量的方向？
B B
A
零向量的方向是任意的
例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；
（2）若空间向量 a、b 满足| a || b |，则 a b ；
（3）在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，必有 AC A1C1 ；
加法结合律：(a + b)+c = a +(b + c)
数乘分配律 k(a b) ka＋kb
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
具有大小和方向的量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
阅读教材P71-72填写下表 平面向量
空间向量
定义 表示法 向量的模 相等向量
相反向量 单位向量 零向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量
模为1的向量
长度为零的向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量