第七章-时间序列分析模型

线性拟合 非线性拟合
平滑法


平滑法是进行趋势分析和预测时常用的 一种方法。它是利用修匀技术，削弱短 期随机波动对序列的影响，使序列平滑 化，从而显示出长期趋势变化的规律 常用平滑方法

移动平均法 指数平滑法
移动平均法

基本思想

假定在一个比较短的时间间隔里，序列值之 间的差异主要是由随机波动造成的。根据这 种假定，我们可以用一定时间间隔内的平均 值作为某一期的估计值
xt 0 1 xt 1 p xt p t 1 t 1 q t q p 0， q 0 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t

特别当μ =0时，称为中心化MA(q)模型。
【注意】（1）MA模型总满足平稳条件 ；（2） AR(p)的假设条件不满足时可以考虑用此模型。 （3）系数敏感性较AR模型差。
MA的逆函数的递推公式

对可逆的MA模型，有
xt ( B) t ( B) I ( B) xt xt t I ( B) xt

分类

季节指数

季节指数的概念

所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期 内各时期季节性影响的相对数

季节模型
xij x S j Iij
季节指数的计算

计算周期内各期平均数
xk
x
i 1
n
ik

计算总平均数
x
n
, k 1,2, , m
x
i 1 k 1
n
m

d阶差分后，差分后序列方差齐性
ARIMA(0,1,0)模型 Var (xt ) Var ( t ) 2
ARIMA 模型族

d=0
ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q) P=0

ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)

q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d) d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
ARIMA模型的平稳性

ARIMA(p,d,q) 模 型 共有 p+d 个特征根， 其中p个在单位圆 内，d个在单位圆 上。所以当 d 0时 ARIMA(p,d,q) 模 型 非平稳。

例5.5 ARIMA(0,1,0)时序图
ARIMA模型的方差齐性

d 0时，原序列方差非齐性
ARIMA (0,1,0)模型 Var ( xt ) Var ( x0 t t 1 1 ) t 2
可转化为无穷阶MA模型
可转化为无穷阶AR模型
3、传递形式与逆转形式

传递形式
xt 1 ( B )( B ) t t G j t j
j 1

逆转形式
t 1 ( B )( B ) x t
xt I j xt j
j 1
Green函数：
d
乘积季节模型

使用场合

序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复 杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系 短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取 季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取 假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构 如下
疏系数模型


ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关 最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的 模型，通常它包含p+q个独立的未知系 数： 1 ,, p ,1 ,, q 如果该模型中有部分自相关系数 ,1 j p 或部分移动平滑系数 ,1 k q为零，即原 模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。
1 m 1 n
季节模型

简单季节模型 乘积季节模型
简单季节模型

简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
xt S t Tt I t

简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
( B ) D xt t ( B)
综合分析

常用综合分析模型

加法模型
xt Tt St I t

乘法模型
xt Tt S t I t

混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
ARIMA模型结构

使用场合

差分平稳序列拟合

模型结构
( B) d xt ( B) t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t

特别当φ 0=0 时，称为中心化ARMA(p,q)模型
系数多项式

引进延迟算子，中心化ARMA(p,q)模型 可简记为 ( B) xt ( B) t
(B) 1 1B 2 B2 p B p
其中p阶自回归系数多项式：
q阶移动平均系数多项式：
(B) 1 1 B 2 B 2 q B q
MA模型

用均值+过去时期的随机干扰 或误差来预测自己
1、定义：具有如下结构的模型称为q阶 移动平均模型，简记为 MA(q)
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t

分类


n期中心移动平均 n期移动平均
指数平滑法

指数平滑方法的基本思想

在实际生活中，我们会发现对大多数随机事件而言， 一般都是近期的结果对现在的影响会大些，远期的 结果对现在的影响会小些。为了更好地反映这种影 响作用，我们将考虑到时间间隔对事件发展的影响， 各期权重随时间间隔的增大而呈指数衰减。这就是 指数平滑法的基本思想 简单指数平滑 Holt两参数指数平滑

随机游走模型( random walk)

模型结构
xt xt 1 t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t

模型产生典故

Karl Pearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个 醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊 野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的 概率最大呢？
ik

计算季节指数
nm
xk Sk x
, k 1,2,, m
季节指数的理解




季节指数反映了该季度与总平均值之间 的一种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值 常常会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
(其中p为自回归项数，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳 序列所做的差分阶数)。

Box—Jenkins模型实际上主要是运用于单变量、 同方差场合的线性模型 ，存在局限性。
Cramer分解定理（1961）

任何一个时间序列 {xt } 都可以分解为两部分的叠 加：其中一部分是由多项式决定的确定性趋势成 分，另一部分是平稳的零均值误差成分，即
第七章
时间序列分析模型
本章结构

时间序列模型发展 基础阶段-平稳时间序列模型 核心阶段-非平稳时间序列模型 完善阶段-异方差条件下模型
时间序列分析方法的发展过程

基础阶段 核心阶段 完善阶段
基础阶段

G.U.Yule

1927年，AR（自回归）模型 1931年，MA（平均）模型 ARMA（自回归移动平均）模型
G0 1 k , j Gk j j Gk j 1
逆函数：
k 1
I0 1 k , k 1 j Ik j j Ik j 1 j , j p j , j q 其中 j , j 0, j p 0, j q

G.T.Walker

AR模型
1、定义：具有如下结构的模型称为p阶自回归 模型，简记为AR(p) xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t
保证最高阶数为p p 0 2 E ( ) 0 , Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t E ( x ) 0, s t 保证残差白噪声 s t
平稳时间序列建模步骤
平 稳 非 白 噪 声 序 列 计 算 样 本 相 关 系 数
模型 识别
参数 估计
No
模型 检验
Yes
模 型 优 化
序 列 预 测
核心阶段

G.E.P.Box和 G.M.Jenkins


1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》。 提出ARIMA(p,d,q)（差分自回归滑动平均 ）模型 （Box—Jenkins 模型） --经典模型。
( B ) xt t 由 ( B )G( B ) t t xt G( B ) t
利用待定系数法解上述方程可得递推公式
G0 1 k , k p j , 其中k G j k，j 1,2, 0, k p G j k k 1
趋势分析

目的

有些时间序列具有非常显著的趋势，我们分 析的目的就是要找到序列中的这种趋势，并 利用这种趋势对序列的发展作出合理的预测 趋势拟合法 平滑法

常用方法

趋势拟合法


趋势拟合法就是把时间作为自变量，相 应的序列观察值作为因变量，建立序列 值随时间变化的回归模型的方法 分类

保证t期的随机干扰与过 去s期的序列值无关
特别地、当φ 0=0时，称为中心化AR(p)模型
Green函数

AR模型的传递形式
由( B) xt t 可得（过程略）
xt
t
( B)
j 0
ki ij t j，记xt G j t j
j 0 i 1 j 0
xt t t
j t j j 0 d
( B)at
随机性影响
确定性影响
确定性因素分解

现在的因素分解

长期趋势波动 季节性变化 随机波动
确定性时序分析的目的


克服其它因素的影响，单纯测度出某一 个确定性因素对序列的影响 推断出各种确定性因素彼此之间的相互 作用关系及它们对序列的综合影响
j
k
疏系数模型类型



如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为 ARIMA(( p1 ,, pm ), d , q) p1 ,, pm 为非零自相关系数的阶数 如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 ARIMA( p, d , (q1 ,, qn )) q1 ,, qn 为非零移动平均系数的阶数 如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简 记为 ARIMA(( p ,, p ), d , (q ,, q ))

p

G j B j t G( B ) t
其中ki(i=1,…,p)为常数，λi为特征值且在单位圆内

框中式子称为AR模型的传递形式，而系数 {Gj,j=1,2,…}称为Green函数。 Green函数性质：呈负指数下降，且
j

lim | G j | 0
（2）Gree来自百度文库函数递推公式

逆函数I(B)递推公式
I 0 1 k , k q j , 其中 k I j k，j 1,2, 0, k q I j k k 1
ARMA模型
用过去的自己，并考虑到随机干 扰或误差序列来预测自己
1、定义 具有如下结构的模型称为自回归移动 平均模型，简记为ARMA(p,q)