工程力学(静力学与材料力学)单辉祖工力-12弯曲变形
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15
例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI = 常数
qa FAy 2 3qa FBy 2
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程
AB段:
d 2 w1 qa x1 2 dx1 2 EI
d2w2 q 2 x2 CB段: 2 2EI dx2
位移连续条件：
2. 边界条件与连续条件
w A w A ,F
当梁上同时作用几个载荷时，任一横截 面的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
单辉祖：材料力学Ⅰ 19
理论依据
d2w EI 2 M ( x ) dx
（小变形,比例极限内）
M ( x) MF ( x) Mq ( x)
（小变形）
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
dw1 / dx1 dw2 / dx2 在 x1 x2 a 处， Fb 2 2 C1 C2 (b l ) 6EIl
3. 最大挠度分析
当 a > b 时 发生在AC段
dw1 0 dx1
Fbx1 2 w1 ( x1 b 2 l 2 ) 6lEI
单辉祖：材料力学Ⅰ
Fb(l 2 - b2 )3/2 f （ ） 9 3lEI
w1 B a
Fa l Fa 2 l w1 a 3 EI 3 EI Fa 3 w2 3 EI
求位移之和（代数或矢量和）
Fa 2 ( l a ) ( ) w w1 w2 3 EI
单辉祖：材料力学Ⅰ
在分析某梁段的变 形在需求位移处引 起的位移时，其余 梁段视为刚体
21
例 题
例 4-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?
解：
q( x )dx x 2 q0 x 2(3l - x ) px dwB (3l x ) cos dx () 6EI 6EI 2l q0 l 2 px 2q0l 4 (p3 - 24) wB x (3l - x )cos dx ( ) 4 0 6EI 2l 3p EI
23
2
单辉祖：材料力学Ⅰ
例 4-3
解：
wC ?
w1 wB Ba
wC w1 w2
wB wB,F wB,Fa
Fa 3 Fa a2 5Fa 3 3EI 2 2EI 2 6EI 2
B B,F B,Fa
Fa 2 Fa a 3Fa 2 2EI 2 EI 2 2EI 2
17
§4 计算梁位移的叠加法
叠加法
逐段分析求和法 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
18
叠加法
方法
wA ?
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
w A ,F Fl 3 ( ) 3 EI
ql 4 w A ,q ( ) 8 EI 3 Fl ql 4 w A ,q ( ) 3 EI 8 EI
6
§2 梁变形基本方程
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程
单辉祖：材料力学Ⅰ
7
挠曲轴微分方程
1
M （纯弯） EI 1 M ( x) ( x) EI
（推广到非纯弯）
1 w 2 3/2 ( x) 1 w w M ( x) －挠曲轴微分方程 2 3/2 EI 1 w
凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置
单辉祖：材料力学Ⅰ 13
例 题
例 3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI =常数
Fb FAy l Fa FBy l
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 AC段 CB段
d2w1 Fb x1 2 dx1 EIl dw1 Fb 2 x1 C1 dx1 2EIl Fb 3 w1 x1 C1 x1 D1 6EIl
w－弯矩引起的挠度 max < p
单辉祖：材料力学Ⅰ 8
挠曲轴近似微分方程
w M ( x) 2 3/2 EI 1 w
小变形时： w2 << 1
d2w M ( x) －挠曲轴近似微分方程 2 dx EI d2w M ( x) 2 dx EI
应用条件： max p
约束处位移应满足的 条件－位移边界条件
梁段交接处位移应满足 的条件－位移连续条件
利用位移边界条件与连续条件确定积分常数
单辉祖：材料力学Ⅰ 11
积分法求梁位移
A =?
FAy FBy Me / l
dw M e 2 x C (a) dx 2EIl M w e x 3 Cx D (b) 6EIl
7Fa 3 w1 ( ) 3EI 2 Fa 3 () w2 3EI1
单辉祖：材料力学Ⅰ
7Fa 3 Fa 3 3Fa 3 wC ( ) 3EI 2 3EI1 2EI1
24
例 4-4
解：
Cy w1 w2
Fl 3 Fal w1 wB Ba a ( ) 3 EI GI t Fl 3 Fa 2 l Fa 3 Cy 3 EI GI t 3 EI Fa 3 w2 ( ) 3 EI
坐标轴 w 向下时：
d2w M ( x) 2 dx EI
9
小变形 坐标轴 w 向上
单辉祖：材料力学Ⅰ
§3 计算梁位移的积分法
挠曲轴微分方程的积分与
边界条件
积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
10
挠曲轴微分方程的积分与边界条件
d2w M ( x) 2 dx EI dw M ( x) dx C dx EI M ( x) w dx Cx D EI
由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得
EI = 常数 建立挠曲轴近似微分方程并积分
M ( x) Me x l 2 d w Me x 2 dx EIl
利用边界条件确定积分常数
在 x 0 处，w 0 (1) 在 x l 处，w 0 (2)
Mel D 0, C 6EI
单辉祖：材料力学Ⅰ 5
挠度与转角
转角 －挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w w( x ) －挠曲轴方程
转角－横截面的角位移
( x ) －转角方程
挠度与转角的关系
（忽略剪力影响）
单辉祖：材料力学Ⅰ
' tan '
dw （rad） dx
dw （小变形） dx
30
例 5-2 悬臂梁 AB，用短梁 DG 加固，试分析加固效果
解：1. 静不定分析
wC wG
FR ( l/2) 3 FR l 3 wG 3 EI 24 EI
(5F 2FR )l 3 wC 48EI (5F 2FR )l 3 FR l 3 48EI 24EI
Fab(l b) M Al M Bl 0 6EIl 3EI 6EI Fab( l a ) M A l M B l B ,M B 0 6 EIl 6 EI 3 EI
Fab 2 Fa 2 b MA 2 , MB 2 l l
单辉祖：材料力学Ⅰ
Fb 2 ( l 2a ) Fa 2 ( l 2b ) FAy , FBy 3 l l3
单辉祖：材料力学Ⅰ 27
百度文库
简单静不定梁分析方法
算例 求梁的支反力
一度静不定 选 FBy 为 多余力
wB 0 －变形协调条件
3 5Fl 3 FBy l wB －物理方程 48 EI 3 EI
5F FBy 16 M A 0, 得 M A 3Fl / 16
FBy l 5Fl 0 －补充方程 48 EI 3 EI
( )
25
单辉祖：材料力学Ⅰ
§5 简单静不定梁
静不定度与多余约束
简单静不定梁分析方法 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
26
静不定度与多余约束
4-3= 1 度 静不定 5-3 = 2 度 静不定 静不定度 ＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束 静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩
位移边界条件：
在 x1 0 处， w1 0 在 x1 a 处， w1 0
单辉祖：材料力学Ⅰ
dw1 dw2 在 x1 x2 a 处， dx1 dx2
16
在 x1 x2 a 处， w1 w2
例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
F = qa F = qa
单辉祖：材料力学Ⅰ
第 十 二 章
弯 曲 变 形
第 12 章 弯曲变形
本章主要研究：
单辉祖：材料力学Ⅰ
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
2
第 12 章 弯曲变形
§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的叠加法 §5 简单静不定梁 §6 梁的刚度条件与合理设计
单辉祖：材料力学Ⅰ
22
例 4-2
wB ? A ?
FAy FBy qa 2
解：
a F qa a3 a 13qa4 2 wB wB,FBy wB,F () 3a 2 3EI 6EI 2 48EI 13qa3 qa3 5qa3 wB A A,q () a 48EI 24EI 16EI
单辉祖：材料力学Ⅰ 3
§1 引 言
弯曲变形特点
挠度与转角
单辉祖：材料力学Ⅰ
4
弯曲变形特点
挠曲轴
变弯后的梁轴，称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
w1 w2
Fb 3 x1 C1 x1 D1 6EIl
Fb 3 F x2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6EIl 6EI
2. 确定积分常数
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x1 0 处， w1 0
在 x2 l 处， w2 0
D1 D2 0
在 x1 x2 a 处， w1 w2
由补充方程确定多余力,由平衡方程求其余支反力 通过相当系统计算内力、位移与应力等
关键－确定多余支反力
单辉祖：材料力学Ⅰ
依据－综合考虑三方面
29
例 题
例 5-1 求支反力 解：1. 问题分析 水平反力忽略不 计,2多余未知力 2. 解静不定
A 0, B 0
A A ,F A , M A A , M B B B ,F B , M A
单辉祖：材料力学Ⅰ
d2w2 Fb F x2 ( x2 a ) 2 EI dx2 EIl dw2 Fb 2 F x2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2EIl 2EI Fb 3 F w2 x2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6EIl 6EI
14
3
3
Fy 0, 得 FA y 11F / 16
－平衡方程
综合考虑三方面
单辉祖：材料力学Ⅰ 28
分析方法与步骤
判断梁的静不定度 用多余力 代替多余约
束的作用，得受力与原静 不定梁相同的静定梁－相 当系统
相当系统
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程
相当系统
计算转角
单辉祖：材料力学Ⅰ
Me l dw M e 2 2 (3x l ) A (0) （） 6 EI dx 6EIl
12
挠曲轴的绘制
绘制依据 满足基本方程
w M ( x) EI
满足位移边界 条件与连续条件 绘制方法与步骤 画 M图 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的
d2w EI 2 M F ( x ) w wF ( x ) dx d2w EI 2 M q ( x ) w wq ( x ) dx
故：w wF ( x ) wq ( x )
叠加法适用条件：小变形，比例极限内
单辉祖：材料力学Ⅰ 20
逐段分析求和法
分解梁 分别计算各梁段 的变形在需求位移 处引起的位移
例 3-2 建立挠曲轴 微分方程，写出边界条件，EI = 常数
qa FAy 2 3qa FBy 2
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程
AB段:
d 2 w1 qa x1 2 dx1 2 EI
d2w2 q 2 x2 CB段: 2 2EI dx2
位移连续条件：
2. 边界条件与连续条件
w A w A ,F
当梁上同时作用几个载荷时，任一横截 面的总位移，等于各载荷单独作用时在 该截面引起的位移的代数和或矢量和
单辉祖：材料力学Ⅰ 19
理论依据
d2w EI 2 M ( x ) dx
（小变形,比例极限内）
M ( x) MF ( x) Mq ( x)
（小变形）
上述微分方程的解，为下列微分方程解的组合
dw1 / dx1 dw2 / dx2 在 x1 x2 a 处， Fb 2 2 C1 C2 (b l ) 6EIl
3. 最大挠度分析
当 a > b 时 发生在AC段
dw1 0 dx1
Fbx1 2 w1 ( x1 b 2 l 2 ) 6lEI
单辉祖：材料力学Ⅰ
Fb(l 2 - b2 )3/2 f （ ） 9 3lEI
w1 B a
Fa l Fa 2 l w1 a 3 EI 3 EI Fa 3 w2 3 EI
求位移之和（代数或矢量和）
Fa 2 ( l a ) ( ) w w1 w2 3 EI
单辉祖：材料力学Ⅰ
在分析某梁段的变 形在需求位移处引 起的位移时，其余 梁段视为刚体
21
例 题
例 4-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?
解：
q( x )dx x 2 q0 x 2(3l - x ) px dwB (3l x ) cos dx () 6EI 6EI 2l q0 l 2 px 2q0l 4 (p3 - 24) wB x (3l - x )cos dx ( ) 4 0 6EI 2l 3p EI
23
2
单辉祖：材料力学Ⅰ
例 4-3
解：
wC ?
w1 wB Ba
wC w1 w2
wB wB,F wB,Fa
Fa 3 Fa a2 5Fa 3 3EI 2 2EI 2 6EI 2
B B,F B,Fa
Fa 2 Fa a 3Fa 2 2EI 2 EI 2 2EI 2
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§4 计算梁位移的叠加法
叠加法
逐段分析求和法 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
18
叠加法
方法
wA ?
分解载荷 分别计算位移 求位移之和
w A ,F Fl 3 ( ) 3 EI
ql 4 w A ,q ( ) 8 EI 3 Fl ql 4 w A ,q ( ) 3 EI 8 EI
6
§2 梁变形基本方程
挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程
单辉祖：材料力学Ⅰ
7
挠曲轴微分方程
1
M （纯弯） EI 1 M ( x) ( x) EI
（推广到非纯弯）
1 w 2 3/2 ( x) 1 w w M ( x) －挠曲轴微分方程 2 3/2 EI 1 w
凹、凸、拐点或直线区，即确定挠曲轴的形状 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置
单辉祖：材料力学Ⅰ 13
例 题
例 3-1 用积分法求梁的最大挠度，EI =常数
Fb FAy l Fa FBy l
解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 AC段 CB段
d2w1 Fb x1 2 dx1 EIl dw1 Fb 2 x1 C1 dx1 2EIl Fb 3 w1 x1 C1 x1 D1 6EIl
w－弯矩引起的挠度 max < p
单辉祖：材料力学Ⅰ 8
挠曲轴近似微分方程
w M ( x) 2 3/2 EI 1 w
小变形时： w2 << 1
d2w M ( x) －挠曲轴近似微分方程 2 dx EI d2w M ( x) 2 dx EI
应用条件： max p
约束处位移应满足的 条件－位移边界条件
梁段交接处位移应满足 的条件－位移连续条件
利用位移边界条件与连续条件确定积分常数
单辉祖：材料力学Ⅰ 11
积分法求梁位移
A =?
FAy FBy Me / l
dw M e 2 x C (a) dx 2EIl M w e x 3 Cx D (b) 6EIl
7Fa 3 w1 ( ) 3EI 2 Fa 3 () w2 3EI1
单辉祖：材料力学Ⅰ
7Fa 3 Fa 3 3Fa 3 wC ( ) 3EI 2 3EI1 2EI1
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例 4-4
解：
Cy w1 w2
Fl 3 Fal w1 wB Ba a ( ) 3 EI GI t Fl 3 Fa 2 l Fa 3 Cy 3 EI GI t 3 EI Fa 3 w2 ( ) 3 EI
坐标轴 w 向下时：
d2w M ( x) 2 dx EI
9
小变形 坐标轴 w 向上
单辉祖：材料力学Ⅰ
§3 计算梁位移的积分法
挠曲轴微分方程的积分与
边界条件
积分法求梁位移 挠曲轴的绘制 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
10
挠曲轴微分方程的积分与边界条件
d2w M ( x) 2 dx EI dw M ( x) dx C dx EI M ( x) w dx Cx D EI
由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得
EI = 常数 建立挠曲轴近似微分方程并积分
M ( x) Me x l 2 d w Me x 2 dx EIl
利用边界条件确定积分常数
在 x 0 处，w 0 (1) 在 x l 处，w 0 (2)
Mel D 0, C 6EI
单辉祖：材料力学Ⅰ 5
挠度与转角
转角 －挠度
挠度－横截面形心在垂直于梁轴方向的位移
w w( x ) －挠曲轴方程
转角－横截面的角位移
( x ) －转角方程
挠度与转角的关系
（忽略剪力影响）
单辉祖：材料力学Ⅰ
' tan '
dw （rad） dx
dw （小变形） dx
30
例 5-2 悬臂梁 AB，用短梁 DG 加固，试分析加固效果
解：1. 静不定分析
wC wG
FR ( l/2) 3 FR l 3 wG 3 EI 24 EI
(5F 2FR )l 3 wC 48EI (5F 2FR )l 3 FR l 3 48EI 24EI
Fab(l b) M Al M Bl 0 6EIl 3EI 6EI Fab( l a ) M A l M B l B ,M B 0 6 EIl 6 EI 3 EI
Fab 2 Fa 2 b MA 2 , MB 2 l l
单辉祖：材料力学Ⅰ
Fb 2 ( l 2a ) Fa 2 ( l 2b ) FAy , FBy 3 l l3
单辉祖：材料力学Ⅰ 27
百度文库
简单静不定梁分析方法
算例 求梁的支反力
一度静不定 选 FBy 为 多余力
wB 0 －变形协调条件
3 5Fl 3 FBy l wB －物理方程 48 EI 3 EI
5F FBy 16 M A 0, 得 M A 3Fl / 16
FBy l 5Fl 0 －补充方程 48 EI 3 EI
( )
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单辉祖：材料力学Ⅰ
§5 简单静不定梁
静不定度与多余约束
简单静不定梁分析方法 例题
单辉祖：材料力学Ⅰ
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静不定度与多余约束
4-3= 1 度 静不定 5-3 = 2 度 静不定 静不定度 ＝未知支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 凡是多余维持平衡所必须的约束 静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩
位移边界条件：
在 x1 0 处， w1 0 在 x1 a 处， w1 0
单辉祖：材料力学Ⅰ
dw1 dw2 在 x1 x2 a 处， dx1 dx2
16
在 x1 x2 a 处， w1 w2
例 3-3 绘制挠曲轴的大致形状
F = qa F = qa
单辉祖：材料力学Ⅰ
第 十 二 章
弯 曲 变 形
第 12 章 弯曲变形
本章主要研究：
单辉祖：材料力学Ⅰ
弯曲变形基本方程 计算梁位移的方法 简单静不定梁分析 梁的刚度条件与设计
2
第 12 章 弯曲变形
§1 引言 §2 梁变形基本方程 §3 计算梁位移的积分法 §4 计算梁位移的叠加法 §5 简单静不定梁 §6 梁的刚度条件与合理设计
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22
例 4-2
wB ? A ?
FAy FBy qa 2
解：
a F qa a3 a 13qa4 2 wB wB,FBy wB,F () 3a 2 3EI 6EI 2 48EI 13qa3 qa3 5qa3 wB A A,q () a 48EI 24EI 16EI
单辉祖：材料力学Ⅰ 3
§1 引 言
弯曲变形特点
挠度与转角
单辉祖：材料力学Ⅰ
4
弯曲变形特点
挠曲轴
变弯后的梁轴，称为挠曲轴 挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计
因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交
w1 w2
Fb 3 x1 C1 x1 D1 6EIl
Fb 3 F x2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6EIl 6EI
2. 确定积分常数
位移边界条件：
位移连续条件：
在 x1 0 处， w1 0
在 x2 l 处， w2 0
D1 D2 0
在 x1 x2 a 处， w1 w2
由补充方程确定多余力,由平衡方程求其余支反力 通过相当系统计算内力、位移与应力等
关键－确定多余支反力
单辉祖：材料力学Ⅰ
依据－综合考虑三方面
29
例 题
例 5-1 求支反力 解：1. 问题分析 水平反力忽略不 计,2多余未知力 2. 解静不定
A 0, B 0
A A ,F A , M A A , M B B B ,F B , M A
单辉祖：材料力学Ⅰ
d2w2 Fb F x2 ( x2 a ) 2 EI dx2 EIl dw2 Fb 2 F x2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2EIl 2EI Fb 3 F w2 x2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6EIl 6EI
14
3
3
Fy 0, 得 FA y 11F / 16
－平衡方程
综合考虑三方面
单辉祖：材料力学Ⅰ 28
分析方法与步骤
判断梁的静不定度 用多余力 代替多余约
束的作用，得受力与原静 不定梁相同的静定梁－相 当系统
相当系统
计算相当系统在多余约
束处的位移，并根据变形 协调条件建立补充方程
相当系统
计算转角
单辉祖：材料力学Ⅰ
Me l dw M e 2 2 (3x l ) A (0) （） 6 EI dx 6EIl
12
挠曲轴的绘制
绘制依据 满足基本方程
w M ( x) EI
满足位移边界 条件与连续条件 绘制方法与步骤 画 M图 由 M 图的正、负、零点或零值区，确定挠曲轴的
d2w EI 2 M F ( x ) w wF ( x ) dx d2w EI 2 M q ( x ) w wq ( x ) dx
故：w wF ( x ) wq ( x )
叠加法适用条件：小变形，比例极限内
单辉祖：材料力学Ⅰ 20
逐段分析求和法
分解梁 分别计算各梁段 的变形在需求位移 处引起的位移