材料力学 第八章

在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：
[ ] 0.001rad
§8–6 静不定梁 1 静定结构或系统
无多余约束的几何不变的承载系统; 其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。
P P
2 超静定结构
未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目； 仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。
3 超静定次数 未知力的数目与独立平衡方程数目之差。
l
a
B
(Fa) l 3EI
yC1 B a
(Fa) l 3EI
a
Fa2l 3EI
()
2）考虑BC段变形引起C截面的挠度 F
A
BC
l
a
AB段看作刚体
yC 2
Fa 3 3EI
()
F
C
B a
yC 2
C截面的总挠度
yC yC1 yC2
Fa2l Fa3 () 3EI 3EI
讨论 积分法求变形有什么优缺点？ 叠加法求变形有什么优缺点？
,
yC 3
3ql 4 48 EI
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3 3EI
,
q
yC1
ql
yC2
yC3
B1
B2
ql2
B3
3、变形叠加
B B1 B2 B3
ql3 24 EI
ql3 16 EI
ql3 3EI
11ql3 48 EI
yC yC1 yC2 yC3 5ql4 (ql)l3 3ql4 11ql 4 384 EI 48EI 48EI 384 EI
§8-1 工程中的弯曲变形问题 一、为何要研究弯曲变形
M [ ] 仅保证构件不会发生破坏，
Wz 但如果构件的变形太大也不能正常工作。 1、构件的变形限制在允许的范围内。
２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。 案例1：
汽车板簧应有较大的弯曲变形, 才能更好的起到缓和减振的作用；
案例2： 安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS
平面弯曲的挠曲线 正好为xoy平面内的一条曲线，
所以曲线y=f(x)： 从数学上讲 是一条普通的平面曲线，
从力学上讲 就是梁发生弯曲变形的挠曲线。
挠曲线微分方程
1 M (x)
EI
1
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
M (x) EIz
挠曲线微分方程
弯矩 M (x)与载荷之间的关系 是线性的；
对应于几种不同的载荷， 弯矩可以叠加， 近似微分方程的解也可以叠加。
证明 设弯矩 M (x) M F M q
挠曲线 y yF yq
分别满足各自的近似微分方程
EIy'' F
MF
将两个微分方程叠加
EIy'' q
Mq
M EIy'' F
EIy'' q
1 y'2(x) 1
故得挠曲线近似微分方程：
y'' M (x) EI
符号规定：
M 0
ω M
d2y dx2 0
M x
M 0
ω
d2y dx2
0
M
Mx
挠曲线为凹曲线
挠曲线为凸曲线
弯矩M与二阶导数 y 符号一致。
y'' M (x) EI z
挠曲线近似微Baidu Nhomakorabea方程
适用范围： 线弹性、小变形; y轴向上，x轴向右；
边界条件
y
P
B
x 0: 0
A
a
C
x
k
x L : y FBy
L
k
光滑连续性条件
x a: y y
C
C
C
C
例2：写出梁的边界条件、连续性条件： 边界条件
EA P
h
x 0: 0
x L : y FByh
A
a
C
B
EA
光滑连续性条件
L
x a: y y
C
C
C
C
讨论：挠曲线分段
（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；
a),
3、代入各自的挠曲线近似微分方程中
M1(x)
Fb L
x,
EIy'' Fb x,
1
L
M2 (x)
Fb L
x
F(x
a),
EIy2''
Fb L
x
F(x
a),
4、各自积分
EIy1'
EI1
Fb 2L
x2
C1
EIy1
Fb 6L
x3
C1x
D1
EIy' 2
EI2
Fb x2 2L
F 2
(x a)2
C2
P
P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
Xoy平面 就是梁的纵向对称面；
在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内
的一条平面曲线； 该曲线方程为 ： y f (x)
3、挠度、转角物理意义
y
y
x
①：挠度的物理意义： 挠曲线在该点处的纵坐标；
y
x
②：转角的物理意义
过挠曲线上点作挠曲线的切线 该切线与水平线的夹角为
tg dy dx
EIy2
Fb 6L
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
5、确定积分常数
边界条件： x 0
xL
连续条件： x a
y1 0
y2 0
y1 y2
1 2
C1
Fb 6L
(L2
b2 )
C2 ,
D1 D2 0
ω
F
a
x
L
EI1
Fb 2L
x2
C1
EIy1
Fb 6L
x3
C1x
D1
EI2
Fb 2L
x2
F 2
(x
由于没有采用曲率的简化式， 且弹性模量E无定量结果， 故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。
该挠曲线微分方程是非线性的，适用于弯曲变形的任何情况。
5、挠曲线近似微分方程 在小变形的条件下，
y'' (x) 1 y'2(x)
3 2
M (x) EIz
挠曲线是一条光滑平坦的曲线，
转角 较小，
y'(x) (x) 0
载荷叠加法 （查表法）
应用于多个载荷作用的情形
例1 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
yC , B
1、载荷分解
q
ql ql2
2查表：单独载荷作用下
5ql 4 yC1 384 EI
yC 2
(ql )l 3 48 EI
B1
ql3 24 EI
,
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
y 1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
4、计算A截面的挠度和转角
A截面处 x 0
A
qL3 6EI
yA
qL4 8EI
q
A
B
L
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
y 1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
ql4 8EI
q( l )4 2
8EI
B2
l 2
41ql4 384EI
C C1 C2 ql3 6EI
q( l )3 2
7ql 4
6EI 48EI
第二类叠加法 逐段刚化法
1将梁的挠曲线分成几段;
2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的 位移（挠度和转角）; 3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。 在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，
例2 抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC ?
q
A L/2
B
L/2
C
q A L/2 B L/2 C
q
q q
q
yC1
ql 4 8EI
yC1
C1
C1
ql3 6EI
,
yB2 B2
q
C2
yC2
q( l )3
B2
2 6EI
c2
yC 2
yB2
B2
l 2
q( l )4 2
8EI
B2
l 2
w
yC yC1 yC2
EA
T l
G IP
弯曲变形的物理量如何？
内力 杆件长度 抗变形刚度
弯曲变形的物理量 1、挠曲线
x
2、挠度 截面形心在力的方向的位移 ω 向上为正
3、转角 截面绕中性轴转过的角度 逆时针为正
弯曲变形的物理量 挠度ω + 转角
§8-2 梁的挠曲线近似微分方程
1、建立y 坐标系
y
x
x
2、挠曲线方程：
(1)、弯矩与载荷成线性关系; 梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；
1
(2)、曲率 与弯矩成线性关系;
梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；
(3)、挠曲线二阶导数
与
1
成线性关系;
1
d 2
dx2
1 2 1.0 即梁处于小变形条件下;
三、叠加原理的特征
几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，
等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠 度、转角的向量和。
挠曲线在该点处的切线斜率； 挠曲线方程在该点处的一阶导数；
转角的正方向： 从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。
4、挠曲线微分方程
中性层处曲率:
1 M (x)
EI
y
y f (x)
x
对于曲线 y=f(x) 在任一点处曲率
1
y''(x) 1 y'2 (x)
3 2
（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）
积分一次： EIy' EI 1 qx3 C
6
转角方程
B x
积分二次： EIy 1 qx4 Cx D 24
挠曲线方程
3、确定常数C、D. 边界条件：
xL: 0
y0
C 1 qL3 6
D 1 qL4 8
q
A
B
L
EIy' EI 1 qx3 C
6
EIy 1 qx4 Cx D 24
ω L
简支梁：
x 0: 0
x
xL: 0
连续性条件：
y
边界条件
A
x 0: y 0
xL: y 0
P B
C a
x
L
光滑连续性条件
x a:
y y
C
C
C
C
连续性 光滑性
连续性条件：
y A
C a
M
B
x
L
xa:
特别强调
y y
C
C
C
C
连续 不光滑
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
例1：写出梁的边界条件、连续性条件：
A
C
M B
a
L
边界条件
x0: y 0 0
xal y 0
连续性条件 x a : y y
C
C
例1悬臂梁受力如图所示。求 A 和 A 。
取参考坐标系
y
q
1、列写弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 2
(0 x L)
x L
2、代入挠曲线近似微分方程中
y'' M (x) EI z
EIy' ' 1 qx2 2
a)2
C2
EIy2
Fb 6L
x3
F 6
(x
a)3
C2 x
D2
6、挠曲线方程
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2
)x],
7、求转角
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
§8-3 用积分法求弯曲变形
挠曲线的近似微分方程 积分一次：
d 2 y M (x) dx2 EIz
dy dx
'
M (x) EI z
dx C
积分二次：
y
(
M( EI
x)
z
dx)dx
Cx
D
转角方程 挠曲线方程
C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。
梁的边界条件
悬臂梁： y
L
x
x 0:
y0
0
梁的边界条件
除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。
例3 ： 用叠加法确定yC ?
A l
F
BC a
1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度 (BC段看作刚体)
外力向研究的ＡＢ段上简化
F
Fa
F：作用在支座上，不产生变形。
A
B C Fa：使AB梁产生变形。
l
a
F
Fa
Fa引起梁的变形形状为
A
B B
ＡＢ段上凸； C yC1
a)2
,
y2 (x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
L 6
(x
a)3 ]
x0
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
xL
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
§8-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加原理
在小变形， 材料服从胡克定律的情况下， 挠曲线的近似微分方程 EIy '' (x) M (x) 是线性的； 计算弯矩时，使用变形前的位置
要求其在碰撞的过程中有较大的变形 吸收落物或碰撞能量， 保证驾驶员的人身安全
案例3：
蹦床 要有大变形， 才能积蓄能量，
将人体弹射到一定高度。
3、研究弯曲变形 除了解决构件的刚度外， 还广泛应用于超静定问题分析、 稳定性分析 以及振动分析等方面。
二、弯曲变形的物理量
拉伸 F
扭转：
F
l FN l
§8–5 梁的刚度计算 弯曲变形的刚度条件：
y [ y], max
[ ] max
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示。
对于桥式起重机梁： 对于一般用途的轴：
[y] l ~ l 500 750
[ y] 3l ~ 5l 10000 10000
EI 24
68
例2 一简支梁受力如
y
图所示。试求 (x), y(x) A
和 A 。
FAy
1、求支座反力
FAy
Fb , L
FBy
Fa L
2、分段列出梁的弯矩方程
AC段 (0 x a)
M1(x)
FA x
Fb L
x,
x
x a L
F B
C b
x
FBy
BC段 (a x L)
M2 (x)
Fb L
x
F(x
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
A
C
M B
a
L
讨论：挠曲线分段
（4）凡分段点处应列出连续条件；
根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确 定的挠度和转角；
在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。
MF
Mq
EI( y'' F
yq'' )
EI ( yF
yq )
EI ( yF yq ) M
总的近似微分方程： EIy '' M
分别计算出每一载荷单独引起的变形，
将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形 ——叠加原理。
二、叠加原理的限制条件
叠加原理仅适用于线性函数， 要求挠度、转角是载荷的线性函数。