数值分析第一章误差2015

x2e( x1 ) x1e( x2 ) er ( x1 x2 ) er ( x1 ) er ( x2 ) x1 x2 x1 x2
| er ( x1 x2 ) || er ( x1 ) | | er ( x2 ) |
乘法相对误差限不超过各数相对误差限之和.
24
x1 x2e( x1 ) x1e( x2 ) e , 2 x2 x2 x1 x2e( x1 ) x1e( x2 ) x2 er er ( x1 ) er ( x2 ). 2 x1 x2 x2
截断误差
舍入误差
7
模型误差 数学模型通常是由实际问题抽象得到 的, 一般带有误差, 这种误差称为模型误差. 观测误差 数学模型中包含的一些参数通常是通 过观测和实验得到的, 难免带有误差, 这种误差称为 观测误差.
截断误差 求解数学模型所用的数值方法通常 是一种近似方法, 这种因方法产生的误差称为截 断误差或方法误差.
误差对计算结果的影响.
10
1.2.1 绝对误差和相对误差
绝对误差
设x* 是准确值x 的一个近似值, 记 e=xx* 称 e为近似值 x* 的绝对误差, 简称误差. 绝对误差一般很难准确计算, 但可以估计上界. 若e 满足 | e | e
则称 e为近似值 x* 的绝对误差限, 简称误差限.
所以
e =0.005,
e r 0.005 1.24 0.4%.
一般地, 凡是由准确值经过四舍五入得到的近似 值, 其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位.
15
1.2.2 有效数字
1 若近似值 x*满足 | x x* | 10 n , 则称 x*准 2 确到小数点后第n位. 并把从第一个非零数字到这
1
解 利用分部积分法可得计算In的递推公式
I n 1 nI n1,
算法1： I n 1 nI n1,
1
n 1,2,
n 1,2,
I 0 e x 1dx 1 e 1 0.632120558 0.6321 0
由此递推计算 I1, I2, …, I9.
8
例如, 利用 ln(x+1) 的Taylor公式计算 ln2,
1 2 1 3 1 4 1 5 ln( x 1) x x x x x 2 3 4 5 实际计算时只能截取有限项代数和计算, 如取前5 项有: 1 1 1 1 ln 2 1 2 3 4 5
数 值 分 析
林甲富
linjiafu@sina.com
1
教材
丁丽娟, 程杞元,《数值计算方法》, 高等教育 出版社, 2011年.
2
第一章 数值计算中的误差
§1.1 数值计算的内容与特点
§1.2 误差的基本概念 §1.3 数值计算中误差的传播 §1.4 数值计算中应注意的问题
3

§1.1 数值计算的内容与特点
则A的近似值为 A*=f (x1*, x2*), 用多元函数微分近 似公式可以得到
e( A*) A A* f ( x1 , x2 ) f ( x1 *, x2 *) f ( x1 *, x2 *) f ( x1 *, x2 *) ( x1 x1 *) ( x2 x2 *) x1 x 2 f ( x1 *, x2 *) f ( x1 *, x2 *) e( x1 *) e( x2 *) x1 x 2
10 | x x* | εr | x* | 0 .a1a2 ... 10m 2( a1 1) 10 ( a1 1) 10m1 0 .5 10m n 2( a1 1)
可见 x* 至少有 n 位有效数字.
20
n1
n1
§1.3 数值计算中误差的传播
这里产生误差 (记作R5 )截断误差 1 1 1 R5 6 7 8
9
舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行 运算, 在运算中像
2, e , 1 3 等都要按舍入
原则保留有限位, 这时产生的误差称为舍入误差。
在数值分析中, 均假定数学模型是准确的, 因而不
考虑模型误差和观测误差, 只讨论截断误差和舍入
e 0 不唯一, 当然 e 越小越具有参考价值.
11
例 用毫米刻度的米尺测量一长度 x, 如读出的长度
是 x*=765 mm, 由于误差限是 0.5 mm, 故准确值
x [764.5 mm , 765.5 mm ].
精确值x , 近似值 x* 和误差限 e 之间满足：
x * e x x * e
通常记为
x x * e
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绝对误差有时并不能完全地反映近似值的好坏, 如测量 100 m 和 10 m 两个长度, 若它们的绝对误 差都是 1 cm, 显然前者的测量结果比后者的准确.
因此, 决定一个量的近似值的精确度, 除了要
看绝对误差外, 还必须考虑该量本身的大小.
13
相对误差
0.0316.
I n 1
1 (1 I n ) , n 9,8,,2,1 n
29
由此计算 I8, I7, …, I0.
In I0 I1
算法1 0.6321 0.3679
算法2 0.6321 0.3679
真值 0.6321 0.3679
I2
I3 I4 I5 I6
0.2642
0.2074 0.1704 0.1480 0.1120
1
对于算法1： I n 1 nI n1,
1
n 1,2,
I 0 e x 1dx 1 e 1 0.6321 I 0 * 0
由
* * I n 1 nI n1 和 I n 1 nI n 1 , n 1,2,
* * n * 可得 I n I n n( I n1 I n ) ( 1 ) n ! ( I I 1 0 0 ).
所以xn 的相对误差是 x 的相对误差的n倍. x2的相对误差是 x 的相对误差的 2 倍,
x 的相对误差是 x 的相对误差的 1/2 倍.
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算法的数值稳定性 一种数值算法, 如果其计算舍入误差积累是可控
制的, 则称其为数值稳定的, 反之称为数值不稳定的.
27
n x 1 I x 例 计算积分 n 0 e dx
| I 9 I 9 * | 9!| I 0 I 0 * | 362880| I 0 I 0 * |
可见, 随着计算步数的增加, 误差迅速放大, 使结果失 32 真.
n x 1 I x 例 计算积分 n 0 e dx
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算法2：
1 1 e 1 1 9 1 9 x e dx I 9 x dx 0 0 10 10 1
1 e 1 取近似值 I 9 ( ) 0.0684, 2 10 10 1 1 e * 此时 | I 9 I 9 | 2 10
并将wenku.baidu.com算公式改写为
1
一位的所有数字均称为有效数字.
例： 3.1415926535 897932 ......; * 3.1415
问： *有几位有效数字？ 解： |π * π| 0.5 10 3
* 有4 位有效数字，精确到小数点后第3 位
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有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式
e x x* , 称 er 为近似值 x* 的相对误差. 记 er x x
由于 x 未知, 实际使用时总是将 x* 的相对误差取为
e x x* er x* x*
e r e | x* | 称为近似值x*的相对误差限.
| er | e r .
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例 设 x*=1.24是由精确值 x 经过四舍五入得到的 近似值, 求x*的绝对误差限和相对误差限. 解 由已知可得: 1.235 x 1.245
问应取几位有效数字? 解 由于 2 1.414, 则近似值x*可写为
x* 0.a1a2 an 101 ,
令
a1 1 0.
1 2 x * 101 n 10 5 2
故取 n=6, 即取 6 位有效数字. 此时 x*=1.41421.
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相对误差限与有效数字之间的关系. 有效数字 相对误差限 已知 x* =0.a1a2…an×10m有 n 位有效数字, 则其 相对误差限为
绝对误差 e 运算可近似看成微分运算.
22
由此可以得到基本运算中( )的误差估计,
e( x1 x2 ) e( x1 ) e( x2 ),
| e( x1 x2 ) || e( x1 ) | | e( x2 ) |
和差的误差限不超过各数的误差限之和.
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e( x1 x2 ) x2e( x1 ) x1e( x2 ),
•
数值分析是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
l n x,
Ax b , ......

a
b
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
数值 分析
近似解
计算机

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研究对象 那些在理论上有解而又无法手工计算的
数学问题
例
解300阶的线性方程组
求6阶矩阵的全部特征值
0.2642
0.2073 0.1709 0.1455 0.1268
0.2642
0.2073 0.1709 0.1455 0.1268
I7
I8 I9
0.2160
－0.7280 7.5520
0.1121
0.1035 0.0684
0.1124
0.1009 0.0916
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对任何 n都应有In>0, 但算法1的计算结果显示 I8<0, 可见, 虽然I0的近似误差不超过0.5×10－4, 但随
x1 er | er ( x1 ) | | er ( x2 ) | . x2
乘除相对误差限不超过各数相对误差限之和.
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例
设 y=xn, 求 y 的相对误差与 x 的相对误差之间
的关系. 解
e( y ) e( x n ) nx n1e( x )
e( y ) nx n1e( x ) e( x ) er ( y ) n ner ( x ) n y x x
x* 0.a1a2 an 10m .
其中m是整数, ai是0到9中的一个数字, a1 0. x* 作为x的近似值, 具有n位有效数字当且仅当
1 x x 10m n 2
*
由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小.
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例 为了使 x 2 的近似值的绝对误差不大于10－5,
基本运算中( )的误差估计 如
| 2 1.414 | 0.5 10 , | 5 2.236 | 0.5 10 ,
3
3
问
| 5 2 2.236 1.414 | ?
2 1.414 ? 5 2.236
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例
计算 A=f (x1, x2). 如果x1, x2的近似值为 x1*, x2*,
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主要内容
数值代数
近似求解线性方程组 (直接解法, 迭代解法) 矩阵特征值的计算
数值逼近： 插值法, 函数逼近 数值微分与数值积分
非线性方程求解
微分方程近似求解: 常微分方程数值解法
6
§1.2 误差的基本概念
误差：精确解与近似解之间的差
误差按来源可分为：
模型误差
观测误差
ε 0 .5 10m n 10 n εr m x* 0 .a1a2 ... an 10 2 0 .a1 ... 1 10 n1 2a1
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相对误差限 有效数字
1 n1 10 已知 x* 的相对误差限可写为 εr 2( a1 1)
则
着计算步数的增加, 误差明显增大. 这说明算法1给
出的递推公式是数值不稳定的. 而对于算法2, 虽然初始给出的 I9没有一位有效
数字, 但算至 I6已有4位有效数字. 这说明算法2中误
差随着计算过程的深入是逐步递减的, 因而是数值稳 定的.
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n x 1 I x 例 计算积分 n 0 e dx