第十二章(理) 第三节 函数的极限与连续性

第十二章（理） 第三节 函数的极限与连续性

题组一

求函数的极限

1.当m ＜0，n ＞0时，x →

m 2＋x 2＋m

n 2＋x 2＋n

的值为 ( )

A ．－m

n B ．0

C ．1 D.n

m

解析：0

lim x →

m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n

＝|m |＋m |n |＋n ＝－m ＋m

n ＋n ＝0.

答案：B

2．已知f (x )是关于x 的三次函数，且2lim

x →f (x )x －2＝－2，3lim x → f (x )x －3＝5，则43lim x →

f (x )

x －43

的

值是 ( ) A.103 B.59 C ．3 D ．不存在 解析：根据条件可设f (x )＝(ax ＋b )(x －2)(x －3)， 再由2

lim x →

f (x )x －2

＝－2，3lim x → f (x )

x －3＝5，

可得⎩⎪⎨⎪⎧

(2a ＋b )×(－1)＝－2，

(3a ＋b )×1＝5，

解之得⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝3，

b ＝－4，

故f (x )＝(3x －4)(x －2)(x －3)， ∴4

3lim

x →f (x )x －43

＝10

3. 答案：A

3．若2

lim x →x 2＋ax －2

x 2－4＝P (P ∈R ，P 为常数)，则a 和P 的值分别为 ( )

A ．0，12

B ．1，3

4

C.12，12 D ．－1，3

4

解析：已知x ＝2是x 2＋ax －2＝0的根，则a ＝2－222＝－1，

∴2lim x → x 2－x －2x 2－4＝2lim x → x ＋1x ＋2＝3

4 ∴P ＝34.

答案：D

4．求下列函数的极限． (1)lim x →∞ 5x 4－5x

1－3x －x 4； (2)lim x →∞

x 2－33x 3＋1

；

(3)2

lim x →

x －2

x 4－8x

； (4)1

lim x → (

11－x －31－x 3

)． 解：(1)lim x →∞5x 4－5x

1－3x －x 4＝lim x →∞5－5x

3

1

x 4－3x 3－1 ＝

5－0

0－0－1＝－5.

(2)∵x →－∞时，x ＜0，∴x ＝－x 2，

∴lim x →∞

x 2－33

x 3＋1

＝lim

x →-∞

－

1－

3

x 231＋1

x

3

＝－1

1＝－1. (3)原式＝2

lim

x →x －2

x (x －2)(x 2＋2x ＋4)

＝2

lim x →

1

x (x 2

＋2x ＋4)

＝

12×(4＋4＋4)＝1

24

.

(4)1

lim x → (

11－x －31－x 3

) ＝1lim x → (x 2＋x ＋1)－3

1－x 3 ＝1

lim x →

(x －1)(x ＋2)

(1－x )(x 2＋x ＋1)

＝1

lim x →

－(x ＋2)

x 2＋x ＋1

＝－3

3＝－1.

5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b (x ≤1)x 2＋ax －3x －1(x ＞1)在x ＝1处连续，则lim x →+∞ 3b x ＋a x b x －a x 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：∵f (x )在x ＝1处连续， ∴1

lim x -→f (x )＝1

lim x +

→f (x )＝f (1)． 对于x 2＋ax －3

x －1来讲，因为分母中，当x ＝1时1－1＝0，

因此，分子必为x －1乘以某个因式的形式， 则有当x ＝1时，x 2＋ax －3＝0⇒a ＝3－1

1＝2.

又∵1

lim x -

→f (x )＝1＋b ， 1

lim x +→f (x )＝1

lim x +

→(x ＋3)(x －1)

x －1

＝1lim x +

→(x ＋3)＝4， ∴1＋b ＝4，b ＝3，

∴lim x →+∞ 3b x

＋a x

b x －a x ＝lim x →+∞ 3·3x

＋2x

3x －2x ＝lim x →+∞ 3＋(23

)x

1－(23

)x

＝3. 答案：A

6．已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x 2＋2x ＋1 (x ≤0)

ax ＋b (x ＞0)在x ＝0处可导，则a ，b 的值依次为( )

A ．1,1

B ．2,1

C ．1,2

D ．2,2 解析：∵f (x )在x ＝0处连续，

∴0

lim x →f (x )＝f (0)＝1.∴0

lim x -→f (x )＝0

lim x +

→f (x )． ∴0

lim x -→ (x 2＋2x ＋1)＝0

lim x +

→ (ax ＋b )，∴b ＝1. ∵f (x )在x ＝0处可导，

∴0lim x -→ x 2＋2x ＋1－1x ＝0lim x +→ ax ＋1－1

x . 即2＝a ，∴a ＝2，b ＝1. 答案：B

7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋a (x ≥0)

1＋x －1－x x

(－1＜x ＜0)

b (x ＝－1)

，在区间[－1，＋∞)上连续，求a ，b

的值．

解：b ＝1

lim x +→f (x )＝1

lim x +

→ 1＋x －

1－x

x

＝0－2－1

＝2，

0lim x +

→f (x )＝0

lim x +

→ (x ＋a )＝a ， 0lim x -

→f (x )＝0

lim x -

→1＋x －

1－x

x

＝0

lim x -

→ 2x

x (1＋x ＋

1－x )

＝1.

∵f (x )在x ＝0处连续，∴a ＝1. 综上所述，a ＝

1，b ＝2为所求．