第十二章(理) 第三节 函数的极限与连续性

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第十二章(理) 第三节 函数的极限与连续性
题组一
求函数的极限
1.当m <0,n >0时,x →
m 2+x 2+m
n 2+x 2+n
的值为 ( )
A .-m
n B .0
C .1 D.n
m
解析:0
lim x →
m 2+x 2+m n 2+x 2+n
=|m |+m |n |+n =-m +m
n +n =0.
答案:B
2.已知f (x )是关于x 的三次函数,且2lim
x →f (x )x -2=-2,3lim x → f (x )x -3=5,则43lim x →
f (x )
x -43

值是 ( ) A.103 B.59 C .3 D .不存在 解析:根据条件可设f (x )=(ax +b )(x -2)(x -3), 再由2
lim x →
f (x )x -2
=-2,3lim x → f (x )
x -3=5,
可得⎩⎪⎨⎪⎧
(2a +b )×(-1)=-2,
(3a +b )×1=5,
解之得⎩
⎪⎨⎪⎧
a =3,
b =-4,
故f (x )=(3x -4)(x -2)(x -3), ∴4
3lim
x →f (x )x -43
=10
3. 答案:A
3.若2
lim x →x 2+ax -2
x 2-4=P (P ∈R ,P 为常数),则a 和P 的值分别为 ( )
A .0,12
B .1,3
4
C.12,12 D .-1,3
4
解析:已知x =2是x 2+ax -2=0的根,则a =2-222=-1,
∴2lim x → x 2-x -2x 2-4=2lim x → x +1x +2=3
4 ∴P =34.
答案:D
4.求下列函数的极限. (1)lim x →∞ 5x 4-5x
1-3x -x 4; (2)lim x →∞
x 2-33x 3+1

(3)2
lim x →
x -2
x 4-8x
; (4)1
lim x → (
11-x -31-x 3
). 解:(1)lim x →∞5x 4-5x
1-3x -x 4=lim x →∞5-5x
3
1
x 4-3x 3-1 =
5-0
0-0-1=-5.
(2)∵x →-∞时,x <0,∴x =-x 2,
∴lim x →∞
x 2-33
x 3+1
=lim
x →-∞

1-
3
x 231+1
x
3
=-1
1=-1. (3)原式=2
lim
x →x -2
x (x -2)(x 2+2x +4)
=2
lim x →
1
x (x 2
+2x +4)

12×(4+4+4)=1
24
.
(4)1
lim x → (
11-x -31-x 3
) =1lim x → (x 2+x +1)-3
1-x 3 =1
lim x →
(x -1)(x +2)
(1-x )(x 2+x +1)
=1
lim x →
-(x +2)
x 2+x +1
=-3
3=-1.
5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +b (x ≤1)x 2+ax -3x -1(x >1)在x =1处连续,则lim x →+∞ 3b x +a x b x -a x 的值为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 解析:∵f (x )在x =1处连续, ∴1
lim x -→f (x )=1
lim x +
→f (x )=f (1). 对于x 2+ax -3
x -1来讲,因为分母中,当x =1时1-1=0,
因此,分子必为x -1乘以某个因式的形式, 则有当x =1时,x 2+ax -3=0⇒a =3-1
1=2.
又∵1
lim x -
→f (x )=1+b , 1
lim x +→f (x )=1
lim x +
→(x +3)(x -1)
x -1
=1lim x +
→(x +3)=4, ∴1+b =4,b =3,
∴lim x →+∞ 3b x
+a x
b x -a x =lim x →+∞ 3·3x
+2x
3x -2x =lim x →+∞ 3+(23
)x
1-(23
)x
=3. 答案:A
6.已知函数f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2+2x +1 (x ≤0)
ax +b (x >0)在x =0处可导,则a ,b 的值依次为( )
A .1,1
B .2,1
C .1,2
D .2,2 解析:∵f (x )在x =0处连续,
∴0
lim x →f (x )=f (0)=1.∴0
lim x -→f (x )=0
lim x +
→f (x ). ∴0
lim x -→ (x 2+2x +1)=0
lim x +
→ (ax +b ),∴b =1. ∵f (x )在x =0处可导,
∴0lim x -→ x 2+2x +1-1x =0lim x +→ ax +1-1
x . 即2=a ,∴a =2,b =1. 答案:B
7.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
x +a (x ≥0)
1+x -1-x x
(-1<x <0)
b (x =-1)
,在区间[-1,+∞)上连续,求a ,b
的值.
解:b =1
lim x +→f (x )=1
lim x +
→ 1+x -
1-x
x
=0-2-1
=2,
0lim x +
→f (x )=0
lim x +
→ (x +a )=a , 0lim x -
→f (x )=0
lim x -
→1+x -
1-x
x
=0
lim x -
→ 2x
x (1+x +
1-x )
=1.
∵f (x )在x =0处连续,∴a =1. 综上所述,a =
1,b =2为所求.
8.若f (x )是定义在R 上的连续函数,且1
lim x →
f (x )
x -1
=2,则f (1)= ( ) A .2 B .1 C .0 D .-1
解析:1lim x →f (x )=1lim x → [f (x )
x -1·(x -1)]=2×0=0=f (1).
答案:C
9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪

ax +b -a ,0<x <1x -b -1x -a -1,1≤x <2(其中b >0),若1lim x →f (x )存在,且f (x )在(0,2)
上有最大值,值b 的取值范围是 ( ) A .(1,+∞) B .[1
2,1]
C .[1,+∞)
D .(0,1] 解析:1
lim x →f (x )存在,
即1lim x -→f (x )=1lim x +→f (x ),则b =b
a ,a =1. 于是f (x )=⎩⎪⎨⎪

x +b -1,0<x <1,
x -b -1
x -2,1≤x <2,
当0<x <1时,b -1<f (x )<b ; 当1≤x <2时,f (x )=x -b -1x -2=1+1-b
x -2.
由于f (x )在(0,2)上有最大值, 则1-b ≥0,即0<b ≤1. 答案:D
10.若1lim x → x 2+Ax +B
x 2-1=3,则直线Ax +By +C =0的倾斜角为 ( )
A .π-arctan 45
B .arctan 4
5
C .π-arctan 54
D .arctan 5
4
解析:由于1lim x → x 2+Ax +B
x 2-1
=3,则1是x 2+Ax +B =0的根,1+A +B =0,B =-
A -1,代入原式得1lim x → x 2+Ax +
B x 2-1=1lim x → x +1+A x +1=2+A
2,A =4,B =-5,则直
线Ax +By +C =0的倾斜角为arctan 4
5.
答案:B
11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
cx +1 (0<x <c )2-x c 2+k (c ≤x <1)在区间(0,1)内连续且f (c 2)=9
8
. (1)求实数k 和c 的值; (2)解不等式f (x )>
2
8
+1. 解:(1)∵0<c <1∴c 2<c . ∴f (c 2)=c 3+1=98,∴c =1
2
.
∴f (x )=⎩⎨⎧
12x +1 (0<x <1
2)
2-4x
+k (1
2
≤x <1).
又∵f (x )在(0,1)内连续,∴f (x )在x =1
2处连续.
由于12
lim x →
f (x )=1()2
lim x +
→ (2-4x +k )=2-2+k ,
1()2
lim x -
→ (12x +1)=12×12+1=5
4. ∴2-2+k =5
4
,∴k =1.
(2)由(1)知f (x )=⎩⎨

1
2x +1
(0<x <1
2
)
2-4x
+1
(1
2
≤x <1)
.
由f (x )>
2
8
+1, ①当0<x <12时,12x +1>28+1,得24<x <1
2;
②当12≤x <1时,2-4x +1>28+1,得12≤x <5
8
.
综上f (x )>28+1的解集为{x |24<x <58
}.。

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