第十二章(理) 第三节 函数的极限与连续性

第十二章（理） 第三节 函数的极限与连续性
题组一
求函数的极限
1.当m ＜0，n ＞0时，x →
m 2＋x 2＋m
n 2＋x 2＋n
的值为 ( )
A ．－m
n B ．0
C ．1 D.n
m
解析：0
lim x →
m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n
＝|m |＋m |n |＋n ＝－m ＋m
n ＋n ＝0.
答案：B
2．已知f (x )是关于x 的三次函数，且2lim
x →f (x )x －2＝－2，3lim x → f (x )x －3＝5，则43lim x →
f (x )
x －43
的
值是 ( ) A.103 B.59 C ．3 D ．不存在 解析：根据条件可设f (x )＝(ax ＋b )(x －2)(x －3)， 再由2
lim x →
f (x )x －2
＝－2，3lim x → f (x )
x －3＝5，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
(2a ＋b )×(－1)＝－2，
(3a ＋b )×1＝5，
解之得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝－4，
故f (x )＝(3x －4)(x －2)(x －3)， ∴4
3lim
x →f (x )x －43
＝10
3. 答案：A
3．若2
lim x →x 2＋ax －2
x 2－4＝P (P ∈R ，P 为常数)，则a 和P 的值分别为 ( )
A ．0，12
B ．1，3
4
C.12，12 D ．－1，3
4
解析：已知x ＝2是x 2＋ax －2＝0的根，则a ＝2－222＝－1，
∴2lim x → x 2－x －2x 2－4＝2lim x → x ＋1x ＋2＝3
4 ∴P ＝34.
答案：D
4．求下列函数的极限． (1)lim x →∞ 5x 4－5x
1－3x －x 4； (2)lim x →∞
x 2－33x 3＋1
；
(3)2
lim x →
x －2
x 4－8x
； (4)1
lim x → (
11－x －31－x 3
)． 解：(1)lim x →∞5x 4－5x
1－3x －x 4＝lim x →∞5－5x
3
1
x 4－3x 3－1 ＝
5－0
0－0－1＝－5.
(2)∵x →－∞时，x ＜0，∴x ＝－x 2，
∴lim x →∞
x 2－33
x 3＋1
＝lim
x →-∞
－
1－
3
x 231＋1
x
3
＝－1
1＝－1. (3)原式＝2
lim
x →x －2
x (x －2)(x 2＋2x ＋4)
＝2
lim x →
1
x (x 2
＋2x ＋4)
＝
12×(4＋4＋4)＝1
24
.
(4)1
lim x → (
11－x －31－x 3
) ＝1lim x → (x 2＋x ＋1)－3
1－x 3 ＝1
lim x →
(x －1)(x ＋2)
(1－x )(x 2＋x ＋1)
＝1
lim x →
－(x ＋2)
x 2＋x ＋1
＝－3
3＝－1.
5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b (x ≤1)x 2＋ax －3x －1(x ＞1)在x ＝1处连续，则lim x →+∞ 3b x ＋a x b x －a x 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 解析：∵f (x )在x ＝1处连续， ∴1
lim x -→f (x )＝1
lim x +
→f (x )＝f (1)． 对于x 2＋ax －3
x －1来讲，因为分母中，当x ＝1时1－1＝0，
因此，分子必为x －1乘以某个因式的形式， 则有当x ＝1时，x 2＋ax －3＝0⇒a ＝3－1
1＝2.
又∵1
lim x -
→f (x )＝1＋b ， 1
lim x +→f (x )＝1
lim x +
→(x ＋3)(x －1)
x －1
＝1lim x +
→(x ＋3)＝4， ∴1＋b ＝4，b ＝3，
∴lim x →+∞ 3b x
＋a x
b x －a x ＝lim x →+∞ 3·3x
＋2x
3x －2x ＝lim x →+∞ 3＋(23
)x
1－(23
)x
＝3. 答案：A
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ＋1 (x ≤0)
ax ＋b (x ＞0)在x ＝0处可导，则a ，b 的值依次为( )
A ．1,1
B ．2,1
C ．1,2
D ．2,2 解析：∵f (x )在x ＝0处连续，
∴0
lim x →f (x )＝f (0)＝1.∴0
lim x -→f (x )＝0
lim x +
→f (x )． ∴0
lim x -→ (x 2＋2x ＋1)＝0
lim x +
→ (ax ＋b )，∴b ＝1. ∵f (x )在x ＝0处可导，
∴0lim x -→ x 2＋2x ＋1－1x ＝0lim x +→ ax ＋1－1
x . 即2＝a ，∴a ＝2，b ＝1. 答案：B
7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋a (x ≥0)
1＋x －1－x x
(－1＜x ＜0)
b (x ＝－1)
，在区间[－1，＋∞)上连续，求a ，b
的值．
解：b ＝1
lim x +→f (x )＝1
lim x +
→ 1＋x －
1－x
x
＝0－2－1
＝2，
0lim x +
→f (x )＝0
lim x +
→ (x ＋a )＝a ， 0lim x -
→f (x )＝0
lim x -
→1＋x －
1－x
x
＝0
lim x -
→ 2x
x (1＋x ＋
1－x )
＝1.
∵f (x )在x ＝0处连续，∴a ＝1. 综上所述，a ＝
1，b ＝2为所求．
8.若f (x )是定义在R 上的连续函数，且1
lim x →
f (x )
x －1
＝2，则f (1)＝ ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1
解析：1lim x →f (x )＝1lim x → [f (x )
x －1·(x －1)]＝2×0＝0＝f (1)．
答案：C
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
ax ＋b －a ，0＜x ＜1x －b －1x －a －1，1≤x ＜2(其中b ＞0)，若1lim x →f (x )存在，且f (x )在(0,2)
上有最大值，值b 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．[1
2，1]
C ．[1，＋∞)
D ．(0,1] 解析：1
lim x →f (x )存在，
即1lim x -→f (x )＝1lim x +→f (x )，则b ＝b
a ，a ＝1. 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋b －1，0＜x ＜1，
x －b －1
x －2，1≤x ＜2，
当0＜x ＜1时，b －1＜f (x )＜b ； 当1≤x ＜2时，f (x )＝x －b －1x －2＝1＋1－b
x －2.
由于f (x )在(0,2)上有最大值， 则1－b ≥0，即0＜b ≤1. 答案：D
10．若1lim x → x 2＋Ax ＋B
x 2－1＝3，则直线Ax ＋By ＋C ＝0的倾斜角为 ( )
A ．π－arctan 45
B ．arctan 4
5
C ．π－arctan 54
D ．arctan 5
4
解析：由于1lim x → x 2＋Ax ＋B
x 2－1
＝3，则1是x 2＋Ax ＋B ＝0的根，1＋A ＋B ＝0，B ＝－
A －1，代入原式得1lim x → x 2＋Ax ＋
B x 2－1＝1lim x → x ＋1＋A x ＋1＝2＋A
2，A ＝4，B ＝－5，则直
线Ax ＋By ＋C ＝0的倾斜角为arctan 4
5.
答案：B
11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
cx ＋1 (0＜x ＜c )2－x c 2＋k (c ≤x ＜1)在区间(0,1)内连续且f (c 2)＝9
8
. (1)求实数k 和c 的值； (2)解不等式f (x )＞
2
8
＋1. 解：(1)∵0＜c ＜1∴c 2＜c . ∴f (c 2)＝c 3＋1＝98，∴c ＝1
2
.
∴f (x )＝⎩⎨⎧
12x ＋1 (0＜x ＜1
2)
2－4x
＋k (1
2
≤x ＜1).
又∵f (x )在(0,1)内连续，∴f (x )在x ＝1
2处连续．
由于12
lim x →
f (x )＝1()2
lim x +
→ (2－4x ＋k )＝2－2＋k ，
1()2
lim x -
→ (12x ＋1)＝12×12＋1＝5
4. ∴2－2＋k ＝5
4
，∴k ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝⎩⎨
⎧
1
2x ＋1
(0＜x ＜1
2
)
2－4x
＋1
(1
2
≤x ＜1)
.
由f (x )＞
2
8
＋1， ①当0＜x ＜12时，12x ＋1＞28＋1，得24＜x ＜1
2；
②当12≤x ＜1时，2－4x ＋1＞28＋1，得12≤x ＜5
8
.
综上f (x )＞28＋1的解集为{x |24＜x ＜58
}．。