泰勒公式与导数的应用

泰勒公式与导数的应用名称主要内容

泰勒中值定理：如果f ( x) 在含有

x 0 的某个开区间( a,b) 内具有

n

1阶的导数，则对任一

x (a,b) ，有 f (x) f (x0 ) f / (x0 )( x x0) f //2(!x0 )(x

x0)2

0 2!

f (n) (x0) n

(x x0) R n( x) ，此公式称为n 阶泰勒公式；

n!

f (n 1)

( )n 1

其中R n (x) (x x 0) ( 介于x0 于x 之间)，称为拉格朗日型余或泰(n 1)!

R n(x) o[( x x0)n ] ，称为皮亚诺型余项。

勒n 阶麦克劳林公式：

f (x) f (0) f/(0)x f //(0) x2 f (n)(0) x n

x R n(x)

2! n!

公

其中R n ( x) ( n 1)

f ( x) n 1 x(0 1)或R n(x) o(x n ) 。

(n 1)!

式常用的初等函数的麦克劳林公式：1)e x1

2

x x n x

o(x n) 2! n!

35 2n 1

2) sin x x xx (n x 2n 2 )

1) o( x

3! 5! (2n 1)!

246 2n

3) cos x 1 xxx n x2n 1)

( 1) n o(x2n

2! 4! 6! (2n)!

23

xx x ( 1)n x n1

4) ln(1 x) n1

o(x n1)

23 n 1

5) 11x 1

2

x x x n o(x n)

1x

m 6) (1 x)

m(m

1 mx

1) 2 m( m 1) ( m n 1) n

n)

x n! x o( x

2!

1

3

x

巩固练习

★1.按(x 1)的幂展开多项式 f (x) x 4 3x 2 4。

知识点 ：泰勒公式。

思路：直接展开法。求 f (x) 按(x x 0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式，则依次求 f ( x) 直到 n 1 阶的导 数在 x

x 0 处的值，然后带代入公式即可

f (1) 10 ； f (x) 12x 2 6， f (1) 18；

将以上结果代入泰勒公式，得

介于 x 与 4之间)

知识点 ：麦克劳林公式。

思路：间接展开法。 f(x) 为有理分式时通常利用已知的结论

1

1x

1 x x

2 x n o(x n )。

解： f ( x)

2 1 x x 2

1 x x

2

1 x x

2 x

2

1 x x

2x 1 x x 2

2x(1

x)

1

解： f (x) 4x 3 6x ，

f (x) 24x ， f (1)

24； f (4)(x)

(5)

24； f (4)(1) 24； f (5)(x) 0；

f (x) f (1)

f 1(!1)

(x

1!

1)

f 2(!1)(x

2!

1)2

f 3(!1)

(x 1)3

3!

f (44)!(1)(x 1)4

4!

8 10( x 1)

9( x 1)2 4(x 1)3

(x

1)4。 ★★

2.求函数

f (x) 4) 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。

知识点 ：泰勒公式。

思路 ：同 1。 解： f ( x)

1

21

x ， f (4)

1

1

4； f (x)

1

x 2 4

(4)

1 32

f ( x) 3

x

8

5

2

， f (4)

3 256

(4)

(x)

15 x 16

将以上结果代入泰勒公式，得

f (x) f (4)

f (4) (x 1!

4)

f 2(!4)(x

2!

4)2

(4) 3! (x

4)3

ξ

( x 4)4

4!

★★★

3.把

f (x)

11 x x x x2

2 在x

1 x x

0点展开到含 x 4

项，并求 f (3) (0) 。

4

x

1 2x(1 x)(1 x 3 o(x 3)) 1 2x 2x

2 2x 4 o( x 4 ) ；

3

f (0)

又由泰勒公式知 x 3前的系数

0，从而 f (0) 0 。 3!

★★4.求函数 f (x) ln x 按(x 2) 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式。

知识点 ：泰勒公式。

n1 n

x ( 1)n n o(x n 1

) 。

思路 ：直接展开法，解法同 1；或者间接展开

法，

f ( x) 为对数函数时，通常利用已知的结

论

方法一 ：(直接展开) f (x)

1 ， f (2)

x

1 x4 将以上结果代入泰勒公式，得

f (x) 23 ， f (2)

,f (n) (x)

1

；

f ( x) 2 ，

f (2)

x

1 (n 1)! 1)n ， f (n) (2)

ln x f (2) f (2) 1

! (x 2)

f 2(!2)

(x

2!

2)2

f (2) (x (4)

3! 2)3

(2) 4!

f (n)

(2) ( x n! 2)n

o((x 2)n

)

ln 2

12(x

2)

1

23

(x

2)2 ( 1) 1

1

(x 2)n o(( x 2)n )。 方法 f (x) ln

ln( 2 x 2) ln 2 ln(1 x2 x 22)

ln2

2)3

1)n (x x2 2

1 (n 1)!

2n

2)4

L (x

2)3 1(x 32 1

3 (x 2)3 3 23

1)

n11n

(x

n

( 1)n

2 2)n

o((x 2 2)n ) 1 1

n (x 2)n o(( x n 2n

ln2

1

2(x

2) 1 2 1

3 ( x 2

3 22)2 2)2

2)n )。

★★

5.求函数 f(x)

思路： 直接展开法，解法同

1； 或 者间接展开 法，

f (x) 为有理分式时通常利用已知的结 论

1 1x 1 x x

2 (1 1 )n 2

x n 1

方法 ： f (x)

1)

1； f ( x)

1) 2 ； f (x)

f ( 1) 6

(n)

(x)

1)n n!

n1 x

(n)(

1)

( 1)n

n!

n 1

n! ；

( 1) n 1

2

x

ln( 1 x) x

2 x 3