机械制图点的投影

第三讲点的投影（50分钟）

（一）教学内容：

1．点在两投影面体系中的投影

2. 点在三投影面体系中的投影

3. 两点的相对位置和重影点

（二）目的与要求

1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影求作第三投影的要领；

2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。

（三）讲课提纲及其说明

一、点在两投影面体系中的投影（15分钟）

1、投影面体系的建立

如图1所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V和水平投影面（简称水平面）H，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本书只讲述物体在第一分角的投影。V面和H面的交线称为投影轴OX。

2.点的两面投影

如图1（a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa′、Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a′和水平投影（H面投影）a，即点A的两面投影。

空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a′、b′、c′、…表示。

为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。展开时V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图，如图1(b)所示。投影图上的细实线aa′称为投影连线。

在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x，图1(c)即为点A的投影图。

3.点的两面投影规律

空间三点A、a′、a构成一个平面，由于平面Aa′a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a′⊥OX、aa x⊥OX。当H面与V面展平后，a、a x、a′三点必共线，即aa′⊥OX。

又因Aaa x a′是矩形，所以a x a′=Aa，a x a=Aa′。亦即：点A的V面投

由此可得出点的两面投影规律：

（1）点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa′⊥OX。

（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即：

a x a′=Aa a x a=Aa′

以上内容属于讲稿。对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，写出讲稿来。对于老教师可以这样写：

对照直观图和投影图，在H和V两投影面体系内，讲述作点的正投影的空间情况；分析其两个投影之间的几何关系及其在投影图上的投影；介绍点的投影名称及其在投影图上的符号。从空间到平面，再从平面到空间。总结出点在两投影面体系中的投影规律。（注意演示）

二.点在三投影面体系中的投影（15分钟）

1.三投影面体系的建立

两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需采用三面投影图。如图2(a)所示，再设立一个与V、H面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W，形成三投影面体系。它的三条投影轴OX、OY、OZ 必定互相垂直。

2.点的三面投影

由空间点A分别作垂直于H、V、W面的投射线，其交点a、a′、a〃即为点A的三面投影。

空间点的W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a〃、b〃、…等, 如图2(a)所示。

投影面展开时，W 面绕OZ 轴向右旋转90°和V 面展成一个平面，得到三面投影图，如图2(b)所示。OY 轴在H 、W 面上分别表示为OY H 、OY W 。同样，不必画出投影面的边框， 如图2(c)所示。

3.点的三面投影规律

在三投影面体系中，Aaa x a ′a z a 〃a y O 构成一长方体，由于点在两投影面体系中的投影规律在三投影面体系中仍然适用，由此可得出如下关系：aa ′⊥OX 、a ′a 〃⊥OZ 、aa YH ⊥OY H 、a 〃a YW ⊥OY W 、aa X = a 〃a Z 。

若把三投影面体系看作直角坐标系，则投影轴、投影面、点O 分别是坐标轴、坐标面和原点。则可得出点A （x ，y ，z ）的投影与其坐标的关系：

x=a Z a ′=aa YH =点A 到W 面的距离A a 〃；

y=aa X =a Z a 〃=点A 到V 面的距离A a ′；

z= a X a ′= a 〃a YW =点A 到H 面的距离Aa 。

由此可得出点的三面投影规律：

（a ） （b ） （c ）

图2 点在三投影面体系中的投影

(1) 点的投影连线垂直于相应的投影轴，即aa ′⊥OX 、a ′a 〃⊥OZ 。

(2) 点的投影到投影轴的距离，等于该点的某一坐标值，也就是该

点到相应投影面的距离。

以上内容属于讲稿。对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，写出讲稿来。对于老教师可以这样写：

对照直观图，增加W 面，建立三投影面体系。分析点在W 面上的投影，与其他两个投影的几何关系，（特别是和H 面投影的关系），及其在投影图上的投影；最后总结出点在三投影面体系中的投影规律。注意从空间到平面。从平面到空间的演示过程，从而树立点的空间概念。（注意演示）

[例1] 已知空间点A 到三投影面W 、V 、H 的距离分别为20、10、15，求作点A 的三面投影。

[解]：画投影轴，根据点到投影面的距离与坐标值的对应关系，先作点A （20，10，15）的两面投影：在X 轴上量取20，定出点a X ,

如图 （a ） （b ） （c ）

图3 作点的三面投影

4(a)所示；过点a X作OX轴的垂线，自a X顺OY H方向量取10，作出点A的水平投影a，顺OZ轴方向在垂线上量取15，作出点A的正面投影a′, 如图3(b)所示。

据点的投影规律，作出点A的第三面投影a〃。按a′a〃⊥OZ，过a′作OZ轴的垂线，交点为a Z，并量取a Z a〃=aa X，得到a〃。也可通过45°分角线确定a〃, 如图3(c)所示。

以上还是讲稿。主要解决已知点的坐标，如何作点的投影图。

三.两点的相对位置和重影点（15分钟）

1．两点的相对位置

如图4所示，空间两点的投影不仅反映了各点对投影面的位置，也反映了两点之间左右、前后、上下的相对位置。由图可以看出，x B>x A，故点B在点A之左，同理，点B在点A之后（y A>y B）、之下（z B﹤z A）。因此，

2．重影点