2019-2020学年云南省第五中学高二上学期期末数学(文)试题及答案

2019-2020学年云南省曲靖市宣威市第五中学高二上学期
期末数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合(){}ln 2|A x y x ==-，{}0,1,2,3,4B =，则A B ⋂= ( )
A ．{}0
B ．{}3,4
C ．{}2,3,4
D ．{}1,2,3,4
【答案】B
【解析】根据对数的真数大于零，求得集合A ，再利用集合的交运算，求得结果. 【详解】
因为对数的真数大于零，故20x ->，解得2x >, 所以{|2}A x x =>，∴{}3,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】
本题考查集合的交运算，涉及对数函数的定义域求解. 2．已知复数421i
z i
-=+(i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为
( ) A ．3 B ．3i
C ．3-
D ．3i -
【答案】A
【解析】先利用复数除法运算化简复数z ，再求其共轭复数，找到虚部. 【详解】
42i (42i)(1i)26i
13i 1i (1i)(1i)2
z ----=
===-++-， ∴13i z =+，则复数z 的虚部为3. 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的乘除法，以及共轭复数的求解，虚部的辨识，属复数综合题.
3．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直
角三角形 D ．直角三角形
【答案】B
【解析】利用三视图还原几何体的直观图，即可得答案. 【详解】
由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，所以截面是等腰三角形，如图所示， 故选：B..
【点睛】
本题考查三视图的成图原理，考查空间想象能力，属于基
础题.
4．函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最大值是( )
A ．12
B ．1
C ．32
D ．2
【答案】B
【解析】利用倍角公式，化简解析式，再求函数的最大值. 【详解】
函数(sin cos )(sin cos )y x x x x =+-
22sin cos cos 2x x x =-=-
故它的最大值是1. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角函数的最值，涉及倍角公式的使用，属基础题.
5．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1515
3
S =
，则8a =(
)
A ．13
B ．2
3
C ．13
-
D ．2
3
-
【答案】A
【解析】根据等差数列前n 项和的性质进行求解. 【详解】
由等差数列的性质可得
1158151515()
1532
a a S a +=
==， 解得813a =. 故选：A. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和的性质，即()21121n n S n a ++=+. 6．若点
(2,A -在抛物线22y px =上，F
为抛物线的焦点，
则AF =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C
【解析】利用点在在抛物线22y px =上求出p 的值，再利用焦半径公式，即可得答案. 【详解】 ∵点
(2A -，在抛物线22y px =上，
∴
2(4p -=，即2p =，
∴||2A p
AF x =+=213+=. 故选：C. 【点睛】
本题考查求抛物线的方程、焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.
7．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图甲和乙所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )
A ．160，12
B ．120，12
C ．160，9
D ．120，9
【答案】A
【解析】根据甲图可得样本容量，再根据乙图计算对四居室满意的人数. 【详解】
样本的容量(250150400)20%160n =++⨯=，
抽取的户主对四居室满意的人数为15020%40%12⨯⨯=， 故选：A. 【点睛】
本题考查统计图表的识别，属基础题. 8．已知,m n R ∈，则“
20190m
n
-=”是“20190m n -=”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】对等式进行变形，既要判断充分性，又要判断必要性. 【详解】
由20190m n -=，得2019m n =，
所以2019m n =，即20190m n -=，充分性成立；
当m =0n =时，满足20190m n -=，
但20190m
n -=无意义，必要性不成立，
所以“20190m
n -=”是“20190m n -=”成立的充分不必要条件.
故选：A. 【点睛】
本题考查充要条件的判定，结合具体题目具体分析即可. 9．函数sin 31cos()x
y x π=
--在
(),x ππ∈-上的图象大致为(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性，以及特殊值，进行判断. 【详解】 函数sin 3sin 31cos(π)1cos x x
y x x ==--+，
满足
sin 3()()1cos x
f x f x x
--=
=-+， 函数为奇函数，排除A ； 由于
3π
sin
2121cos ππ
2
f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭+，
sin π0
31cos π3πf ⎛⎫
== ⎪⎝⎭+， 2πsin 2π0
2π31cos 3
f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭+， 结合图象，排除B ，C. 故选：D. 【点睛】
本题考查函数图像问题，此类问题一般从函数单调性、奇偶性、特殊值进行判断.
10．已知a ∈R 且为常数，圆22:220C x x y ay ++-=，过圆C 内一点（1，2）的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，当弦AB 最短时，直线l 的方程为20x y -=，则此时圆的半径为（ ） A
B
C
D
【答案】B
【解析】圆C 化成标准方程为222(1)()1x y a a ++-=+，圆心坐标为(1)C a -，
，根据圆的性质得过圆心与点
(12)，的直线与直线20x y -=垂直时弦最短，求出a 的值，即
可得答案. 【详解】
圆C 化成标准方程为222(1)()1x y a a ++-=+，圆心坐标为
(1)C a -，
，如图，
由题意得，过圆心与点(12)，的直线与直线20x y -=垂直时弦最短，
则21
112a -=---，即3a =， 所以圆的半径为23110+=.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线与圆相交的弦长问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意弦长公式的应用. 11．已知抛物线28
5y x =-的准线
l 经过双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点F ，且该双曲线的一条渐近线
过点()1,2P ，则该双曲线的标准方程为( )
A ．22
1164x y -=
B ．22
184x y -=
C ．22
148x y -=
D ．22
1416x y -=
【答案】D
【解析】由抛物线的准线可知双曲线的焦点，即c 可求，再根据渐近线过点()1,2P ，联立222+=a b c 即可求得. 【详解】 抛物线285y x =-的准线为l :5x =
可得2
5c =2220a b +=，
由题意得2b
a =，解得2a =，4
b =，
则双曲线的标准方程为22
1416x y -=，
【点睛】
本题考查双曲线方程的求解，根据题意，寻找,,a b c 关系解方程即可；本题涉及抛物线的方程，属圆锥曲线综合基础题.
12．已知A ，B ，C 三点都在表面积为25π的球O 的表面上，若
AB =60ACB ∠=︒，则球内的三棱锥O ABC -的体积的最大值为（ ）
A
B C D ．【答案】C
【解析】由球O 的表面积为25π，得球的半径5
2R =，求得球心到底面的距离，再利用余弦定理和基本不等式，求得底面面积的最大值，即可得答案. 【详解】
如图，由球O 的表面积为25π，得球的半径52R =， ∵
AB =60ACB ∠=︒，
∴A ，B ，C 三点所在圆的半径为122r =
⨯=，
所以球心O 到平面ABC 的距离32
d ==， 在
ABC 中，由余弦定理得2222cos60AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，
即2212AC BC AC BC AC BC =+-⋅≥⋅，
则max 1
()sin 602
ABC S AC BC =
︒=△
∴球内的三棱锥
O ABC -的体积的最大值为1332⨯=.
【点睛】
本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式的应用.
二、填空题
13．已知向量()2,a m =-，()3,1b =，若a //b ，则
m =____________.
【答案】23
-
【解析】根据向量共线的坐标公式，求得参数即可. 【详解】 ∵a //b ∴230m --=， ∴23
m =-
. 故答案为：2
3
-. 【点睛】
本题考查向量共线的坐标公式(1221x y x y =)，属基础题. 14．将)(32012化为五进制数为()5abc ，则a b c ++=____________. 【答案】7
【解析】先将“三进制”转化为“十进制”数，再转化为“五进制数”，即可得答案.
【详解】
“三进制”数)(3
2012转化为“十进制”数为
3210
2303132359
⨯+⨯+⨯+⨯=，
将十进制数59转化为五进制数：595114
÷=，
11521
÷=，2502
÷=，
∴将十进制数59化为五进制数是(5)
214，则7
a b c
++=.
故答案为：7.
【点睛】
本题考查“三进制”转化为“五进制数”，考查运算求解能力，求解时注意要实现两种进制的转化，而以“十进制”为过渡.
15．若x，y满足约束条件
10
10
10
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪+≥
⎩
，则1
2
z x y
=+的最小值
为____________.
【答案】2-
【解析】根据不等式组，画出可行域，数形结合，求得最小值.
【详解】
根据题意，作出不等式组对应的平面区域如下图所示：
由12z x y =+，得1
2y x z =-+，
平移直线12
y x z =-+， 由图象可知当直线经过点A 时， 直线1
2y x z =-+的截距最小，此时z 最小，
由101x y y -+=⎧⎨=-⎩
，
，得(21)A --，， 此时min 1
(2)(1)22
z =
⨯-+-=-. 故答案为：-2. 【点睛】
本题考查简单线性规划问题，属基础题，重点是数形结合. 16．已知函数
()31f x ax x =++的图象在点()()1,1f 处的切线与直
线1
7y x =-垂直，则实数a =_______. 【答案】2
【解析】由切线与直线1
7
y x =-垂直，可得()1f '的值，求导后代值计算. 【详解】
由3()1f x ax x =++，得2()31f x ax '=+，
∴(1)31f a '=+，即()f x 在1x =处的切线的斜率为31a +， ∵
()f x 在1x =处的切线与直线1
7
y x =-
垂直， ∴317a +=，∴2a =. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，即()0f x '为函数上过点()()00,x f x 的切线的斜率.
三、解答题
17．已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，
且cos 2cos a A
b B =-. (1)求a
c . (2)若4b =，1
cos 4
C =
，求ABC 的面积.
【答案】(1)1
2；【解析】（1）利用正弦定理，将边化角，整理化简即可求
得；
（2）结合由（1）所得方程，以及（2）中已知条件，由余弦定理解得c 边，用面积公式求解. 【详解】
（1）∵cos 2cos a A
b B =-，
∴2cos cos a a B b A -=. 由正弦定理得
2sin sin cos sin cos sin()sin A A B B A A B C =+=+=，
∴sin 1
sin 2a A c C ==.
（2）由（1）可得2c a =，
∵1cos 4C =
且C 为三角形的内角，∴sin C = 由余弦定理，可得2221
416244
c a a a ==+-⨯⨯， ∴232160a a +-=， 解得2a =或8
3a =-
(舍去)，
∴11
sin 242
2
ABC S ab C ==⨯⨯=△
【点睛】
本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属基础问题.
18．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示.
（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收人薪资高于8000元的城市的概率；
（2）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元的概率.
【答案】（1）7
15（2）2
5
【解析】（1）记事件A为该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市，利用古典概型可得概率()
P A；
（2）记2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低
于8000元为事件B ，利用古典概型可得概率()P B . 【详解】
（1）设该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市为事件A ，
15座城市中月平均收入薪资高于8000元的有7个， 所以7
()15
P A =
. （2）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个，
其中月平均期望薪资高于8000元的有3个，记为1A ，2
A ，
3A ；
月平均期望薪资低于8000元的有3个，记为1B ，2B ，3B ，
选取两座城市所有的可能为：
12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B 23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共
15种，
设2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ， 所以62()155
P B ==. 【点睛】
本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题.
19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，6ABC π
∠=，3BCD π
∠=，
4AD
CD
，过点
A 作AE A
B ⊥，交B
C 于点E (如图甲).现
沿AE 将ABE △折起，使得BC DE ⊥，得四棱锥B AECD -(如图乙).
(1)求证:平面BDE ⊥平面ABC ；
(2)若侧棱BC 上的点F 满足2FC BF =，求三棱锥B DEF -的体积.
【答案】(1)证明见详解；(2)16
3
【解析】（1）先证明DE 垂直于平面BAC ，再推证面面垂直.
（2）结合题目中的位置关系，找到棱锥B DEF -的体积与棱锥B CDE -的体积关系，通过求解B CDE -的体积，解决问题. 【详解】
(1)证明:∵AB AE ⊥，π
6ABC ∠=，∴π3
BEA ∠=， 又π
3
BCD ∠=
，∴//AE CD . 又//AD CE ，AD CD =， ∴四边形ADCE 是菱形，
∴DE AC ⊥，又DE BC ⊥，AC BC C ⋂=， ∴DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ， ∴平面BDE ⊥平面ABC .
（2）由（1）知DE ⊥平面ABC ， 又AB 平面ABC ，∴DE AB ⊥，
又AB AE ⊥，AE DE E ⋂=， ∴AB ⊥平面ADCE . ∵4AE CD ==，π
6ABC ∠=，π2
BAE ∠=， ∴
AB =
又144sin 23π
CDE S =⨯⨯⨯=，
∴11
1633
B CDE CDE
V S AB -⋅==⨯=△， ∵2FC BF =， ∴1
16
33
B DEF B CDE V V --==. 【点睛】
本题考查通过线面垂直证明面面垂直，以及三棱锥体积的求解；其难点在与将三棱锥的体积进行转化.
20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为
6，离心率为1
3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，左､右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且
12//F M F N ，直线1F M
的斜率为AM ，BN 的斜率
分别为12,k k ，试证明:1232k k +的值为定值.
【答案】(1)2
219
8
x y ；(2)证明见详解.
【解析】（1）根据长轴及离心率信息，求解,,a b c ，写出椭圆方程即可；
（2）由题可知直线1MF 的方程，联立方程组求得点M 坐标，根据对称性求得N 点坐标，再计算斜率，即可证明. 【详解】
（1）由题意，可得26
a=，
又1
3
c
a
=，222
a b c
=+，
联立解得3
a=，1
c=，22
b=，
故椭圆C的标准方程为221
98
x y.
（2）证明:如图，由(1)可知(30)
A-，，(30)
B，，1(10)
F-，，2(10)
F，，据题意，1F M的方程为6(1)
y x
=+.
记直线1F M与椭圆的另一个交点为M'，
设111
()(0)
M x y y>
，，22
()
M x y
'，，
∵12
//
F M F N，根据对称性可得22
()
N x y
--
，，
联立
22
8972
6(1)
x y
y x
⎧+=
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，
，
消去y，得
2
142790
x x
++=，
∵12
x x
>，∴13
7
x=-，23
2
x=-，
∵11
1
11
26(1)46
3
y x
k
x
+
===
+
，
22
2
22
26(1)26
333
y x
k
x x
-+-
===
--+
，
∴124626
32320
93
k k
⎛
+=⨯+⨯-=
⎝⎭
，
即12
32
k k
+的值为定值0.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆上点的坐标求解，属椭圆基础题.
21．已知函数()()ln 1f x x ax a =--∈R .
(1)当2a =时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)令()()1g x f x =+，若对于任意的()0,x ∈+∞，都有()0g x <，求a 的取值范围.
【答案】(1)20x y ++=；(2)1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
， 【解析】（1）求导，利用导数的几何意义，求得切线方程； （2）由（1）求得()g x ，对参数a 进行分类讨论，求得对应情况下函数的单调性，结合函数的最值，求解参数的范围. 【详解】
（1）当2a =时，()ln 21f x x x =--， ∴
112()2x
f x x x
-'=
-=，则(1)1f '=-， 又(1)213f =--=-，
∴()f x 在点(1(1))f ，处的切线方程为3(1)y x +=--， 即20x y ++=.
（2）由题设知()ln g x x ax =-， 所以()g x 的定义域为(0)+∞，，1()ax
g x x
-'=
.
当0a ≤时，()0g x '>，()g x 在(0)+∞，上单调递增， 又(1)0g a =-≥，不合题意；
当0a >时，当1
0x a <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1
x a
>
时，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴函数()g x 在1
x a =处取得最大值为11
ln 1g a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
∵对于任意的(0)x ∈+∞，，都有()0<g x ， ∴1ln
10a -<，即1e
a >， ∴a 的取值范围是1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，以及利用导数，由恒成立问题求解参数的取值范围；其中，对含参函数单调性的讨论是重中之重.
22．记公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
12a =，6a 是3a 与12a 的等比中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求数列2n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前
n 项和n
T .
【答案】（1）2n a n =（2）
21
n
n + 【解析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项的性质，求得数列的公差，从而求得通项公式；
（2）求出等差数列的前n 项和n S ，再利用裂项相消法求和，即可得答案. 【详解】
（1）根据题意，得26312a a a =⋅， 即2(25)(22)(211)d d d +=++， 解得2(0)d d =≠， ∴22(1)2n a n n =+-=. （2）由（1）得(1)2
2(1)2
n n n S n n n -⨯=+
=+，
第 1 页 共 4 页 ∴22112(1)1n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴11111122121223111
n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式、裂项相消法求和，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。