第五章+在特殊情况下

第五章在特殊情况下，欧拉方程的求解

欧拉方程可以是难以解决的。如果有任何的三个参数（T，X，X'）不出现，或者如果被积函数具有特殊的结构，然后提示解决方案是可用的。这些实例下面所提到的，都有具体的指导和实践的意义。请注意，有时小小运用一下提示是解决欧拉方程更简便的方法。

案例1。F取决于T，X' 只有：F = F（T，X'）。自F不依赖于x，欧拉方程（3.11）降低到 FX。 =常数。

这是在（T，X'）只有一个一阶微分方程，被称为欧拉方程的首次积分。实例4.1和4.3适应这种情况。

例如，这个欧拉方程适用于这个条件，那么方程变成这样

因此

独立的变量

整合之后就是

整合C1的常量和c2满足对方程

案例2。 F取决于X，X'只有：F = F（X，X'）。

欧拉方程（3.12）简化为首次积分

这是一阶差分方程来解决。

例子。其中加入（t

0，x

）及（t

1

,x

1

）曲线，找到一个当T轴旋转时生成最小面

积的区域。即，

（对第一个式子求最小值时有第二行的条件满足）

由于（忽略常数2π）

我们解决

操纵代数，

重新整理，提供C不等于0时，

我们可以处理的正根只因为对称性问题。独立的变量

在x不等于Ç。整合（使用积分表）：

其中k是积分常数。请注意lnc=0的导数，因此当我们分开两边，我们回到原来的差方程。代入antilogs得到：

现在

这最后一步由如下取代X +（X2 - c2）t/2。最后，通过相加，我们得到

这是一个所谓的悬链线图形的方程，c和k可以使用被发现条件x（t0）= x0和x（t1）=x1。例子。在速降线问题

其中常数（2g）〜1/2被忽略。作为被积不明确的涉及x（即，在这里被积函数的一般形式为F（X，Y（X），Y'（x）的）而不是F（T，X（T），X'（t））的在我们前面的例子），我们有

这意味着

反过来，那就是

如果k是一个常数，那么

独立的变量就得到

在括号内的表达式的分子和分母都乘以y得到

两边同时整理得到：

C是常数。这是一个曲线方程。

举例。牛顿第二运动定律，是一个二阶微分方程。问题在于找到这个积分，因为这个微分方程是欧拉方程。这个积分变为：

由于积分中不包含t ，

是个常量。因此，

对t 进行求导，得到或者，把- V'(x) = F定义为语气结果。在被积函数中的mx'2/2项代表的是粒子的动能，而V（x）被定义成势能。物理学家们令T = mx'2/2，并且令

令L=T - V的这一步（或者叫汉密尔顿积分）被称为拉格朗日定理。按照欧拉方程中的积分规律，粒子穿越空间的运动的相关描述被称为最少运动原则或者汉密尔顿静止原则。这个原则使得理论物理学，微分方程及其相关描述的物理法则统一为一个恰当的积分。事实上，发现这个一直被寻找的欧拉方程的积分是一个重要的成就。

这种“特殊方法”通常不是解决问题最简便的方法。有时候，一个适用的，特殊形式的欧拉方程比普通形式的更容易解决问题，但有时候却更难。最简便的路线往往由试验和错误来决定。比如说，考虑寻找这个方程的极值：

因为被积函数不是用t 做变量，我们把欧拉方程写成F - x' F x, = c这种形式，也就是：

这是不容易解决的非线性微分方程。

另一方面，针对这个问题，欧拉方程的标准形式应该是二阶线性微分方程，

这个解题方法很容易找到（B3章）。和这个微分方程联系的特征方程是2r2+ 1 = 0（r =±i/21/2.）。因此极值的形式为：

C1和C2两个常量使用给定的边界条件（区分欧拉方程就是看t变量的方程形式）。注意，这部分的一些练习是不同形式的说明，更多的已经由标准欧拉方程解决。

例3，F = F(x r)。

这个欧拉方程是F x,x, x" = 0。每个t的极值，不管是F x,x,(x r) = 0还是x"(t) = 0。对于后者，两次求导结果表明这个极值是线性的，x(t) = c\t + c2。对于前者，不管是F x,x,(x r) = 0还是x"(t) = 0是否不变，F x. = 0。x'不变因素已经考虑进去了。如果F在x'中是线性的，F(x r) = a + bx'，这个欧拉方程是一个恒等式，并且任何x都满足。

我们可以得到这样的结论：如果被积函数F仅仅与x'相关，且不是线性，极值曲线图是直线。不管F或F x.x,的功能形式多复杂，极值肯定是线性。边界条件决定常量。

这个结论可以运用到例1、4，证明地球上两点间的最短距离是连接他们的那条直线。例子。。。。。。。