九年级二次函数压轴题专题训练(含答案和方法指导)

九年级二次函数压轴题专题训练（含答案)方法：面积法,化斜为直,韦达定理,几何变换等.
1,如图1,在平面直角坐标系中，抛物线C1:
2
2a
bx
ax
y-
+
=关于y轴对称且有最小值1
-。

（１）求抛物线C1的解析式；
（2）在图1中抛物线C1顶点为Ａ,将抛物线C１绕点B旋转１80°后得到抛物线C2,直线ｙ＝kx﹣2ｋ+４总经过一定点M,若过定点M的直线与抛物线Ｃ2只有一个公共点,求直线l的解析式.
(3)如图2，先将抛物线Ｃ1向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y＝x平移得到抛物线C3,设抛物线C3与直线ｙ=x交于C、D两点,求线段ＣD的长；
（１)∴y=x２﹣1．‥‥‥‥‥‥‥2分
（2)依题意可求出抛物线C2的解析式为:ｙ＝﹣(ｘ﹣２)２＋１,
∵直线y=kx﹣2k+4总经过一定点M,
∴定点M为（2，4), ‥‥‥‥‥‥‥4分
①经过定点M（２，4),与ｙ轴平行的直线l:x=2与抛物线C3总有一个公共点(2,1).
②经过定点M(2,4)的直线l为一次函数y=ｋx﹣2k+4时，与y=﹣（x﹣2）２+1联立方程组,消去ｙ得ｘ２﹣4x+3+kx﹣2k+4=0，
即x2﹣(4﹣k)x+7﹣2k=0,△=k２﹣１2=0，得ｋ1＝２,k2=﹣2,
∴y=2x+4﹣４或y=﹣2x+４+4,
综上所述,过定点Ｍ,共有三条直线l:x＝２或y=2ｘ+４﹣4或y=﹣２x+４+4，
它们分别与抛物线C2只有一个公共点．
(3）设抛物线C3的顶点为(ｍ，m),依题意抛物线C３的解析式为：y＝（x﹣ｍ)２＋m,
与直线ｙ=x联立，
解方程组得：，，
∴C(ｍ，m),Ｄ(ｍ+1,ｍ＋1)
过点C作CM∥x轴,过点D作DＭ∥y轴，
∴CM＝１,DM＝1,
∴CＤ=．
2,如图，抛物线y＝ax2-４ax+b交x轴正半轴于Ａ、B两点，交ｙ轴正半轴于C，且OＢ＝O Ｃ＝3
（1)求抛物线的解析式
(2) 如图１，D位抛物线的顶点，Ｐ为对称轴左侧抛物线上一点,连OP交直线ＢC于Ｇ,连
GD．是否存在点P,使
2
=
GO
GD
？若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由
(3) 如图2，将抛物线向上平移ｍ个单位，交BC于点Ｍ、N．若∠MＯＮ=４5°,求m的值
（1)
243 y x x
=-+
3（本题12分)如图1,抛物线y＝aｘ2+（1-3ａ）x-3（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线y=-ｘ＋5与抛物线交于D、E,与直线BＣ交于P
(１)求点Ｐ的坐标
(２) 求PD·PＥ的值
（3)如图2，直线y＝t（t＞-3）交抛物线于F、Ｇ,且△FCG的外心在FG上,求证:
t
a
1
为常
数
.解:(1） 令y ＝0，则ax 2＋(1－3ａ）ｘ-3＝０，解得x 1＝a 1
-,x 2=3
∴B (３,０)
令x ＝0，则y =-３
∴直线ＢC 的解析式为y ＝x -3 联立⎩⎨⎧+-=-=53x y x y ，解得⎩⎨⎧==14y x
∴P (4,1)
（２) 设Ｄ(x 1，y 1）、E (ｘ２，ｙ2) 则P Ｄ=2（４-x 1)，PE =2（4-ｘ2)
联立⎪⎩⎪⎨
⎧+-=--+=53
)31(2x y x a ax y ,整理得ax ２
＋（2－3a )x －8=0
∴x 1＋x 2＝a a 23-，ｘ1ｘ2＝a 8
-
∴PD ·ＰE ＝2(4－x 1)(4-x 2)=2[１6－４(x 1+x 2)＋x １x 2]=8]881216[2=-+
-a a
(3） ∵△ＦC Ｇ的外心在F Ｇ上 ∴∠F ＣG ＝９0°
设FG 与y 轴交于点H ，则CH 2＝FH ·GH
∴(t +3)２
＝－ｘF ·x G
联立⎪⎩⎪⎨⎧--+==3)31(2x a ax y t
y ,整理得ax 2＋(１－3ａ)x －3－ｔ=0
∴ｘF ·x G =a t --3
∴(t ＋3)2＝a t
+3 ∴31
=-t a
4.（梅苑中学九月月考）如图，在平面直角坐标系ｘOy 中,一次函数
m x y +=
45
的图象与x 轴
交于A （-1，0)，与ｙ轴交于点C ．以直线x =２为对称轴的抛物线C １:ｙ=ax ２
+bx +c （a ≠0）经过A 、Ｃ两点,并与ｘ轴正半轴交于点B
（1) 求m 的值及抛物线C 1:y ＝ax ２
+bx ＋ｃ（a ≠0)(a ≠0）的函数表达式
（2） 设点D (0,1225
),若F 是抛物线C 1:y ＝a ｘ２
＋bx +c （ａ≠0）对称轴上使得△ADF 的周长取得最小值的点,过F 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线C 1于M 1(x 1,ｙ1),M 2(x 2,y 2）两点,
试探究F
M F M 211
1+
是否为定值？请说明理由
（３) 将抛物线C 1作适当平移,得到抛物线Ｃ２:y 2=-41
(x －h ）2，ｈ>１.若当1＜ｘ≤m 时，y
２
≥-x 恒成立,求m 的最大值
如图１,已知抛物线Ｃ1:y=x2﹣2x+ｃ和直线l：y=﹣2ｘ＋８，直线ｙ＝ｋｘ(ｋ>0)与抛物线C1交于两不同点A、Ｂ,与直线l交于点P．且当k＝2时,直线y＝kx（ｋ>0）与抛物线Ｃ１只有一个交点．
（1）求c的值；
（2）求证：，并说明ｋ满足的条件;
（３)将抛物线C1沿第一象限夹角平分线的方向平移t(t＞0)个单位,再沿ｙ轴负方向平移
（t2﹣ｔ）个单位得到抛物线Ｃ２,设抛物线Ｃ1和抛物线C2交于点R；如图2.
①求证无论t为何值，抛物线C2必过定点,并判断该定点与抛物线C１的位置关系;
②设点R关于直线y=1的对称点Q，抛物线C１和抛物线C2的顶点分别为点Ｍ、Ｎ,若∠MＱN=90°，求此时t的值．
8、如图1,二次函数y＝(ｘ+m)(x﹣3m)（其中m＞０)的图象与x轴分别交于点A,B（点A 位于点B的左侧）,与y轴交于点C，点D在二次函数的图象上，CD∥AB,连接AD.过点A作射线ＡE交二次函数的图象于点Ｅ，使得AB平分∠DAＥ.
(１)当线段AB的长为８时,求m的值．
(2)当点B的坐标为（１2，０)时,求四边形ADBＥ的面积.
（3）请判断的值是否为定值？若是,请求出这个定值;若不是，请说明理由.
(4)分别延长ＡC和EB交于点Ｐ，如图２．点A从点(﹣２,０）出发沿x轴的负方向运动到点(﹣4，0）为止,求点P所经过的路径的长（直接写出答案).
解：(1)∵二次函数y＝(x＋m）(x﹣3m）（其中ｍ>0）的图象与ｘ轴分别交于点A，Ｂ(点
Ａ位于点B的左侧),
令y=0,得0=(x＋m)（x﹣３m），
∴x=﹣m或ｘ=3ｍ,
∴点Ａ的坐标为(﹣m,０)，点B的坐标为(３ｍ，0),由题意,得AB＝3ｍ﹣（﹣m）=4m．
∴4ｍ=8，即m=2.
（２）∵点B的坐标为(１2,０)，
∴m=4，
∴A（﹣４,0),C(0，﹣3),
如图,
过点D,E分别作x轴的垂线,垂足为M，N．
∵CD∥AB，
∴点D的坐标为（8,﹣3),点M的坐标为（8,0）．∵ＡB平分∠ＤＡE,
∴∠ＤAM=∠EＡＮ.
∵∠DMA=∠ＥNＡ=90°，
∴△ADＭ∽△AEN．
∴＝.
设E点的坐标为（）,
∴
解得x１＝１6，ｘ2=﹣4（舍去),
∴E点的坐标为(16,5）．
所以ＳADBE=S△ＡDB+S△ABE＝，
(3)为定值．
∵A(﹣m,0),Ｂ(３m，0）,Ｃ(0，﹣3)，
过点D，E分别作x轴的垂线，垂足为M，Ｎ．
由(2)有，＝．
∵CD∥AB，
∴点D的坐标为(2ｍ,﹣3)，点M的坐标为(2ｍ，0).
设E点的坐标为()，
可得
解得x1=４m，x2=﹣m（舍去）．
∴Ｅ点的坐标为(4ｍ,5)，
∴EＮ=5，DM=3
∵△ＡDM∽△AEN．
∴=＝;
(４）由(１）有,A(﹣m，0），B(３ｍ，0），Ｃ(0,﹣3）,E（4m，5)，∴直线ＡC解析式为y=﹣x﹣3①，
直线ＢE解析式为y=x﹣15②,
联立①②得，
∴P（，﹣)，
∴点A在运动时，点P的纵坐标不变，
即:点A从运动到停止,点P的路径是一条线段，
∵点Ａ从点(﹣2,0)出发沿x轴的负方向运动到点（﹣4，0）为止,∴当m＝２时，P(3,﹣)，
当m=4时,P(6，﹣)
∴点P所经过的路径的长为6﹣３＝3．
９、如图,二次函数y＝ax2﹣2aｍｘ﹣3ａm2（ａ,m是常数,且m<0)的图象与x轴交于A、Ｂ（点A位于点B的左侧）,与ｙ轴交于点C(0,3）,作CD∥AB交抛物线于点D，连接ＢD,过点
B作射线BE交抛物线于点Ｅ,使得AB平分∠DBE．
(1）求点A，Ｂ的坐标;（用m表示）
（2）是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
（3)抛物线y=ax2﹣2amx﹣3am2的顶点为F,直线DF上是否存在唯一一点M,使得∠OMA=90°？若存在,求出此时m的值；若不存在,请说明理由．
解：（１)由ax2﹣2ａmx﹣3ａm2＝0得,x1＝﹣m，x2=3m,
则B（﹣m，0),A(3ｍ，0），
(２）是定值，为;
理由:过点D作DH⊥AB于H，过点E作EG⊥ＡB于G，
将点C(0,3)代入y＝ａx2﹣2ａmx﹣3aｍ2得,
a=﹣；
∴y=ａx2﹣2amｘ﹣３ａｍ2＝﹣x2＋x＋３，
∵CD∥AB，
∴点Ｄ的坐标为(2m，３)，
∴OH=﹣2ｍ，DＨ=3,
∴ＢH＝﹣3ｍ
∵ＡB平分∠DBE，
∴∠DＢＨ=∠EBG，又∠ＤHB=∠EＧB=90°，
∴△BDH∽△BEG，
∴，
设Ｅ(n，﹣×n2+×n+3）,
∴OG=﹣ｎ，EG=×n２﹣×n﹣3，
∴BＧ＝﹣m﹣ｎ,
∴，
∴n＝4ｍ，
∴Ｅ(4ｍ，5），
∵BH=BO+OH=﹣m﹣2m=﹣３m,BG=BO+OG=﹣m﹣４m＝﹣５ｍ，∴,
（３）存在,
理由：如图2，∵Ｂ（﹣m，０),A(3m,0）,
∴Ｆ(m,4)，
∵D（2m，3）,
∴直线DＦ的解析式为y=﹣ｘ+５，
∴N(5m,０),P（０，５)，
∴OP＝５,PN＝=５
取OA的中点M,
∵A(3ｍ,０),N(5ｍ,０），
∴M（m.0）,
∴OM＝﹣m.MＮ＝﹣m，
假设直线DF上是存在唯一一点M，使得∠OMA=9０°,
∴以OA为直径的⊙Ｍ与PN，PO相切，
∴ＰＭ是∠OＰＮ的角平分线,
∴,
∴,
∴m=(舍）或ｍ=﹣.。