2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题(一)及答案

2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）
1假定正整数 N 的
8进制表示为N =（12345677654321）8,那么下面四个判断中，正确
的是（ ）
A N 能被7整除而不能被9整除
B N 能被9整除而不能被7整除
C N 不能被7整除也不能被9整除
D N 既能被7整除也能被9整除
2、
已知数列 玄满足 c =2000,a 2
=2007,a n 2 =a n
* - a n （N *）,
则 a 2007 等于（） A 、2007
B
、-2007 C 、7 D 、-7
3、 在（2「.x ）2n1的展开式中，x 的幕指数是整数的各项系数之和为（
）
A 、32n1 1 ；
B 、32n 1 ；
C 、1 32n1 ；
D 、1（32n1 1）
2 2
4、 在 1，2，3，4，5 的排列 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件 ® ：：： a 2,a 3 ：：： a ?,
a 3 ::: a4,a 5 ：：： a °的排列个数是（ ）
A 、10；
B 、12；
C 、14；
D 、16.
5、 直线 y 二 mx 「3与抛物线 C 1 : ^ x 2 5mx -4m, C 2 ： y = x 2 （2m -1）x
- 2 _ - -
-3, C 3 : y = x - 3mx-2m -3中至少有一条相交，则 m 的取值范围
是（ A 、 、以上均不正确
m 2
C 、
6、若关于x 的不等式 e 2x -ae x 3 0有实数解，则a 的取值范围是（
A 、-： ：，-2.3
B 、-二,2 ..3
C 、 -2.3,2 3 D
、（2 3, ：：）
二、填空题
7、设a 为实数，集合 A 二「-a,a 1 2,a 2 • a ：；B 二匚1,_1 _a,1 • a 2
\A B — •，则 A B 二
8、 在三角形ABC 中,已知三个内角 A 、B C 成等差数列，设他们所对的边分别是 a 、b 、c ,
C _ A
并且c —a 等于AC 边上的高h ，则sin ---------- = ___________________ .
2
2
9、 斜率为1的直线与椭圆x 2 -
1交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且A=2 •则
4
PB
P 点的轨迹方程是 ______________________ .
10、 已知当0,1丨时，不等式x 2cos —x(1-x) • (1-x)2sinr 0恒成立，其中
0兰日兰2兀，则B 的取值范围是 ______________________ .
11、 一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数 是 _____________________ •(连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段 叫做凸多面体的对角线。

)
12、 一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上的概率是 __________________________ • 三、解答题
13、 在实数范围内解方程 2(4x 3 -3x)2 = x • 1
1 )求S n 的最小值;
2 2 2
2 )在X 1 x 2 ■■■ x n =1条件下，求S n 的最小值;
3 )在x 1 x^ x n =1条件下，求S n 的最小值, 并加以证明。

14、设X 1,X 2,…焉* R :定义
n
S n=W 为
2 2
15、设椭圆的方程为 冷•占 “（a b ■ 0）,
a b
线段PQ 是过左焦点 F 且不与x 轴垂直 的焦点弦•若在左准线上存在点 R ,使APQR 为正三角形，求椭圆的离心率 e 的取值范围， 并用e 表示直线 PQ 的斜率
2007年数学奥林匹克协作体试题（一）
2007-07-30
2、在三角形ABC 中，/B,MC 为锐角，M 、N 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，满足
AM =AN , BD =DC 。

若 BDM =/CDN 。

求证: 3、在一条长为36厘米的直尺上刻n 条刻度，使得能够用这条尺一次性的度量
1,361中的
任意整数厘米的长度。

试求
n 的最小值。

2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）答案
深圳中学邹新宇
题号
1 2 3 4 5 6 答案 D
C
D
D
B
D
1、D
由于8三1（mod 7），所以8i 三1（mod7）
1、求所有具有下面性质的正整数
n ：若a 、b 为正整数,
LT
2
丄
2
且n a b +1，则一定有n a + b 。

AB 二 AC 。

k k
N 二 a k a kl ^' a 1a 0 8 -、 a j 8"三' a i (mod 7)
7
7
即，N 能被7整除二N 的8进制表示下各位数字之和能被 7整除。

类似的，N 能被9整除
N 的8进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 9
整除 2、C 提示：
a = 2000,a 2 = 2007, a^ = 7, a^ = -2000, a^ = -2007, a^ = - 7, a 7 = 2000, a 8 = 2007
由此推得：a n .6二a n , ”Gn ［是以6为周期的数列。

3、D
2n 1 j
提示：T r 1二C ；n
・2r •由于x 的幕指数应为整数,因此,r 为奇数•记
S=C 爲 2+C ；n 十’23 +C ；n 卅’25+••计 C ；驚 ”22n 「
由于(1+2严=C 0n++C 爲 £+C 爲 22 + …-C ；；：
因此，将以上两式相减，即可得到
S J(32n 1
1).
2
4、D
提示：由已知条件知只可能 a 2 =5或a 4 =5，且a 2 _ 3,a 4 _ 3,a 3岂3 .
(1)当a 2 =5时则a^3或4
当a 4 = 3时，有2 != 2种排列：当a 4 = 4时，有3 != 6种排列，即共有8种排列. 同理，当a 2 =5时也有8种排列. 故应选 D . 5、B
提示：原命题可变为，求方程： mx -3 = x 2 • 5mx -4m ,
a
2007
=a 3 = 7
(1-2) 2n 1
0 2n 1 -C
i 2n 1 i 2n 1
22
…-C
2n :：1 2n 1
2n ：；1
2 2 2
mx-3=x (2m -1)x m -3,mx_3 = x 3mx-2m-3中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：三个方程均无实数解”，于是，从全体实
数中除去三个方程均无实数解的m的值，使得所求•即变为解不等式组
r- 2
(4m) —4(-4m+3)c0,
<(m-1)2-4m2cO,
2
4m -4(-2m) vO,
3 3
得m ：：： -1，故符合条件的m取值范围是m 或m 一-1，
2 2
应选B.
6、B
n3
原不等式可化为ae x e2x 3，由e x 0，可得a e x x
e
而e x £ _2. e x弓=2 3。

e e
故a的取值范围是- ：：,2・.3
二：填空题
7、A B 丄1,2?
由A B可得a =1
h
=c - a =
sin
A
即sin C -sin A = sin A sin C
由条件知A C =120
根据上式2sinC Acos120 二丄CosC - A -cos120 】
2 2
解得：sin-AJ C-A-3（舍）
2 2 2 2
9、轨迹是：4x ' y
h sin C
sin^ALsin^A
i 2丿 2 =0
:::1
提示：设动点为P(x ；y)，则过P
y =x (y -x).
2
2
y
代入椭圆方程x
1 ,
整理得:
4
5x 2 2(y -x )x (y - x)2 -4 = 0
若直线 l 椭圆交于 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)(X j ：： x 2)，则 x 1,x 2是方程()的 两个根，且
x 1 j (y -小
2 5-(y ")2
x 2 "y ")
2
» (八
x )2
将①、②代入并整理得：
4x y
打厂(厂X )2
10、
12 12
设 f (x)二 x 2 cos ： - x(1 - x) (1 - x)2 sin 二
=(1 sin^ cos^)x 2 - (1 2sin -)x sin 71
因为f(O)=s in 9 >0，所以日乏0—1
I’ 2丿
由于 f (x)的对称轴 X 二 ----- :""" ——— 0，且
2(1+sin 日+cos 日) 2(1+sin ^+cos 日) 所以，f(x)在0,1 ］上的最小值就是在实数集上的最小值，它大于 0
又-养2 ,
PB
X i ： X 2 .
x 1 2x 2 3
1 2sin r 1 2sin^
2
故 4sin ”1 sin v cosR—(1 2sinR ° 4(1 + si n 日 +cosT) 即 4 sin v COS T -1 .0
ZB 1
n
5 二
得sin 2
—，所以 —<9 < 2 12 12
11、 241
凸多面体的面数 F = 36, 棱数E = 60,顶点数 V = E+2-F = 26
将顶点记为i = 1, 2, 3,…，26
设凸多面体的面中以i 为顶点的三角形有t i 个，以i 为顶点的四边形有 q i 个 1 = 325 24 3 -12 4
2
= 241
9
12、
64
没有出现正面向上的种数为 G0）； 出现一次正面向上的种数为 c ；0 ； 出现两次正面向上但没有连续的种数为 c f ； 出现三次正面向上但没有连续的种数为 c 8 ； 出现四次正面向上但没有连续的种数为 c ；； 出现五次正面向上但没有连续的种数为
c ［；
P c o
o do ■ cl ■ c 8 ■ c
； ■ co
P _
那么凸多面体的对角线总数=
2、(25—ti —q) 2 i
二丄25 26 -丄芒h -丄
2
2 y 2 26
2、q i
i 吕
210
64
3 2
13、因为 x 1=2(4x -3x) _0,所以 x_-1
还可知道x 叮，否则，由2x 2 -x-1=(2x ・1)(x-1) .0得2x 2 .x-1 从而 2(4x 3 -3x)2 =2X 2(4X 2 -3)2 2x 2 x 1,矛盾。

方程的实数根满足 一1空X 乞1，可令X = COSV,0乞V "::二 因为，4cos 3 J -3cos J -
cos 3 J -3cos ，亠 3cos 3)- cos 3)-3cos^sin J
=(cos 2 -sin 2 Rcosv -2cos )sin 2 v -cos2)cos sin2)sin- cos3T
原方程化为cos 日=2cos 2 3日—1，即cos^ = cos6日，,0兰日兰兀
2k 二 2k 二 原方程的 or ,0 _ J
5 7 2 二 4 二
6 二 2 4…
6 个解为：1, cos ——,cos ——,cos ——,cos ——,cos
7 7 _ _ 14.
1) S n
S n
:n -1
(当 X i
时，取到最小值)
n
n -'1 (n -'1)「1
i 吕
2 X
i
3) 所以S n
n — 1 一1
2 J n
(当 X<| = X 2 =
n
因为1
i 1 n =z i d
X i
X i 2
(n 一1) 1 g )2 n
n 2
二Xn =-1时，取到最小值
Jn
(1 口)2)
n
n -1 1
+ 2
n X i 丿
.n _'1
i ~
n X i
X i
(当 x 1 = X 2
1 1
X i — . n X i 丿
X n 二丄时，取到最小值n )
n
n T 1
r -----------------------
2
n X i 丿
dn.
若| PF | • |QF |，则由对称性得k P Q 二.
寸 3e 2 —1
2 2
x y
2
2
"1 （a b 0）的离心率 e 的取值范围是
a b
15、•解：如图，设线段PQ 的中点为 M •过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂足 分别为 P'、M '、Q',则 | MM '| =丄(| PP' | • |QQ '|) L QF _|^L_PQ| 2 2 e e 2e
假设存在点R ，则| RM | = —3 | PQ |，且 | MM '| ::: | RM |，即 2
| PQ| .3 F 盲 |PQ|，
所以， —:：:e ::: 1
3 于是，cos RMM'^U^b |RM | |PQ| 2e 1 故 cot • RMM ' -- ----------- 若 | PF | ：：：
|QF | （如图），则 .3 | PQ| 3e ' k PQ 二 tan _QFx 二tan _FMM '二 cot _ RMM '： ------ 3—1 当e 3时，过点F 作斜率为
3
——1 __ 的焦点弦 PQ ,它的中垂线交左准线于
3e 2 -1
R ,由上述运算知，|RM|「|PQ|•故
2
PQR 为正三角形.
e
（3），
直线PQ 的斜率为
3e 2 -1
又e < 1,所以，椭圆
1、我们称题中给出的性质为P,下面先证明性质P与性质Q等价。

性质Q：若a为正整数，且(a,n) =1，则n a4 -1。

事实上，若n具有性质P,则对任意a N",若(a,n)=1，可知存在b N，使得寸32—1
(裴蜀定理)禾U用性质P,有n a2+b，而a4-1 = a2(a2+b) -(a2b+1)，所以n a4—1。

于是，n具有性质Q。

另一方面，若n具有性质Q,这时若a、b为正整数，使得n a2b+1，则(a, n)=1，利用
4 2 2 4 2 2 2
性质Q,可知na -1,于是，由a (a +b) =(a -1) + (a b+1)，有na (a +b)，而(a,n) =1，所以n a2 +b，这表示n具有性质P。

综上，性质P与性质Q等价。

下面求所有性质Q的正整数n:
当a为奇数时，因为a4-1二(a2-1)(a21)，而奇数的平方三1(mod 8)，又a2 1为偶数，故16|a4 -1 ；当(a,3)=1 时，a2三1 (mod3)，故3a4—1 ；当(a,5)=1 时，由费马小定理，5a4—1。

这表明：如果n|240，且n • N "，贝U n具有性质Q。

反过来，设n，N "，且n具有性质Q,设n = 2i k (k为奇数)
若k >1，贝U (k—2, n )= 1，由性质Q 知n( k —2)4—1，从而k(k — 2)4—1，但
(k —2 f 三(―2)4三1(mod16)，所以k|15。

这时，(11, n)=1，利用性质Q,可知n〔114—1，所以2*114—1,所以i兰4，这说明“240。

综上，当且只当n|240，且n，N ”时，n具有题中的性质。

2、用反证法，假设AB AC，则.B ：：：. C
在.C的内部作.DCP =/B , CP交DN于P
这时，」DCP三.-DBM
所以，DN . DP 二DM
过A作FH // BC，过M作BC的垂线
分别交BC、FH于G、H
在Rt. AMF 与Rt. ANH 中，
AM 二AN, . FAM —B < C = . HAM
.FM ::: HN
但FE =HG，于是ME . NG
又.MDE =. NDG
所以DM DN，矛盾
同理，若AB ：：：AC也得到矛盾
所以，AB=AC
3、至少需要8条刻度
先证明：如果该尺上刻化7条（或少于7条）刻度，不能用这条尺一次性的度量1,36 1中
的任意整数厘米的长度。

7条刻度加上尺的两端一共有9条，这9条线中任意取两条都可以度量一个长度，所以7
条刻度至多能度量C92 =36个不同的长度。

7条刻度把尺分成8段，若有两段长度相等，则此时度量的不同长度小于36。

11
所以，7条刻度将尺分成长度的不同的8段，由于36=1+2+3+4+5+6+7+8,故只有这样一种
分的方式。

若长度为1厘米不在尺的一端，则不能度量出35厘米；
若长度为2厘米不在尺的一端，则不能度量出34厘米；
所以长度为1厘米、2厘米的两条分别在尺的两端，此时若3厘米的线段不与1厘米的线
段相邻，则不能度量出32厘米，若3厘米的线段不与2厘米的线段相邻，则不能度量出31厘米。

所以，为了达到题目要求，尺上刻度不得少于8条。

8条刻度将尺分为9段，依次为1，2，3，7，乙7，4，4，1 （不唯一）时即可。

12。