2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题(一)及答案

2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）

1假定正整数 N 的

8进制表示为N =（12345677654321）8,那么下面四个判断中，正确

的是（ ）

A N 能被7整除而不能被9整除

B N 能被9整除而不能被7整除

C N 不能被7整除也不能被9整除

D N 既能被7整除也能被9整除

2、

已知数列 玄满足 c =2000,a 2

=2007,a n 2 =a n

* - a n （N *）,

则 a 2007 等于（） A 、2007

B

、-2007 C 、7 D 、-7

3、 在（2「.x ）2n1的展开式中，x 的幕指数是整数的各项系数之和为（

）

A 、32n1 1 ；

B 、32n 1 ；

C 、1 32n1 ；

D 、1（32n1 1）

2 2

4、 在 1，2，3，4，5 的排列 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件 ® ：：： a 2,a 3 ：：： a ?,

a 3 ::: a4,a 5 ：：： a °的排列个数是（ ）

A 、10；

B 、12；

C 、14；

D 、16.

5、 直线 y 二 mx 「3与抛物线 C 1 : ^ x 2 5mx -4m, C 2 ： y = x 2 （2m -1）x

- 2 _ - -

-3, C 3 : y = x - 3mx-2m -3中至少有一条相交，则 m 的取值范围

是（ A 、 、以上均不正确

m 2

C 、

6、若关于x 的不等式 e 2x -ae x 3 0有实数解，则a 的取值范围是（

A 、-： ：，-2.3

B 、-二,2 ..3

C 、 -2.3,2 3 D

、（2 3, ：：）

二、填空题

7、设a 为实数，集合 A 二「-a,a 1 2,a 2 • a ：；B 二匚1,_1 _a,1 • a 2

\A B — •，则 A B 二

8、 在三角形ABC 中,已知三个内角 A 、B C 成等差数列，设他们所对的边分别是 a 、b 、c ,

C _ A

并且c —a 等于AC 边上的高h ，则sin ---------- = ___________________ .

2

2

9、 斜率为1的直线与椭圆x 2 -

1交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且A=2 •则

4

PB

P 点的轨迹方程是 ______________________ .

10、 已知当0,1丨时，不等式x 2cos —x(1-x) • (1-x)2sinr 0恒成立，其中

0兰日兰2兀，则B 的取值范围是 ______________________ .

11、 一个凸36面体中有24个面是三角形，12个面是四边形，则该多面体的对角线的条数 是 _____________________ •(连结不在凸多面体的同一个面内的两个凸面体的顶点的线段 叫做凸多面体的对角线。)

12、 一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上的概率是 __________________________ • 三、解答题

13、 在实数范围内解方程 2(4x 3 -3x)2 = x • 1

1 )求S n 的最小值;

2 2 2

2 )在X 1 x 2 ■■■ x n =1条件下，求S n 的最小值;

3 )在x 1 x^ x n =1条件下，求S n 的最小值, 并加以证明。

14、设X 1,X 2,…焉* R :定义

n

S n=W 为

2 2

15、设椭圆的方程为 冷•占 “（a b ■ 0）,

a b

线段PQ 是过左焦点 F 且不与x 轴垂直 的焦点弦•若在左准线上存在点 R ,使APQR 为正三角形，求椭圆的离心率 e 的取值范围， 并用e 表示直线 PQ 的斜率

2007年数学奥林匹克协作体试题（一）

2007-07-30

2、在三角形ABC 中，/B,MC 为锐角，M 、N 、D 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，满足

AM =AN , BD =DC 。若 BDM =/CDN 。求证: 3、在一条长为36厘米的直尺上刻n 条刻度，使得能够用这条尺一次性的度量

1,361中的

任意整数厘米的长度。试求

n 的最小值。

2007年数学奥林匹克协作体夏令营试题（一）答案

深圳中学邹新宇

题号

1 2 3 4 5 6 答案 D

C

D

D

B

D

1、D

由于8三1（mod 7），所以8i 三1（mod7）

1、求所有具有下面性质的正整数

n ：若a 、b 为正整数,

LT

2

丄

2

且n a b +1，则一定有n a + b 。

AB 二 AC 。

k k

N 二 a k a kl ^' a 1a 0 8 -、 a j 8"三' a i (mod 7)

7

7

即，N 能被7整除二N 的8进制表示下各位数字之和能被 7整除。 类似的，N 能被9整除

N 的8进制表示下奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 9

整除 2、C 提示：

a = 2000,a 2 = 2007, a^ = 7, a^ = -2000, a^ = -2007, a^ = - 7, a 7 = 2000, a 8 = 2007

由此推得：a n .6二a n , ”Gn ［是以6为周期的数列。

3、D

2n 1 j

提示：T r 1二C ；n

・2r •由于x 的幕指数应为整数,因此,r 为奇数•记

S=C 爲 2+C ；n 十’23 +C ；n 卅’25+••计 C ；驚 ”22n 「

由于(1+2严=C 0n++C 爲 £+C 爲 22 + …-C ；；：

因此，将以上两式相减，即可得到

S J(32n 1

1).

2

4、D

提示：由已知条件知只可能 a 2 =5或a 4 =5，且a 2 _ 3,a 4 _ 3,a 3岂3 .

(1)当a 2 =5时则a^3或4

当a 4 = 3时，有2 != 2种排列：当a 4 = 4时，有3 != 6种排列，即共有8种排列. 同理，当a 2 =5时也有8种排列. 故应选 D . 5、B

提示：原命题可变为，求方程： mx -3 = x 2 • 5mx -4m ,

a

2007

=a 3 = 7

(1-2) 2n 1

0 2n 1 -C

i 2n 1 i 2n 1

22

…-C

2n :：1 2n 1

2n ：；1