二次根式概念优秀课件

x2 2 x 1 x 12 ≤0，
∴当x=1时， x2 在2实x 数1范围内有意义.
(2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0，
∴无论x为何实数，
x在2 实2数x 范3围内都无意义.
归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含 完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如
有意义A的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如
A≥0；
条件： B≥0；
...
N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如
A＞0；
A 有B意义...的 N 有意义的B条件：
A
(4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
有意义A 的1条件：
B
练一练
1.下列各式：
3; 5; a2 ;
例2 当x是怎样的实数时, x 2在实数范围内有
意义?
解：由x-2≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x在实2数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） 1 ； x 1
解：由题பைடு நூலகம்得x-1＞0，
∴x＞1.
(2) x 3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
(5) xy x, y异号 ; (6) a2 1; (7) 3 5.
分析： 是否含二次根号
是
否否
被开方数是不是 是 非负数
不是二次根式
二次根式
解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式 一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
a C D
2
2.式子
3x 有 6意义的条件是
（）
A
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=____-1时，二次根式 为_____0_．
取最x小值1，其最小值
问题3 什么数有算术平方根或平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开
方数只能是正数或0.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图的海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为
S m2，2 则边长为_____m．
S
图
图
(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为
解：由题意得 ∴x=3，∴y=8，
x 3≥0， 3 x≥0，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足
，求此三b角形的3周长a ． 2a 6 4
解：由题意得 ∴a=3，
3 a≥0， 2a 6≥0，
问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3，h 的算术平方根． 5
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
归纳 若 y a ，a则根b据被开方数大于等于0，可得a=0.
练一练 已知|3x-y-1|和 2x y 互4 为相反数，求x+4y的平方根．
解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3.
_____m．
3
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与
开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子
表示 t ，那么t为_____．
h 5
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， 2． S 3 h
5
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不 等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时 考虑分母不为零.
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x2 2 x 1;
(2) x2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数，
二 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， x2在实数范围内有意 义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 的被开a 方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围 又是什么？
当a＞0时， 表a 示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=a0时， 表示0的算 术平a方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时，a ≥0.
a
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一
个二次根式 ，我们知道：
a
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0.
a
二次根式的被开方数 非负
二次根式的值非负
二次根式的双重 非负性
例4 已知y= x 3 3 x, 8 求3x+2y的算术平方根.
第十六章 二次根
式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点） 2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 a (a 0表) 示.
一定是二次根式的个数有
x 1 x≥1；3 2.7; x2 2 x 1
（）
B
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
2.(1)若式子 在x 实1数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_____x_≥_1;
(2)若式子
x
1
2在实数x 范围内有意义，则x的
取值范围是______x__≥_0_且_.x≠2