(江苏版)高考数学二轮复习 专题八 第1讲 矩阵与变换 理

专题八选考系列第1讲矩阵与变换
1. 计算:(1)
112
011
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦; (2)
012
10-1
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦.
2. 若直线y=kx在矩阵
01
10
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦对应的变换作用下得到的直线过点P(4,1),求实数k的值.
3. (2013·连云港模拟)已知矩阵M=
1
a
b
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
,点A(1,0)在矩阵M对应变换作用下变为A'(1,2),求矩
阵M的逆矩阵M-1.
4. 设A=
21
53
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
,B=
4
11
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,X=
x
y
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,试解方程AX=B.
5. 设数列{}
n
a
,
{}
n
b
满足a n+1=3a n+2b n,b n+1=2b n,且满足
6
6
n
n
a
b
+
+
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦=M
n
n
a
b
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,求二阶矩阵M.
6. (2012·高淳模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=
20
01
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
对应的变换作用
下得到曲线F,求曲线F的方程.
7. (2013·海安模拟)已知矩阵A=
12
-14
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,向量α=
7
4
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦.
(1) 求A的逆矩阵;
(2) 计算A5α的值.
8. (2013·扬州期末)若矩阵A有特征值λ1=3,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为e1=
1
⎡⎤⎢⎥⎣⎦和
e2=
1
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,求矩阵A.
9. 已知矩阵M=
12
34
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
,N=
0-1
13
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦.
(1) 求矩阵MN;
(2) 若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到点Q(0,1),求点P的坐标.
10. (2013·苏、锡、常、镇四市调研)已知点A(0,0),B(2,0),C(2,2)在矩阵M=
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
对应的
变换作用下得到的对应点分别为A'(0,0),B'(3,1),C'(0,2),求矩阵M. 【高考押题】
11. 已知矩阵M=
1
1
a
b
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C',求:
(1) 实数a,b的值;
(2) 曲线C'的方程.
专题八选考系列第1讲矩阵与变换
1. (1) 原式=
1211
0211
⨯+⨯
⎡⎤
⎢⎥
⨯+⨯
⎣⎦=
3
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦.
(2) 原式=
021(-1)
120(-1)
⨯+⨯
⎡⎤
⎢⎥
⨯+⨯
⎣⎦=
-1
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦.
2. 设变换T:
x
y
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦→
'
'
x
y
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,
则
'
'
x
y
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦=
01
10
x
y
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦=
y
x
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,
即
',
',
x y
y x
=
⎧
⎨
=
⎩代入直线y=kx,得x'=ky',
将点P(4,1)代入得k=4.
3. 因为
11
00
a
b
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
=
1
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,所以a=1,b=2,
所以M=
11
20
⎡⎤⎢⎥⎣⎦　
,
所以M-1=
1
2
1
1-
2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.
4. 由已知可得A -1=3-1-52⎡⎤⎢⎥⎣
⎦,X=A -1
B=3-14-5211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即1,
2.x y =⎧⎨=⎩ 5. 由题知11n n a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3202n n a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦,所以66n n a b ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦=6
3202n n a b ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ,所以M=6
3202⎡⎤⎢⎥⎣⎦ =7291?
330064⎡⎤⎢⎥⎣⎦.
6. 设P(x 0,y 0)是椭圆上任意一点,点P(x 0,y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P'(x'0,y'0),则有
00'?'?x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=002001x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ,即0000'?2,'?,x x y y =⎧⎨=⎩所以0
000'?,2y'?.x x y ⎧=⎪⎨
⎪=⎩又因为点P 在椭圆上,故420x +20y =1,从而
(x'0)2
+(y'0)2
=1,所以曲线F 的方程是x 2
+y 2
=1.
7. (1) 因为|A|=
12
-14=6≠0,
故A -1=42-661166⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=21-331166⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦.
(2) 矩阵A 的特征多项式为f (λ)=
-1-2
1-4λλ=λ2-5λ+6,
由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.
当λ1
=2时,解得a 1
=21⎡⎤⎢⎥
⎣⎦;
当λ2
=3时,解得a 2
=11⎡⎤⎢⎥
⎣⎦,
设α=ma 1+na 2,得27,4,m n m n +=⎧⎨
+=⎩
解得m=3,n=1.
则A 5α=A 5(3a 1+a 2)=3(A 5a 1)+A 5
a 2=3(
5
1λa 1)+
5
2λa 2=3×2
521⎡⎤⎢⎥⎣⎦
+3511⎡⎤⎢⎥⎣⎦=
435339⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 8. 设A=a b c d ⎡⎤
⎢⎥
⎣
⎦,由111222λ,e λ,Ae e A e =⎧⎨=⎩ 得
1133,00011-1-1,22-2a
b c d a b c
d ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⨯=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎩
即3,0,2-1,2-2,a c a b c d =⎧⎪=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解得3,
0,-2,-1,a c b d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩
所以A=3-20-1⎡⎤
⎢⎥
⎣
⎦. 9. (1) MN=120-13413⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =
2549⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ . (2) 方法一:设点P(x,y),则
2549x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即250,
491,x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得
5
,
2
-1,
x
y
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩即点P
5
,-1
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭.
方法二:设点P(x,y),
因为
-1
25
49
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
=
95
-
22
2-1
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦,
所以
x
y
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦=
95
-
22
1
2-1
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦=
5
2
-1
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦,
即点P
5
,-1
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭.
10. 由题意得
2
a b
c d
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
=
3
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,
所以
23,
21,
a
c
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
则a=
3
2,c=
1
2.
又
2
2
a b
c d
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
=
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,
所以
220,
222,
a b
c d
+=
⎧
⎨
+=
⎩则b=-
3
2,d=
1
2,
所以矩阵M=
33
-
22
11
22
⎢
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦.
11. (1) 由题意知1111a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =02⎡⎤⎢⎥⎣⎦,即10,
12,a b +=⎧⎨+=⎩ 解得-1,
1.a b =⎧⎨
=⎩
(2) 设P'(x,y)是曲线C'上任意一点,则由题意得
001-111x y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=x y ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,即0000-x,y,x y x y =⎧⎨+=⎩ 解得
00,2-.2y x
x y x y +⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因为x 0y 0=1,所以2y x +·-2y x
=1,即24y -24x =1, 故曲线C'的方程为24y -2
4x =1.。