空间几何—平行垂直证明(高一)

空间几何平行垂直证明专题训练

知识点讲解

（一）直线与直线平行的证明

1)利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行

2)

3)

4)

性质定

6

7

8

1)利用直线与平面平行的判定定理：

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

2)利用平面与平面平行的性质推论：

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。

3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点

（二）平面与平面平行的证明

常见证明方法：

4) 利用平面与平面垂直的性质推论：

如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

β

α

a

β

αα∥⊂a β

∥a ⇒

α

β

⊂⊥a a β

α⊥

⇒

5) 利用常用结论：

1) 2) 3) 4) 5) ①②1) 于底面等

2) 看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），

就说这连个平面互相垂直。 3) 利用平面与平面垂直的判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

题型一：平行

（线线平行、线面平行、面面平行）

例1.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，求证：EF ∥平面ABC ；l

b l a b a l ⊥⊥⊂⊂=⋂⊥β

αβαβαb

a ⊥⇒a

α

β

(两种方法证明

)

3；（两；（两1.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点.求证：AC//平面EFG. 2.已知空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别为AB,BC,CD,DA 的中点.求证：EF//平面BGH.

3.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点，O 为BD 的中点.求证：OE//平面ADP

4.已知在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为平行四边形，E 为PC 的中点.求证：PA//平面BDE

5.正方体1111ABCD A B C D -中，,E G 分别是11,BC C D 中点.求证：//EG 平面11BDD B

6.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点

证明：直线MN ‖平面OCD ；

7.在四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，E,F 分别是AB ，PD 的中点.求证：//AF 平面PCE

方法一：

9．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点．求证：C 1O//平面AB 1D 1；

1.11BB C C .

2.

3.AEC

4.

5.90，AB 1B M ⊥

6.

1.2.AEC 3.1AB 与1A B

相交于点O ，连结OD ，（1）求证：//OD 平面ABC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BD 。 4.如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，2AE EB BC ===，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：//AE 平面BFD ；（3）求三棱锥C BGF -的体积。

P

B A

C B

D C A D

E A

F A

5.

（16.11=，F （1（3）

C C

Ｂ

Ａ

Ｄ

Ｃ

Ｆ

Ｅ