第三章 概率与概率分布
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如果表示试验结果的变量y ，其可能取值为某 范围内的任何数值 ，且y在其取值范围内的任一区 间中取值时，其概率是确定的，则称Y为连续型随 机变量( continuous random variable)。
2.离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量Y的统计规律，必须知道 它的一切可能值 yi 及取每种可能值的概率pi。 2.1 概率函数（probability function )
研究偶然现象本身规律性的科学称为概率 论。
基于实际观测结果，利用概率论得出的规 律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科学就是 统计学。
概率论是统计学的基础，统计学是概率论 所得出的规律在各领域中的实际应用。
二、事件及事件的关系 1. 随机试验 同一组综合条件的实现，称为试验（trial）。
而一个试验如果满足下述三个特性， 则 称 其 为 一个 随机试验（random trial），简称试验。
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率”
10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件， 即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件 数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
任何事件 0≤P(A)≤1 必然事件 P( W )=1 不可能事件 P(V)＝0 随机事件 0<P(A)<1
P(A+B)=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)
1 互斥事件加法定理的推理
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B) 占30.7%，空 穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和 双穗株的概率。
对立事件
事件A和事件B必有一个发生，但二者不能 同时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。 即A+B=W，AB=V。我们称事件B为事件A的对 立事件。
B=A
三、频率（frequency）
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
对离散型变量Y的所取得的值y的概率P (Y=y) 写成y的函数p (y)，这样的函数称为随机变量Y的 概率函数。
p (y)= P (Y =y)
2.2 概率分布
将Y的一切可能值以及取得这些值的概率，排列 起来，就构成了离散型随机变量的概率分布 （probability distribution)。
2.3 概率分布图和概率分布表
母 A、B、C 等来表示。
1）基本事件 我们把不能再分的事件称为基本事件
（elementary event）用小写拉丁字母 a, b, c …来表 示 ，也 称 为 样本点（sample point）。
2）复合事件 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事
件 （compound event）。
3 事件的关系与运算
从亚里士多德时代开始，哲学家们就 已认识到随机现象在生活中的作用；但他 们是把随机性看作是破坏生活规律、超越 人们理解能力的东西。
随机现象是不是没有规律可言?
否！在一定条件下对随机现象进行大量 重复观测后就会发现：随机现象的发生 有一定的规律性。
将不定性(随机性)数量化，来尝试回 答这些问题，直到20世纪初叶才开始。但 还不能说这个努力已取得十分成功，不过 就是那些已得到的成果，已经给人类活动 的诸多领域带来了一场深刻的革命。
P(A) = p
这样的概率称为统计概率(statistics probability) 或者后验概率(posterior probability)
统计概率
抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录
实验者 投掷次数 发生正面朝上的次数 频率(m/n)
蒲丰
4040
2048
0.5069
K 皮尔逊 12000
6019
频率表明了事件频繁出现的程度，因而 其稳定性说明了随机事件发生的可能性大小， 是其本身固有的客观属性，提示了隐藏在随 机现象中的规律性。
概率
四、概率（probability,P) 1. 概率的统计定义
设在相同的条件下，进行大量重复试验，若事 件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则 称p为事件A出现的概率。
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8
9 10
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件 （即每个球被取到的可能性是相等的），即n=10
事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件， 即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
第三章
概率和概率分布
第一节
概率的基本概念
一、确定现象与非确定现象
1、确定现象
在保持条件不变的情况下，重复的进行试 验 ，其结果总是确定的必然发生或必然不发 生的现象称为确定现象或必然现象。 2、非确定现象又叫随机现象
具有随机性 (不确定性或偶然性)的现象称 为非确定现象或随机现象。
下列现象哪些是随机现象？
变量(y)= 概率(P)=
表3-1 离散型变量的概率分布表
y1
y2
p（y1） p （y 2 ）
（1）试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个 ，并且事先知 道会有哪些可能的结果； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一 个 ，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果。
2. 随机事件
随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可 能发生 ，也可能不发生，称为随机事件（random event），简称事件(event），通常用大写的拉丁字
0≤W(A) ≤1
例：
表3-1 玉米种子发芽试验结果
种子总数(n)
10 20 50 100 200 500 1000
发芽种子数(m) 9 19 47 91 186 458 920
种子发芽率(m/n) 0.900 0.950 0.940 0.910 0.930 0.918 0.920
种子发芽与否是不能事先确定的，但从表中 可以看出，试验随着n值的不同，种子发芽率也 不相同，当n充分大时，发芽率在0.92附近摆动。
3.1事件的和
集合A与B的并或和： 若 C, 当且仅当A或 B,则称集合C为集合A 与B的并或和,记成A∪B 或 A+B。
事件A与B的并或和 ： 若事件C发生，当且仅当 事件A或B发生，则称事件 C为事件A与B的并或和， 记成A∪B 或 A+B。
3.2事件的交
集合A与集合B的交或积： 若 C，当且仅当 A且 B, 则称集合C为集合A 与B的交或积, 记成A∩B或 AB。
E:两粒种子均不发芽：
E= A B，P(E)＝P(A)P(B)=0.1×0.1=0.01
二、条件概率与乘法法则 1.条件概率
条件概率（conditional probability )：若A， B为两个事件，且P（B）>0，研究事件B已发生的 条件下，事件A发生的概率，记为：P（A︱B）
P( A B) P( AB) P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979
因为P(A)+P(B)+P (C) =1 P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979
2 独立事件乘法定理
定理: 事件A和事件B为独立事件，则事件A 与事件B同时发生的概率为各自概率的乘积。
P(AB)=P(A)P(B)
推理：A1、A2、…An彼此独立，则 P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)
第二节
概率的计算
一、概率的计算法则
1 互斥事件加法定理
定理: 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 试验的全部结果包含n个基本事件，事件A
包含其中m1个基本事件，事件B包含其中m2个 基本事件。由于A和B互斥，因而它们各包含的 基本事件应该完全不同。所以事件A＋B所包含 的基本事件数为m1+m2。
0.5016
K 皮尔逊 24000
12012
0.5005
随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生 的频率稳定接近0.5，我们称0.5作为这个事件的概 率。
在一般情况下，随机事件的概率P是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时， 随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似 值。
P(A)
=
p=lim
例2.2 使用两种不同药物杀灭螟虫，结果见下表：
死亡（A） 存活（A） 和
甲药物（B） 96
24
120
乙药物（B） 64
16
80
和
160
40
200
计算以下概率： P（A）=160/200=0.80 P（B）=120/200=0.60 P（ A B）=96/200=0.48
P（ B︱ A ）= P（ A B） / P（A）
例： 观察10只新生动物的性别，是一组随机试 验，其中雄性动物出现的只数用y表示，则y的取 值为0、1、2、…、10。
1.2 随机变量的类型
如果表示试验结果的变量y，其可能取值为有 限个，或者可数无穷个孤立的值，则 称 Y为离散 型随机变量 ( discrete random variable)；
事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅当事 件A与B同时发生，则称事 件C为事件A与B的积或交, 记成 A∩B或AB。
3.3互不相容事件（mutually eyclusive event)
事件A和事件B不能同时发生，则称这两个 事件A和B互不相容或互斥。
n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。
=0.48/0.80=0.60
2.概率乘法法则
P(AB) P(A) P(B A) P(B) P(A B)
可以叙述为：两事件交的概率，等于其中一事件 （其概率必须不为0）的概率乘以另一事件在已知前 一事件发生条件下的条件概率。 3.独立事件
P(B︱A)= P(B) ，或 P(A︱B)=P(A)，称A和B
例:播种玉米，种子的发芽率为90%，每穴两粒，则： A:第一粒种子发芽，P (A) = 0.9， P(A) = 0.1 B:第二粒种子发芽，P (B) = 0.9， P( B ) = 0.1 求：
C:两粒种子均发芽：
C = AB，P（C) = P(A) P(B) = 0.81
D:一粒种子发芽：
D= AB + AB，P(D)＝0.9×0.1+ 0.1×0.9=0.18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成， 即n=10，而事件A所包含的基本事件有3个，即抽得 编号为1、2、3中的任何一个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
A. 在一个标准大气压下，水在100℃时沸腾；否 B. 明天的最高温度; 是 C. 掷一颗骰子，观察其向上点数； 是 D. 上抛的物体一定下落；否 E. 新生婴儿体重。是
人类生活的世界充满了随机现象
从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机 会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生， 到世间万物的繁衍生息；从流星殒落，到大 自然的千变万化…，我们无时无刻不面对具 有不确定性现象(即随机现象)。
m n
m n
2.概率的古典定义
（1）试验的所有可能结果只有有限个，即样
随 本空间中的基本事件只有有限个; 机 事 （2）所有基本事件的发生是等可能的; 件
（3）试验的所有可能结果两两互不相容。
具有上述特征的随机试验，称为古典概型 （classical model).
概率的古典定义
在满足上述条件下，设样本空间有n个 等可能的基本事件所构成，其中事件A包含 有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P(A)=m/n。这样定义的概率称为古典概率 (clbility)。
是独立事件。
对于独立事件概率乘法公式为： P(AB)=P(A)P(B)
第三节
概率分布
1.随机变量（random variable) 1.1 随机变量的定义
随机试验中被测定的量叫随机变量。做 一次试验，其结果有多种可能。每一种可能 结果都可用一个数来表示，把这些数作为变 量Y的取值范围，则试验结果可用变量y来表 示，随机变量所取得的值称为观测值。
2.离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量Y的统计规律，必须知道 它的一切可能值 yi 及取每种可能值的概率pi。 2.1 概率函数（probability function )
研究偶然现象本身规律性的科学称为概率 论。
基于实际观测结果，利用概率论得出的规 律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科学就是 统计学。
概率论是统计学的基础，统计学是概率论 所得出的规律在各领域中的实际应用。
二、事件及事件的关系 1. 随机试验 同一组综合条件的实现，称为试验（trial）。
而一个试验如果满足下述三个特性， 则 称 其 为 一个 随机试验（random trial），简称试验。
B＝ “一次取5个球，其中有2个红球的概率”
10个球中任意取5个，其可能结果有C105个基本事件， 即n= C105 事件B =5个球中有2个红球，则B包含的基本事件 数m= C32 C73
P(B) = C32 C73 / C105 = 0.417
任何事件 0≤P(A)≤1 必然事件 P( W )=1 不可能事件 P(V)＝0 随机事件 0<P(A)<1
P(A+B)=m1+m2/n=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)
1 互斥事件加法定理的推理
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B) 占30.7%，空 穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和 双穗株的概率。
对立事件
事件A和事件B必有一个发生，但二者不能 同时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。 即A+B=W，AB=V。我们称事件B为事件A的对 立事件。
B=A
三、频率（frequency）
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
对离散型变量Y的所取得的值y的概率P (Y=y) 写成y的函数p (y)，这样的函数称为随机变量Y的 概率函数。
p (y)= P (Y =y)
2.2 概率分布
将Y的一切可能值以及取得这些值的概率，排列 起来，就构成了离散型随机变量的概率分布 （probability distribution)。
2.3 概率分布图和概率分布表
母 A、B、C 等来表示。
1）基本事件 我们把不能再分的事件称为基本事件
（elementary event）用小写拉丁字母 a, b, c …来表 示 ，也 称 为 样本点（sample point）。
2）复合事件 由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事
件 （compound event）。
3 事件的关系与运算
从亚里士多德时代开始，哲学家们就 已认识到随机现象在生活中的作用；但他 们是把随机性看作是破坏生活规律、超越 人们理解能力的东西。
随机现象是不是没有规律可言?
否！在一定条件下对随机现象进行大量 重复观测后就会发现：随机现象的发生 有一定的规律性。
将不定性(随机性)数量化，来尝试回 答这些问题，直到20世纪初叶才开始。但 还不能说这个努力已取得十分成功，不过 就是那些已得到的成果，已经给人类活动 的诸多领域带来了一场深刻的革命。
P(A) = p
这样的概率称为统计概率(statistics probability) 或者后验概率(posterior probability)
统计概率
抛掷一枚硬币发生正面朝上的试验记录
实验者 投掷次数 发生正面朝上的次数 频率(m/n)
蒲丰
4040
2048
0.5069
K 皮尔逊 12000
6019
频率表明了事件频繁出现的程度，因而 其稳定性说明了随机事件发生的可能性大小， 是其本身固有的客观属性，提示了隐藏在随 机现象中的规律性。
概率
四、概率（probability,P) 1. 概率的统计定义
设在相同的条件下，进行大量重复试验，若事 件A的频率稳定地在某一确定值p的附近摆动，则 称p为事件A出现的概率。
P(B)=5/10=0.5
12 3 4 5
6
7
8
9 10
A＝“一次取一个球，取得红球的概率”
10个球中取一个球，其可能结果有10个基本事件 （即每个球被取到的可能性是相等的），即n=10
事件A：取得红球，则A事件包含3个基本事件， 即m=3
P(A)=3/10=0.3
12 3 4 5
6
7
8
9 10
第三章
概率和概率分布
第一节
概率的基本概念
一、确定现象与非确定现象
1、确定现象
在保持条件不变的情况下，重复的进行试 验 ，其结果总是确定的必然发生或必然不发 生的现象称为确定现象或必然现象。 2、非确定现象又叫随机现象
具有随机性 (不确定性或偶然性)的现象称 为非确定现象或随机现象。
下列现象哪些是随机现象？
变量(y)= 概率(P)=
表3-1 离散型变量的概率分布表
y1
y2
p（y1） p （y 2 ）
（1）试验可以在相同条件下多次重复进行； （2）每次试验的可能结果不止一个 ，并且事先知 道会有哪些可能的结果； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一 个 ，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果。
2. 随机事件
随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可 能发生 ，也可能不发生，称为随机事件（random event），简称事件(event），通常用大写的拉丁字
0≤W(A) ≤1
例：
表3-1 玉米种子发芽试验结果
种子总数(n)
10 20 50 100 200 500 1000
发芽种子数(m) 9 19 47 91 186 458 920
种子发芽率(m/n) 0.900 0.950 0.940 0.910 0.930 0.918 0.920
种子发芽与否是不能事先确定的，但从表中 可以看出，试验随着n值的不同，种子发芽率也 不相同，当n充分大时，发芽率在0.92附近摆动。
3.1事件的和
集合A与B的并或和： 若 C, 当且仅当A或 B,则称集合C为集合A 与B的并或和,记成A∪B 或 A+B。
事件A与B的并或和 ： 若事件C发生，当且仅当 事件A或B发生，则称事件 C为事件A与B的并或和， 记成A∪B 或 A+B。
3.2事件的交
集合A与集合B的交或积： 若 C，当且仅当 A且 B, 则称集合C为集合A 与B的交或积, 记成A∩B或 AB。
E:两粒种子均不发芽：
E= A B，P(E)＝P(A)P(B)=0.1×0.1=0.01
二、条件概率与乘法法则 1.条件概率
条件概率（conditional probability )：若A， B为两个事件，且P（B）>0，研究事件B已发生的 条件下，事件A发生的概率，记为：P（A︱B）
P( A B) P( AB) P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979
因为P(A)+P(B)+P (C) =1 P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979
2 独立事件乘法定理
定理: 事件A和事件B为独立事件，则事件A 与事件B同时发生的概率为各自概率的乘积。
P(AB)=P(A)P(B)
推理：A1、A2、…An彼此独立，则 P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)
第二节
概率的计算
一、概率的计算法则
1 互斥事件加法定理
定理: 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B) 试验的全部结果包含n个基本事件，事件A
包含其中m1个基本事件，事件B包含其中m2个 基本事件。由于A和B互斥，因而它们各包含的 基本事件应该完全不同。所以事件A＋B所包含 的基本事件数为m1+m2。
0.5016
K 皮尔逊 24000
12012
0.5005
随着实验次数的增多，正面朝上这个事件发生 的频率稳定接近0.5，我们称0.5作为这个事件的概 率。
在一般情况下，随机事件的概率P是不可 能准确得到的。通常以试验次数n充分大时， 随机事件A的频率作为该随机事件概率的近似 值。
P(A)
=
p=lim
例2.2 使用两种不同药物杀灭螟虫，结果见下表：
死亡（A） 存活（A） 和
甲药物（B） 96
24
120
乙药物（B） 64
16
80
和
160
40
200
计算以下概率： P（A）=160/200=0.80 P（B）=120/200=0.60 P（ A B）=96/200=0.48
P（ B︱ A ）= P（ A B） / P（A）
例： 观察10只新生动物的性别，是一组随机试 验，其中雄性动物出现的只数用y表示，则y的取 值为0、1、2、…、10。
1.2 随机变量的类型
如果表示试验结果的变量y，其可能取值为有 限个，或者可数无穷个孤立的值，则 称 Y为离散 型随机变量 ( discrete random variable)；
事件A与B的积或交： 若事件C发生，当且仅当事 件A与B同时发生，则称事 件C为事件A与B的积或交, 记成 A∩B或AB。
3.3互不相容事件（mutually eyclusive event)
事件A和事件B不能同时发生，则称这两个 事件A和B互不相容或互斥。
n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。
=0.48/0.80=0.60
2.概率乘法法则
P(AB) P(A) P(B A) P(B) P(A B)
可以叙述为：两事件交的概率，等于其中一事件 （其概率必须不为0）的概率乘以另一事件在已知前 一事件发生条件下的条件概率。 3.独立事件
P(B︱A)= P(B) ，或 P(A︱B)=P(A)，称A和B
例:播种玉米，种子的发芽率为90%，每穴两粒，则： A:第一粒种子发芽，P (A) = 0.9， P(A) = 0.1 B:第二粒种子发芽，P (B) = 0.9， P( B ) = 0.1 求：
C:两粒种子均发芽：
C = AB，P（C) = P(A) P(B) = 0.81
D:一粒种子发芽：
D= AB + AB，P(D)＝0.9×0.1+ 0.1×0.9=0.18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
随机抽取一个球，求下列事件的概率; （1)事件A＝抽得一个编号< 4 （2)事件B =抽得一个编号是2的倍数
该试验样本空间由10个等可能的基本事件构成， 即n=10，而事件A所包含的基本事件有3个，即抽得 编号为1、2、3中的任何一个，事件A便发生。
P(A)=3/10=0.3
A. 在一个标准大气压下，水在100℃时沸腾；否 B. 明天的最高温度; 是 C. 掷一颗骰子，观察其向上点数； 是 D. 上抛的物体一定下落；否 E. 新生婴儿体重。是
人类生活的世界充满了随机现象
从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机 会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生， 到世间万物的繁衍生息；从流星殒落，到大 自然的千变万化…，我们无时无刻不面对具 有不确定性现象(即随机现象)。
m n
m n
2.概率的古典定义
（1）试验的所有可能结果只有有限个，即样
随 本空间中的基本事件只有有限个; 机 事 （2）所有基本事件的发生是等可能的; 件
（3）试验的所有可能结果两两互不相容。
具有上述特征的随机试验，称为古典概型 （classical model).
概率的古典定义
在满足上述条件下，设样本空间有n个 等可能的基本事件所构成，其中事件A包含 有m个基本事件，则事件A的概率为m/n，即 P(A)=m/n。这样定义的概率称为古典概率 (clbility)。
是独立事件。
对于独立事件概率乘法公式为： P(AB)=P(A)P(B)
第三节
概率分布
1.随机变量（random variable) 1.1 随机变量的定义
随机试验中被测定的量叫随机变量。做 一次试验，其结果有多种可能。每一种可能 结果都可用一个数来表示，把这些数作为变 量Y的取值范围，则试验结果可用变量y来表 示，随机变量所取得的值称为观测值。