直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质、判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）一、知识要点1、直角三角形的判定定理: .2、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中, 上的中线等于 的一半.3、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .4、直角三角形性质定理(三):在直角三角形中,如果一条直角边等于斜 边的一半,那么 .(定理一、二通常用于证明线段之间的倍分关系;定理三通常用于求三角形中角的度数)5、斜边、直角边定理:(1)定理内容: . (2)定理作用: . 6、角平分线的判定定理(1)定理内容: . (2)用符号语言表示:如图,∵ ,∴ . 二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：(2008,湖北)已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.A DP B例3：已知:如图,AD求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是Δ 求证：（1）AD （2）例5：已知如图，AE ⊥为B 、C.试说明EB=FC.例6：（2007，南充）如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．ABCD FE三、知识运用课堂训练1、（2008，新疆）△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
(完整版)直角三角形的性质和判定
ACD C直角三角形的性质和判定一、知识要点1、直角三角形的性质：（1）在直角三角形中，两锐角；（2）在直角三角形中，斜边上的中线等于__________的一半；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 ___________；（4）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于___________。
2、直角三角形的判定：（1）有一个角等于_________的三角形是直角三角形；（2）有两个角_____________的三角形是直角三角形；（3）如果三角形一边上的中线等于这条边的________，那么这个三角形是直角三角形。
二、知识运用典型例题例1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， CD⊥AB，(1) 若BD=8，求AB的长；(2) 若AB=8，求BD的长。
例2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。
例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=x°，∠B=2x°求x。
例4、如图，已知AB⊥BC，AE∥BC，∠1=45°，∠E=70°．求∠2，∠3，∠4的度数．例5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm，CD为AB的中线，求△ABC的面积。
C例6、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。
三、知识运用课堂训练1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2cm，AC=BC，CD⊥AB于D点，则CD=_______cm；2、如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形3、已知三角形的的三个内角的度数之比为1：2：3，它的最大边长为6cm，那么它的最小边长为_________cm；4、直角三角形中一个锐角为30°，斜边和较小的边的和为12cm，则斜边长为_____________;5、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=4cm，∠B=30°，则AC=_____cmADC BC6、将一张长方形纸片ABCD 如图所示折叠，使顶点C 落在C ′点. 已知AB=2, ∠DEC ′=30°,则折痕DE 的长为（ ）A 、2B 、32C 、4D 、1第九讲 知识运用课后训练 等级1、下列命题错误的是（ ）A ．有两个角互余的三角形一定是直角三角形；B ．在三角形中，若一边等于另一边的一半，则较小边的对角为30°；C ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：4：5，则这个三角形为直角三角形。
直角三角形的判定和性质
等腰直角三角形的面积可以通 过其直角边计算，面积=1/2 * a * a = 1/2 * a^2。
30°-60°-90°的直角三角形
30°-60°-90°的直角三角形是具有30°和60°锐角的直角三角形，其中30° 角所对的直角边等于斜边的一半，即c=2a，其中c为斜边，a为30°角所 对的直角边。
直角三角形中的三个角满足三角形内角和定理，即三角形的 三个内角之和等于180度。
直角三角形中的边长关系
直角三角形中，斜边是直角边中最长的一边，且斜边上的 中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即勾 股定理。
直角三角形的中线性质
直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半。 直角三角形的中线性质还包括，中线与直角相对的边平行且等于该边的一半。
04
直角三角形的应用
在几何图形中的应用
01
勾股定理
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，在几何学中广泛应用于解决与
直角三角形相关的问题。
02
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其两腰相等，且一个角为90
度。在几何图形中，等腰直角三角形
直角三角形的判定和性质
目 录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的性质 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的特殊情况
01
直角三角形的定义
定义
01
直角三角形是有一个角为90度的 三角形。
02
在直角三角形中，斜边是最长的 一边，两个锐角的角度之和为90 度。
直角三角形的表示方法
运动学
在描述物体的运动轨迹时，我们经常需要使用直角三角形来计算角度、速度和加速度等物 理量。例如，在抛体运动中，我们可以使用直角三角形来计算物体的射程和仰角。
1.1.2直角三角形的性质和判定
D
30º A
∴ BC = CD = BD = 1 AB.
2
直角三角形的性质定理之二
在直角三角形中，如果一个锐角等于
30º，那么它所对的直角边等于斜边
的一半
C
30º
用符号语言表示为： B
A
如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，
若∠A=30º，
则BC=
复习回顾
1、直角三角形的判定定理： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 2、直角三角形的性质定理之一： 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 3、如图，在△ABC中，CD=AD=DB，则△ABC 是_直__角__三角形.
A
D
C
B
1、已知Rt△ABC中，斜边上的中线 CD=5cm，则斜边AB=_1_0_c_m_.
知识小结
1、直角三角形两个性质定理及简单应用； 2、已学过直角三角形三条性质定理： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （2）直角三角形中30º角所对的直角边也是斜边 的一半. （3）直角三角形中，如果一条直角边是斜边的 一半，则此直角边所对的角等于30º. 前提都是：在直角三角形中. （1）对所有直角三角形成立，（2）、（3）只 对特殊的直角三角形成立.
A
B
D
C
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，
∠BCA=90º，如果BC=
1 AB
2
，
那么∠A等于多少？
C
B
D
A
直角三角形的性质定理之三
在直角三角形中，如果有一条直
角边等于斜边的一半，那么这条
直角边所对的角等于30º. C
用符号语言表示为：
B
A
直角三角形的性质和计算方法
直角三角形的性质和计算方法直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，存在着一些重要的性质和计算方法。
本文将介绍直角三角形的性质以及如何计算其各边长和角度。
一、直角三角形的性质1. 直角三角形的特点：直角三角形是三角形中最特殊的一种，其中一个角度为90度，另外两个角度之和为90度。
2. 边的命名：在直角三角形中，直角的边称为斜边，直角边分别称为邻边和对边。
3. 勾股定理：直角三角形中最重要的性质是勾股定理。
勾股定理描述了直角三角形三条边长度的关系，即斜边的平方等于邻边的平方与对边的平方之和。
勾股定理的数学表达式：c² = a² + b²其中，c表示斜边的长度，a和b分别表示邻边和对边的长度。
4. 斜边长度的限制：在一个直角三角形中，斜边的长度必须大于任意一条邻边或对边的长度。
5. 直角三角形的判定：有两种常用方法可以判断一个三角形是否为直角三角形。
(1) 角度判定法：若三角形中存在一个角度为90度，则该三角形为直角三角形。
(2) 边长判定法：根据勾股定理，若三角形三条边的关系满足c² =a² + b²，则该三角形为直角三角形。
二、直角三角形的计算方法1. 已知两边求第三边：当已知直角三角形的两条边长a和b时，可以通过勾股定理求得斜边c的长度。
具体计算方法：c = √(a² + b²)2. 已知斜边和一边求另一边：当已知直角三角形的一边和斜边的长度时，可以通过勾股定理求得另一边的长度。
具体计算方法：若已知斜边c和邻边a的长度，则对边b的长度为b = √(c² - a²)；若已知斜边c和对边b的长度，则邻边a的长度为 a = √(c² - b²)。
3. 已知两边求角度：当已知直角三角形的两条边长a和b时，可以通过三角函数求得一个角度的大小。
具体计算方法：若已知邻边a和对边b的长度，则斜边c的长度可以通过勾股定理计算(c = √(a² + b²))。
轻松学习直角三角形的性质和判定
轻松学习直角三角形的性质和判定临清市京华中学 张曼直角三角形是一种非常特殊的三角形,是初中几何部分比较重要的内容，无论在几何计算中还是在相关的推理论证中都起到很重要的作用。
下面对它的性质和判定进行归纳解析：一：性质和判定方法：性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2=c 2. （勾股定理）.判定：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；（2）若a 2＋b 2=c 2，则以a 、b 、c 为边的三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）.二：分析说明：直角三角形的数量关系可以归纳成两类，一类是角的关系，一类是边的数量关系。
所以应用时可以根据题目条件进行选择。
比如，判定一个三角形是直角三角形，所给的条件如果与角有关系，就用定义（即有一个角为90°的三角形是直角三角形）.来判定；如果与边有关系，就用勾股定理的逆定理来判定。
在以上知识体系中，勾股定理及其逆定理是几何中的重要定理，其应用是极其广泛的。
勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数（222c b a =+）的特征，而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据，是由数（222c b a =+）定形．正确区分勾股定理与其逆定理，可进一步加深对直角三角形的性质与判定之间关系的认识.三：应用举例：例1：如图1（1）,Rt ΔABC 中, ∠ACB ＝90°,两锐角的内角平分线相交于点M,则∠AMB ＝______度。
图1(1) MCBA解：(1)因为∠AMB ＝180°－(∠ABM ＋∠BAM),而∠ABM ＝21∠ABC,∠BAM ＝21∠BAC,所以∠ABM ＋∠BAM ＝21∠ABC ＋21∠BAC ＝21(∠ABC ＋∠BAC),所以要求出∠AMB 的大小,只须知道∠ABC ＋∠BAC 的值即可,根据直角三角形两锐角互余的性质,得∠ABC ＋∠BAC ＝90°,故可求得∠AMB ＝135°.[点拨]:在求解有关直角三角形的角度计算时,常要用到三角形内角和的性质和直角三角形两锐角互余的性质.例2、已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，求四边形ABCD 的面积解：连结AC∵∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4 ∴∴AC ＝5 ∵∴∴∠ACD ＝900∴S=S ΔABC +S ΔACD =36[点拨]:本题中，在直角三角形中已知两边利用勾股定理可求出第三边，又利用三边关系判定了三角形的形状，所以正确区分勾股定理与其逆定理，是解决这类问题的关键。
直角三角形的性质和判定
直角三角形的性质和判定
性质：直角三角形两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半。
判定：有一个角为90°的三角形是直角三角形；一个三角形，如果这个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
直角三角形的性质
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
④直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判定
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定四:有两个互补锐角的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。
（定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
简称为HL）
决定6:如果两条直线相交，并且它们的斜率的乘积是负倒数，那么这两条直线是垂直的。
判定7:如果三角形一边的中线等于中线所在边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
直角三角形-的性质判定(HL)
直角三角形的性质、判定（HL ）1、如果一个△ABC 有一个角是直角，则它是直角三角形，记作Rt △ABC 。
直角三角形两锐角互余。
2、直角三角形的判定定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，则这个两个直角三角形全等，简称HL 。
3、直角三角形性质定理(一):在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.4、直角三角形性质定理(二):在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半;5、直角三角形性质的逆定理（1）:如果一个三角形一边上的中线，等于这条边的一半，则这个三角形式直角三角形.（2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°.二、知识运用典型例题例1：已知:△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高, ∠A=30°.求证:BD=14AB.例2：已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=12AC. 则∠A=_____.例3：已知:如图,AD 为△ABC 的高,E 为AC 上的一点,BE 交AD 于F,且有BF=AC,FD=CD, 求证:BE ⊥AC.例4：如图3，AD 是ΔABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ， 求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线AD CBAE DC BF 12 A12（2）AB=AC例5：已知如图，AE ⊥ED ，AF ⊥FD ，AF=DE ，EB ⊥AD ，FC ⊥AD ，垂足分别为B 、C.试说明EB=FC.例6：如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．三、知识运用课堂训练1、△ABC 中各角的度数之比如下,能够说明△ABC 是直角三角形的是( ) A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.3:2:52、直角三角形中,两锐角的角平分线相交所成的角的度数为 .3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .4、如图,CD 为△ABC 的中线,∠ACB=90°,CE ⊥AB 于E, AE=ED,则图中30°的角有 个.ABCD FEABCD E5、如图,AC=BD,AD ⊥AC,BC ⊥BD,求证:AD=BC.6、如图所示，D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF ＝CE 。
直角三角形直角三角形的性质和判定教学
描述
如果在一个三角形中两个 角的度数相加等于90度 ，那么这个三角形是直角 三角形。
例子
在Rt△ABC中， ∠A+∠B=90度，则 Rt△ABC是直角三角形。
边角关系判定
定义
如果一个三角形的三条边 满足勾股定理，那么这个 三角形是直角三角形。
描述
在一个三角形中，如果较 短的两条边的平方和等于 最长的边的平方，那么这 个三角形是直角三角形。
实际问题中直角三角形的判定
在实际问题中，需要根据具体问题建立数学模型，并使用相 应的工具和方法来求解。
04 直角三角形的拓 展知识
锐角三角形和钝角三角形
锐角三角形
三个内角都小于90度。
等边三角形
三个内角都等于60度，三条边都相等。
钝角三角形
有一个内角大于90度。
等腰三角形
有两边长度相等，两个内角相等。
四边形内角和定理
四边形内角和为360度。 凸四边形：所有内角都小于180度。
凹四边形：至少有一个内角大于180度。
五边形的内角和
五边形内角和为540度。 六边形内角和为720度。
n边形内角和为(n-2)*180度。
THANKS
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直角三角形直角三角形的性 质和判定教学
2023-11-04
目录
• 直角三角形的定义 • 直角三角形的判定 • 直角三角形的应用 • 直角三角形的拓展知识
01 直角三角形的定 义
直角三角形定义总结
有一个内角为90度 的三角形称为直角 三角形。
直角三角形中，垂 直于底边的线段称 为高。
直角三角形中，最 长的边称为斜边， 较短的边称为直角 边。
角的大小。
02 直角三角形的判 定
1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定
归纳总结
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也 是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 如：“定理1与定理2” “定理3与定理4” 都为互逆定理.
(1) 命题有真有假，而定理都是真命题； 注 (2) 每个命题都有逆命题，但不是所有的定理 意 都有逆定理；
议一议
观察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?
第三个定理和第四个定理呢?与同伴交流.
说出下列命题的条件和结论：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？ 直角三角形的两个锐角互余. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？ △ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠C = 90°，
A′ B′
DC A
B
问题解决
②将棱柱沿BB'展开，使A，A'，B，B′，C，C′在同一个平 面内，根据勾股定理，得
AC= （5 5）2 82 164 2 41（cm）.
∵ 194 > 164
∴蚂蚁需要爬行的最短路径为 2 41 cm.
直角三角形的性质与判断方法
直角三角形的性质与判断方法直角三角形是一种特殊的三角形，具备独特的性质和判断方法。
本文将介绍直角三角形的性质以及如何判断一个三角形是否为直角三角形。
一、直角三角形的定义与性质直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的两条非斜边（即直角边）长度平方和等于斜边长度平方。
这就是著名的勾股定理，即a² + b² = c²，其中a、b为直角边的长度，c为斜边的长度。
2. 直角三角形的两条直角边（即非斜边）互为垂直，即夹角为90度。
3. 直角三角形中，以斜边的一半为半径作正弦形的圆的圆心就是直角顶点。
4. 直角三角形的面积等于直角边的乘积除以2，即面积 = 直角边1 ×直角边2 / 2。
二、如何判断三角形为直角三角形要判断一个三角形是否为直角三角形，有以下几种常见的方法：1. 使用勾股定理。
对于一个已知的三角形，如果满足勾股定理的条件（即 a² + b² = c²），则可以判定该三角形为直角三角形。
2. 观察角度。
直角三角形的一个角为90度，如果三角形的一个角度接近于90度，可以初步判断为直角三角形。
然而，仅仅依靠观察角度无法确定是否为直角三角形，因为可能存在其他角度为90度的三角形。
3. 利用三角函数。
正弦函数、余弦函数和正切函数在直角三角形中有特定的关系。
如果已知三角形中的角度和边长，可以通过计算三角函数值来判断是否为直角三角形。
4. 使用直角三角形的特殊三边比。
直角三角形的特殊三边比是3:4:5或5:12:13。
对于一个已知的三角形，如果边长比符合3:4:5或5:12:13，则可以判定为直角三角形。
需要注意的是，以上方法都只是初步判断为直角三角形，为了确保准确性，还需要进行进一步的计算和验证。
总结：直角三角形是一种具备特殊性质的三角形，其两个直角边的长度平方和等于斜边的长度平方。
在判断一个三角形为直角三角形时，可以使用勾股定理、观察角度、三角函数和特殊三边比等方法。
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
直角三角形的性质及勾股定理
直角三角形的性质及勾股定理一、直角三角形的定义与性质1.1 直角三角形的定义：一个三角形如果有一个角是直角（即90度），那么这个三角形就被称为直角三角形。
1.2 直角三角形的特征：直角三角形有一个直角和两个锐角，直角所对的边叫做斜边，其余两边叫做直角边。
1.3 直角三角形的分类：根据直角所在的位置，直角三角形可以分为锐角直角三角形、钝角直角三角形和等腰直角三角形。
1.4 直角三角形的性质：(1)直角三角形的三个内角之和为180度；(2)直角三角形的两个锐角的乘积等于直角边的乘积；(3)直角三角形的斜边长度大于任何一条直角边的长度；(4)在直角三角形中，斜边上的高将斜边平分，且等于直角边的乘积除以斜边长度。
二、勾股定理的定义与证明2.1 勾股定理的定义：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和，即a² + b² = c²，其中c为斜边长度，a和b为直角边长度。
2.2 勾股定理的证明：(1)几何证明：通过构造直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC和BC为直角边，AB为斜边，再构造两个相似的直角三角形ADE和BCF，利用相似三角形的性质可以证明勾股定理；(2)代数证明：通过设直角三角形ABC的直角边为a和b，斜边为c，然后根据三角形内角和定理和直角三角形的性质列出方程，最后通过代数变换证明勾股定理。
三、勾股定理的应用3.1 直角三角形的边长求解：已知直角三角形的两个直角边长度，可以通过勾股定理求出斜边长度；已知直角三角形的斜边和其中一个直角边长度，也可以通过勾股定理求出另一个直角边长度。
3.2 直角三角形的面积计算：直角三角形的面积可以通过两条直角边的长度计算得出，面积=1/2 * a * b，其中a和b为直角边长度。
3.3 实际应用：勾股定理在工程、建筑、物理等领域有广泛的应用，例如在测量土地面积、计算建筑物的稳定性等方面都需要运用勾股定理。
四、直角三角形的判定4.1 利用勾股定理的逆定理判定：如果一个三角形的三边长度满足a²+ b²= c²，那么这个三角形是直角三角形。
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∠B有什么关系？为什么？
解：∠ACD =∠B , 理由如下： ∵ 在△ABC中， ∠ACB=90° ∴ ∠A +∠B= 90° A 又∵ CD⊥AB ∴ ∠ADC= 90° ∵ 在△ABC中， ∠ADC=90° ∴ ∠A +∠ACD= 90° ∴ ∠ACD= ∠B
C
D
B
活动四
直角三角形的判定
A
探究：如图在 △ABC中， ∠A 和∠B互余，
直角三角形的性质与判定
1、三角形的定义：
活动一
复习回顾
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的 图形叫做三角形。
关键词：1、不在同一直线上； 2、首尾顺次相接。
2、三角形的表示方法： 三角形用符号“ △”表示，如右 图，以点A、B、C为顶点的三角
Aபைடு நூலகம்
形的记作“ △ABC ”，读作
“ 三角形ABC ”。
如图，以点A、B、C为顶点的直角三角
Rt △ABC ”， 读作“ 直角三角形ABC ”。
形的记作“
3、直角三角形的定义的作用 ①当直角三角形的性质
B
C
②当直角三角形的判定 ∵ ∠C=90°
∵ △ABC是直角三角形
∴ ∠C=90°
∴ △ABC是直角三角形
活动三
直角三角形的性质
A
探究：如图在Rt △ABC中，∠C=90°，锐角
A
2、图形语言 ∟
B C
3、符号语言
∵ 在△ABC中， ∠C=90° ∴ ∠A +∠B= 90°
练习
1、在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=44°,则∠A=（ C ） A ∠A= 26° B ∠A= 36° C ∠A= 46°D ∠A= 56° 2、如图，∠ACB=90°,CD⊥AB , 垂足为D,则∠ACD 与
A
E P C F D B
小结
1、直角三角形的定义 2、直角三角形的表示方法 3、直角三角形的性质 4、直角三角形的判定
则△ABC 是什么三角形，为什么？
解： △ABC 是直角三角形，理由如下：
∵ ∠A 和∠B互余 ∴ ∠A +∠B= 90°
在△ABC中
B
C
∵ ∠A +∠B+ ∠C = 180°
∴ 90°+ ∠C = 180°
∴ ∠C = 90° ∴ △ABC 是直角三角形
结论 有两个角互余的三角形是直角三角形
活动四
直角三角形的判定
1、文字语言 有两个角互余的三角形是直角三角形
A
2、图形语言
B C
3、符号语言
∵ 在△ABC中， ∠A +∠B= 90° ∴ △ABC 是直角三角形
练习 如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、 F, ∠BEF的平分线与 ∠DFE的平分线相交于点 P，试说明△EPF为直角三角形
∠A 和∠B有怎样的数量关系，为什么？
解： ∠A 和∠B互余，理由如下：
在Rt △ABC中 ∵ ∠A +∠B+ ∠C = 180° ∴ ∠A +∠B+ 90°= 180° ∴ ∠A +∠B= 90° ∴ ∠A 和∠B互余
∟
B
C
结论
直角三角形的两个锐角互余
活动三
直角三角形的性质
1、文字语言
直角三角形的两个锐角互余
B
C
注意：①、表示三角形时，字母没有先后顺序。 即：可以记作△ABC，也可记作△ACB， ②、记三角形时，顶点字母一般按字母表中的顺序排列。
活动二
直角三角形的定义和表示方法
A
1、在△ABC中，如果有一个角等于90°，那么△ABC是直角 三角形。
直角三角形用符号“
2、直角三角形的表示方法
Rt △ ”表示，