2018-2019学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级(下)第一次月考数学试卷 解析版

2018-2019学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）
第一次月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）
A．﹣2B．C．0D．6
2．（3分）将5570000用科学记数法表示正确的是（）
A．5.57×105B．5.57×106C．5.57×107D．5.57×108
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
4．（3分）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（）
A．立方体B．球体C．圆锥D．圆柱体
5．（3分）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80B．80，85C．80，90D．80，80
6．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）
A．B．C．D．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结
论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．
10．（3分）分解因式：2a2+4a+2＝．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
12．（3分）若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）
13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为．
14．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．
15．（3分）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是．
16．（3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是．
三、解答题（共102分）
17．（12分）（1）化简：
（2）计算：
18．（6分）解方程：﹣＝0
19．（6分）解方程（组）：
（1）﹣＝1
（2）．
20．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
21．（8分）为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生
根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图．
某班参加球类活动人数统计表
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中m＝，n＝；
（2）若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率．
22．（8分）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与
楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°
≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
23．（10分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg （含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：
方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
25．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0）、点B（0，4），点C、D分别是边OA、AB的中点．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．
（I）如图①，连接BD′，当BD′∥OA时，求点D′的坐标；
（II）如图②，当α＝60°时，求点C′的坐标；
（III）当点B，D′，C′共线时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．
26．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点
E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
27．（12分）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l 上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°．
（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c＝0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．
2018-2019学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）
A．﹣2B．C．0D．6
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
6＞＞0＞﹣2，
故四个数中，最大的数是6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．（3分）将5570000用科学记数法表示正确的是（）
A．5.57×105B．5.57×106C．5.57×107D．5.57×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值是易错点，由于5570000有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
【解答】解：5570000＝5.57×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，
不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【解答】解：，
解不等式2x﹣1≥5，得：x≥3，
解不等式8﹣4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．
4．（3分）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（）
A．立方体B．球体C．圆锥D．圆柱体
【分析】主视图是从正面看所得到的平面图形，分别写出四个选项的主视图即可选出答案．
【解答】解：A、立方体的主视图是长方形，故此选项错误；
B、球体的主视图是圆，故此选项错误；
C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D、圆柱体的主视图是长方形，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．5．（3分）已知一组数据75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别为（）A．75，80B．80，85C．80，90D．80，80
【分析】根据众数和中位数的概念分别进行求解即可．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，
最中间的数是80，
则中位数是80；
在这组数据中出现次数最多的是80，
则众数是80；
故选：D．
【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组
数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）
A．B．
C．D．
【分析】设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．【解答】解：设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，由题意得
，
故选：B．
【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程是关键．
7．（3分）如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）
A．B．C．D．
【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理得到
AF＝＝＝2，根据平行线分线段成比例定理得到OH＝AE＝，
由相似三角形的性质得到＝＝，求得AM＝AF＝，根据相似三角形的
性质得到＝＝，求得AN＝AF＝，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF＝＝＝2，
∵OH∥AE，
∴＝＝，
∴OH＝AE＝，
∴OF＝FH﹣OH＝2﹣＝，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴＝＝，
∴AM＝AF＝，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴＝＝，
∴AN＝AF＝，
∴MN＝AN﹣AM＝﹣＝，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x＝﹣1及x＝﹣2时y 都大于或等于零可以得到③④正确．
【解答】解：∵b＞a＞0
∴﹣＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
≥3
所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；a、b的符号决定对称轴的位置；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是x≥2．
【分析】根据式子有意义的条件为a≥0得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴x﹣2≥0，
∴x≥2．
故答案为x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：式子有意义的条件为a≥0．
10．（3分）分解因式：2a2+4a+2＝2（a+1）2．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2，
故答案为：2（a+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．
12．（3分）若扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为2π．（结果保留π）
【分析】根据弧长公式可得．
【解答】解：根据题意知该扇形的弧长为＝2π，
故答案为：2π．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．
13．（3分）如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为
．
【分析】根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．
【解答】解：∵弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC为2，
∴AC＝BC＝3，∠ACO＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC和OA的长，题目比较好，难度适中．
14．（3分）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．（3分）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的
概率是．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意作出树状图如下：
一共有36种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有30种，
所以，P＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA＝AC＝2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是2π+2．
【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积．
【解答】解：∵OA＝AC＝2，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝，OC＝4，
S
＝+＝2π+2，
阴影
故答案为：2π+2．
【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键．
三、解答题（共102分）
17．（12分）（1）化简：
（2）计算：
【分析】（1）根据分式的减法和乘法可以解答本题；
（2）根据零指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝2（a﹣2）
＝2a﹣4；
（2）
＝1﹣2×+4
＝1﹣3+4
＝2．
【点评】本题考查分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．（6分）解方程：﹣＝0
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+2﹣1+2x＝0，
解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19．（6分）解方程（组）：
（1）﹣＝1
（2）．
【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）化为整式方程，解整式方程可得x的值，最后检验；
（2）用加减消元法将两方程相减消去y，求得x的值，将x的值代回原方程求得y的值，可得方程组的解．
【解答】解：（1）去分母，得：2﹣（x+2）＝x﹣1，
去括号，得：2﹣x﹣2＝x﹣1，
移项，得：﹣x﹣x＝﹣1，
合并同类项，得：﹣2x＝﹣1，
系数化为1，得：x＝，
经检验：x＝是原分式方程的解；
（2）解方程，
②﹣①，得：4x＝12，解得：x＝3，
将x＝3代入①，得：9+2y＝15，
解得：y＝3，
故方程组的解为：．
【点评】本题主要考查解分式方程和方程组的能力，将分式方程去分母转化为整式方程是解方程的关键，不要忘记检验，解方程组的思想是消元，使用何种方法需看方程中未知数系数．
20．（8分）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（﹣4，﹣2），请直接写出直线l的函数解析式．
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；
（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）根据对称的特点解答即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（﹣1，2）；
（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（﹣3，﹣2）；
（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（﹣4，﹣2），
所以直线l的函数解析式为y＝﹣x，
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．
21．（8分）为了推进球类运动的发展，某校组织校内球类运动会，分篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球五项，要求每位学生必须参加一项并且只能参加一项，某班有一名学生根据自己了解的班内情况绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图．
某班参加球类活动人数统计表
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）图表中m＝16，n＝20；
（2）若该校学生共有1000人，则该校参加羽毛球活动的人数约为150人；
（3）该班参加乒乓球活动的4位同学中，有3位男同学（分别用A，B，C表示）和1位女同学（用D表示），现准备从中选出两名同学参加双打比赛，用树状图或列表法求出恰好选出一男一女的概率．
【分析】（1）根据足球的人数和百分比，求出总人数即可解决问题；
（2）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
（3）画出树状图，根据概率公式即可求解．
【解答】解：（1）总人数＝＝40（人），
m＝40﹣6﹣8﹣6﹣4＝16（人），n%＝20%，
∴n＝20，
故答案为16，20；
（2）1000×＝150（人）．
故答案为150．
图如图所示：
共有12种可能，一男一女有6种可能，
则P（恰好选到一男一女）＝＝．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（8分）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与
楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i＝1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°
≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．
【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT △ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM＝BN即可解决问题．
【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．
在RT△BDN中，BD＝30，BN：ND＝1：，
∴BN＝15，DN＝15，
∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°，
∴四边形CMBN是矩形，
∴CM＝BN＝15，BM＝CN＝60﹣15＝45，
在RT△ABM中，tan∠ABM＝＝，
∴AM＝60，
∴AC＝AM+CM＝15+60．
故楼房AC的高度为（15+60）米．
【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．
23．（10分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg （含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．
方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．
（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；
（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；
（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．
【分析】（1）根据题意确定出两种方案应付款y与购买量x之间的函数表达式即可；
（2）根据A付款比B付款少列出不等式，求出不等式的解集确定出x的范围即可；
（3）根据题意列出算式，计算比较即可得到结果．
【解答】解：（1）方案A：函数表达式为y＝5.8x；
方案B：函数表达式为y＝5x+2000；
（2）由题意得：5.8x＜5x+2000，
解得：x＜2500，
则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；
（3）他应选择方案B，理由为：
方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（kg）；
方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5＝3600（kg），
∵3600＞3448，
∴方案B买的苹果多．
【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清题中的两种方案是解本题的关键．24．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．
（1）求∠CDE的度数；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；
（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．
【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝90°；
（2）证明：连接DO，
∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，
∴DF＝FC，
∴∠FDC＝∠FCD，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠OCF＝90°，
∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；
（3）解：方法一：设DE＝1，则AC＝2，
由AC2＝AD×AE
∴20＝AD（AD+1）
∴AD＝4或﹣5（舍去）
∵DC2＝AC2﹣AD2
∴DC＝2，
∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝2；
方法二：如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，
∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝∠E，
又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴＝，
∴DC2＝AD•DE
∵AC＝2DE，
∴设DE＝x，则AC＝2x，
则AC2﹣AD2＝AD•DE，
即（2x）2﹣AD2＝AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2＝0，
解得：AD＝4x或﹣5x（负数舍去），
则DC＝＝2x，
故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．
25．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0）、点B（0，4），点C、D分别是边OA、AB的中点．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．
（I）如图①，连接BD′，当BD′∥OA时，求点D′的坐标；
（II）如图②，当α＝60°时，求点C′的坐标；
（III）当点B，D′，C′共线时，求点C′的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（I）如图①，当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，只要证明B、C′、D′共线即可解决问题，再根据对称性确定D″的坐标；
（II）如图②，当α＝60°时，作C′K⊥AC于K．解直角三角形求出OK，C′K即可解决问题；
（III）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（I）如图①，
∵A（8，0），B（0，4），
∴OB＝4，OA＝8，
∵AC＝OC＝AC′＝4，
∴当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，
∵∠AOB＝90°，
∴四边形OBC′A是矩形，
∴∠AC′B＝90°，∵∠AC′D′＝90°，
∴B、C′、D′共线，
∴BD′∥OA，
∵AC＝CO，BD＝AD，
∴CD＝C′D′＝OB＝2，
∴D′（10，4），
根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．
（II）如图②，当α＝60°时，作C′K⊥AC于K．
在Rt△AC′K中，∵∠KAC′＝60°，AC′＝4，
∴AK＝2，C′K＝2，
∴OK＝6，
∴C′（6，2）．
（III）①如图③中，当B、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．
②如图④中，当B、C′、D′共线时，BD′交OA于F，易证△BOF≌△AC′F，
∴OF＝FC′，设OF＝FC′＝x，
在Rt△ABC′中，BC′＝＝8，
在RT△BOF中，OB＝4，OF＝x，BF＝8﹣x，
∴（8﹣x）2＝42+x2，
解得x＝3，
∴OF＝FC′＝3，BF＝5，作C′K⊥OA于K，
∵OB∥KC′，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴KC′＝，KF＝，
∴OK＝，
∴C′（，﹣）．
【点评】本题考查三角形综合题、旋转变换、矩形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．（12分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点
E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，令y＝﹣4即可解决问题．
（3））①如图1中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H，求出点M、H的坐标即可解决问题．②如图2中，当QO ＝QP时，△POQ是等腰三角形，先证明CE∥PQ，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣8，
∵y＝x2﹣3x﹣8＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），
∴点B坐标（8，0）．
设直线l的解析式为y＝kx，
∵经过点D（6，﹣8），
∴6k＝﹣8，
∴k＝﹣，
∴直线l的解析式为y＝﹣x，
∵点E为直线l与抛物线的交点，
∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3＝﹣4，
∴点E坐标（3，﹣4）．
（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，
此时点F纵坐标为﹣4，
∴x2﹣3x﹣8＝﹣4，
∴x2﹣6x﹣8＝0，
x＝3，
∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．
（3）①如图1
中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形．
∵点E坐标（3，﹣4），
∴OE＝＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则＝
，
∴OM＝OE＝5，
∴点M坐标（0，﹣5）．
设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5，
∴3k1﹣5＝﹣4，
∴k1＝，
∴直线ME解析式为y＝x﹣5，
令y＝0，得x﹣5＝0，解得x＝15，
∴点H坐标（15，0），
∵MH∥PB，
∴＝，即＝，
∴m＝﹣，
②如图2
中，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形．
∵当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣8＝﹣8，
∴点C坐标（0，﹣8），
∴CE＝＝5，
∴OE＝CE，
∴∠1＝∠2，
∵QO＝QP，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴CE∥PB，
设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8，∴3k2﹣8＝﹣4，
∴k2＝，
∴直线CE解析式为y＝x﹣8，
令y＝0，得x﹣8＝0，
∴x＝6，
∴点N坐标（6，0），
∵CN∥PB，
∴＝，
∴＝，
∴m＝﹣．
③OP＝PQ时，显然不可能，理由，
∵D（6，﹣8），
∴∠1＜∠BOD，
∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP，
∴∠PQO＞∠1，
∴OP≠PQ，
综上所述，当m＝﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（12分）如图，直线l：y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l 上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ＝135°．
（1）求△AOB的周长；
（2）设AQ＝t＞0，试用含t的代数式表示点P的坐标；
（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ ＝m，若过点A的二次函数y＝ax2+bx+c同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c＝0；
②当m≤x≤m+2时，函数y的最大值等于，求二次项系数a的值．。