无量纲化
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导出量纲
引力常数 k 的量纲 [k]
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
数 学
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
f k m1m2 r2
模 型
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间 有关系式
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (g F ( ) 0
(t l / g )
数
学
模
型
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
数 学
(g) (l) () (v) (s) ( f )
模
型
f (q1, q2 , , qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g, l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
s
j
数
j 1
学
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
模 型
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水
密度, 重力加速度g。
f (q1, q2, , qm ) 0 (g, l, , v, s, f ) 0
n
[q j ]
X ,aij i
i 1
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] =
LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
1 1 3 1 2 1 (L)
A
0
0
2 0
1 0 0 1 (M ) 0 1 0 2 (T)
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1,
q2, , qm 的量纲可表为
n
[q j ]
X , aij i
j 1,2, , m
i 1
量纲矩阵记作
A {aij }nm , 若 rank A r
线性齐次方程组
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
f1
,
s1
,
l1
,
v1
,
1
,
g1
~原型船的参数
数
(f1未知，其他已知)
学 模
型
【模型构成】
f l3g (1, 2 ) f1 l13g11 (1, 2 )
2.4 量纲分析与无量纲化
2.4.1 量纲齐次原则
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m]
量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中基 本量纲 L, M, T
t
m l g 1 2
3
(1)
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
m
(1)的量纲表达式
[t] [m]1 [l]2 [g]3
mg
T M L T 1 2 3 23
1 0 2 3 0
2 3
1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
对比
数
t 2 l
g
学 模
型
t m l g 1 2 3 为什么假设这种形式
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
y1 (1/ 2,1/ 2,0, 1, 0, 0)T
y2
(
0, 2, 0,
0, 1, 0)T
y 3
(
1,
3, 1,
0, 0, 1)T
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
数 学
3 g l 1 3 1 f
模 型
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单位 缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
p1 f (ax1,by1, cz1), p2 f (ax2,by2, cz2 )
p1 p1
例: 航船阻力的物理模拟
【问题】
通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 f l3g (1,2 )
型船所
受阻力 1
v gl
,
2
s l2
可得原 型船所 受阻力
f1 l13g11 (1, 2 )
1
v1 g1l1
, 2
s1 l12
f , s, l, v, , g
~模型船的参数(均已知)
注意：二者的相同
t m l g y1
y2 y3
y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[t] L0 M 0T 1 [m] L0 M 1T 0 [l] L1M 0T 0 [ g ] L1M 0T 2
(L0 M 0T 1 ) y1 (L0 M 1T 0 ) y2 (L1M 0T 0 ) y3 (L1M 0T 2 ) y4 L0 M 0T 0
p2
p
2
f (x1, y1, z1) f (ax1, by1, cz1) f (x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p= f(x,y,z)的形式为
数
f (x, y, z) x y z 学
模 型
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t, m, l, g ) 0
型
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
• 基本量纲的选取 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解
• 方法的普适性
不需要特定的专业知识
数
学
• 结果的局限性
函数F和无量纲量未定
模
型
2.4.2 量纲分析在物理模拟中的应用
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1,
q2, , qm) =0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
3 g l 1 3 1 f
F=0
3 (1, 2 )
f l3g (1, 2 ),
1
v gl
,
2
s l2
未定
数 学 模
引力常数 k 的量纲 [k]
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2
数 学
对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)
f k m1m2 r2
模 型
量纲齐次原则 等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
例：单摆运动 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间 有关系式
L M T L M T y3y4
y2 y1 2 y4
0 00
y3 y4 0
y 2
0
y 1
2y 4
0
基本解 y ( y1, y2 , y3, y4 )T (g F ( ) 0
(t l / g )
数
学
模
型
Pi定理 (Buckingham)
设 f(q1, q2, , qm) = 0
数 学
(g) (l) () (v) (s) ( f )
模
型
f (q1, q2 , , qm ) 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
(g, l, , v, s, f ) 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T s = 1,2,…, m-r
m
则 q ysj 为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
s
j
数
j 1
学
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
模 型
量纲分析示例：波浪对航船的阻力
航船阻力 f
航船速度v, 船体尺寸l, 浸没面积 s, 海水
密度, 重力加速度g。
f (q1, q2, , qm ) 0 (g, l, , v, s, f ) 0
n
[q j ]
X ,aij i
i 1
[g] = LT-2, [l] = L, [] = L-3M, [v] =
LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
j 1,2, , m
A {aij }nm
m=6, n=3
1 1 3 1 2 1 (L)
A
0
0
2 0
1 0 0 1 (M ) 0 1 0 2 (T)
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1,
q2, , qm 的量纲可表为
n
[q j ]
X , aij i
j 1,2, , m
i 1
量纲矩阵记作
A {aij }nm , 若 rank A r
线性齐次方程组
Ay 0 有 m-r 个基本解，记作
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
f1
,
s1
,
l1
,
v1
,
1
,
g1
~原型船的参数
数
(f1未知，其他已知)
学 模
型
【模型构成】
f l3g (1, 2 ) f1 l13g11 (1, 2 )
2.4 量纲分析与无量纲化
2.4.1 量纲齐次原则
物 长度 l 的量纲记 L=[l] 理 质量 m的量纲记 M=[m]
量 时间 t 的量纲记 T=[t]
的 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 量 纲 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
动力学中基 本量纲 L, M, T
t
m l g 1 2
3
(1)
l
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
m
(1)的量纲表达式
[t] [m]1 [l]2 [g]3
mg
T M L T 1 2 3 23
1 0 2 3 0
2 3
1
1 0 2 1/ 2 3 1/ 2
t l
g
对比
数
t 2 l
g
学 模
型
t m l g 1 2 3 为什么假设这种形式
m-r 个无量纲量
m
q ysj
s
j
j 1
y1 (1/ 2,1/ 2,0, 1, 0, 0)T
y2
(
0, 2, 0,
0, 1, 0)T
y 3
(
1,
3, 1,
0, 0, 1)T
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
数 学
3 g l 1 3 1 f
模 型
F(1, 2 ,3 ) = 0与 (g,l,,v,s,f) = 0 等价
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单位 缩小a,b,c倍
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
p1 f (ax1,by1, cz1), p2 f (ax2,by2, cz2 )
p1 p1
例: 航船阻力的物理模拟
【问题】
通过航船模型确定原型船所受阻力
已知模 f l3g (1,2 )
型船所
受阻力 1
v gl
,
2
s l2
可得原 型船所 受阻力
f1 l13g11 (1, 2 )
1
v1 g1l1
, 2
s1 l12
f , s, l, v, , g
~模型船的参数(均已知)
注意：二者的相同
t m l g y1
y2 y3
y4
y1~y4 为待定常数, 为无量纲量
[t] L0 M 0T 1 [m] L0 M 1T 0 [l] L1M 0T 0 [ g ] L1M 0T 2
(L0 M 0T 1 ) y1 (L0 M 1T 0 ) y2 (L1M 0T 0 ) y3 (L1M 0T 2 ) y4 L0 M 0T 0
p2
p
2
f (x1, y1, z1) f (ax1, by1, cz1) f (x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )
p= f(x,y,z)的形式为
数
f (x, y, z) x y z 学
模 型
单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式 f (t, m, l, g ) 0
型
量纲分析法的评注
• 物理量的选取
(…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的
• 基本量纲的选取 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲
• 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解
• 方法的普适性
不需要特定的专业知识
数
学
• 结果的局限性
函数F和无量纲量未定
模
型
2.4.2 量纲分析在物理模拟中的应用
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1,
q2, , qm) =0 等价
m
q ysj
s
j
j 1
为得到阻力 f 的显式表达式
1 2
1
g 2l l 2s
1
2v
3 g l 1 3 1 f
F=0
3 (1, 2 )
f l3g (1, 2 ),
1
v gl
,
2
s l2
未定
数 学 模