随机变量及其分布列概念公式总结

随机变量及其分布总结
1、定义：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量 ．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．
2、定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量
3、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为
x 1，x 2，…，x 3，…，
ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：
（1）P i ≥0，i ＝1，2，…； （2）P 1+P 2
+…=1． 5.求离散型随机变量ξ的概率分布的步骤: （1）确定随机变量的所有可能的值x i （2）求出各取值的概率p(ξ=x i )=p i （3）画出表格
6.两点分布列:
7超几何分布列：
一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品
数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k
M N
M
n
N
C C P X k k m C --===,其中
min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布
8．离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是
k n k k
n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．
于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0
1 … k … n
P
n
n q p C 00
111-n n q p C … k
n k k n q p C - …
q p C n n n
称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数。

9．离散型随机变量的均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 10．离散型随机变量的均值或数学期望的性质： （1）若ξ服从两点分布，则=ξE p ． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ． （3）()c c E =，c 为常数
（4）ξ～N (μ，2
σ),则=ξE μ
（5）b aE b a E +=+ξξ)(
11．方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，
且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,
ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 12. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差， 13.方差的性质：
（1）若ξ服从两点分布，则=ξD p (1-p )． （2）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )． （3）()0=c D ，c 为常数 （4）ξ～N (μ，2σ),则=ξD 2σ （5）ξξD a b a D 2)(=+
14正态分布密度函数可写成
22
()21
(),(,)x f x x μσ--
=∈-∞+∞，（σ＞0）
15正态分布：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足
,()()b
a P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal
distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作
),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .
16．正态曲线的性质：
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 （2）曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称
（3）曲线在x=
（4）曲线与x 轴之间的面积为1
（5）μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：
（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移。

17．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，
2
221)(x e
x f -
=
π
，（-∞＜x ＜+∞）
18（1）()6826.0=+≤<-σμσμx P
（2）()9544.022=+≤<-σμσμx P （3）()9974.033=+≤<-σμσμx P。