塑性力学讲义-全量理论与增量理论

1） ij,i f j 0
2）
ij

1 2
ui, j
u j,i
3） Sij

2 i 3 i
eij
kk

E
1 2
kk
， i
3 2 Sij Sij
i
2 3 eij eij
4） ijli f j
5） ui ui 求解方法和弹性问题一样，可以用两种基
即2G1 ）
上式自乘求和后开方得：
2G
Sij Sij eklekl
J2 J 2
1 3

2 i
2 i
3 4

2 i
3 i
i
3 2 Sij Sij
,
i
2 3 eij eij
,
J2

1 2
Sij Sij
,
J 2

1 2
eij eij
以 0代.5 入 i E i 1
载按弹性计算所得之应力或应变（即卸载过 程中应力或应变的改变量）。
使用上述计算方法时必须注意两点： （1）卸载过程必须是简单卸载，即卸载过 程中各点的各应力分量是按比例减少的。 （2）卸载过程中不发生第二次塑性变形， 即卸载不应该引起应力改变符号而达到新的 屈服。
ii

1
2
E

ii
,
eij

1 2G Sij
前面是一个独立式子，后者是五个独立式子
（ Sii ）0。
在弹性范围内，应力和应变之间的方向关系
是应力和应变主轴重合，分配关系是应变偏
张量各分量和应力偏张量各分量成比例。为
便于推广到塑性状态，并与塑性本构方程的
写法一致， 将 eij 改21G写Si为j
其中
K

Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
31 2
第一式，且 0.5,，ij eij
故
ij

3 2
或ii Sij
Sij

2 3
i i
ij
又因为 Sz
z
m
z

1 3

z

2 3

,
Sz
z

其展开式为

i , i
i 3 i
又由于 r

由于在塑性变形状态应力和应变不存在一 一对应的关系。因此，必须用增量形式来表 示它们之间的关系。只有在知道了应力或应 变历史后，才可能沿加载路径积分得出全量 的关系。由此可见，应力与应变的全量关系 必然与加载的路径有关，但全量理论企图直 接建立用全量形式表示的，与加载路径无关 的本构关系。所以全量理论一般说来是不正 确的。不过，从理论上来讲，沿路径积分总 是可能的。但要在积分结果中引出明确的

M
2r 2t
其余应力分量为零。当按照同时拉伸与扭转，
在 的比值保持不变条件下进入塑性状态

到
s

s
E
,
s， G用s 全量理论求筒中的应力。
解：（一）由全量理论
eij
ii

3 i 2 i
Sij , i
1
2
E

ii

i
（1）
第二式可以写为 m 3Km
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素 §4-2 广义Hooke定律 §4-3 全量型本构方程 §4-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律 §4-6 卸载定律 §4-7 Levy—Mises和Prandtl—Reuss流动法则 §4-8 增量型本构方程 §4-9 增量理论的基本方程及边值问题的提法 §4-10 两种理论的比较


1 2

z


1 2

,
z

1 2

z

1
2
故
i
2 1 2 （2）
3
（二）对于理想塑性材料： i s （3）
将（2）、（3）代入式（1），得到

s
,
s

2 1 2
3 （42） 1 2
3
依留申在1943年继续解决了在什么条件
下才能保持物体内部各点都处于简单加载情 况。提出了一组充分条件： 1、外载按比例增长，如有位移边界条件， 只能是零位移边界条件； 2、材料的体积不可压缩，即 0.5,；ii 0 3、应力强度与应变强度的关系 i A。 im 二、偏离简单加载
2、与初始屈服及后继加载面相关连的某一 流动法则。即要有一个应力和应变（或它们 的增量）间的关系，此关系包括方向关系和 分配关系。实际是研究它们的偏量之间的关 系； 3、确定一种描述材料强化（硬化）特性的 强化条件，即加载函数。有了这个条件才能 确定应力、应变或它们的增量之间的定量关 系。
§4-2 广义Hooke定律

3
s


s
3G
2


1 3

s
3G
2

s
3G

s
6

0.408 s
例4-2、如图所示，简单拉伸下材料的应力 应变关系曲线可用幂指数硬化模型表示为


E

s m
P
n
0 s s
式中 s 200 MPa, E 200GPa, m。 300 MPa, n 0.3 拉伸加载至 P 0.0，02然后卸载并方向加载，
出较为满意的结果。
§4-5 全量理论的适用范围 简单加载定律
目前已经证明，全量理论在小变形并且是 简单加载的条件下与实验结果接近，可以证 明是正确的。 一、简单加载
在简单加载的情况下， ij 物t体i0j内每一
点的应力和应变的主方向都保持不变。其主 值之比也不改变。在应力空间中，应力点的 轨迹是直线。
材料重新进入屈服。在此过程中塑性应变保
持不变为 P 0，.00仅2 产生弹性应变，因此，
在 246.5时M，Pa对应的应变为
0.003232 0.000767
E
由此可得强化（硬化）函数为
k P s m( P )n
当应力 246.5M，P材a 料进入压缩硬化，等向
弹性范围内，广义Hooke定律：
x

1 E
x

y
z
,
yz

1 G

yz
y

1 E
y
z
x
,
zx

1 G

zx
z

1 E
z

x
y
,
xy

1 G

xy
将应力张量和应变张量分解为球张量和偏张
量部分，则Hooke定律改写为
加载到
， 15，3.5重M新Pa进f入屈0 服。在此
过程中塑性应变保持不变为
P 0.故00在2 时15，3.5对M应Pa的应变为
0.003232 0.00123
当应力
，将E产生压缩塑性变形，在
此阶段， 塑性153应.5变MP增a量为
其绝对值是
，累积塑性应(变P 为0.002 ) 0
b s 107 300 0.004 P 0.3
因此，导出的应力—应变关系为
1
e P


0.004


107
0.3
200000
300
（2）等向强化
当应力从 246.5开MP始a减小到
246.5MPa
硬化的加载条件为
k d P s m( P )n
于是，应力—应变关系为
1
e P


0.004




200
0.3
200000
300
§4-4 全量理论的基本方程 及边值问题的提法
全量理论的边值问题及解法 设在物体V内给定体力 fi，在应力边界 上ST 给 定面力 ，fi在位移边界 上S给u 定 ，要ui 求物体 内部各点的应力 、应变ij 、位移ij 。确定ui 这 些未知量的基本方程组有：
0.002 P
d P 0.002 0.002 P 0.004 P
背应力应为
P
b 46.5
mn 0.004 P n1d P
0.002
93 300 0.004 P 0.3
代入加载条件 b 得s ：0
在 P 0.时00的2 背应力为
b
0.002 0
mn P
n1 d P m P
n
0.002 0

46.5MPa
此时，加载条件变为
f 46.5 s 46.5 200 0
当应力从 246.5开MP始a卸载， ，f直到0 反向
在实际应用中，全量理论的适用范围不限 于简单加载，这个范围的确定以及这个范围 内应用全量理论所引起的误差，都尚需要作 进一步的研究。在这一范围内的加载路径称 为偏离简单加载。
§4-6 卸载定律
卸载定律： 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应
变减去以卸载时的荷载改变量 P P~为假P 想荷
§4-1 建立塑性本构关系的基本要素
描述塑性变形规律的理论可分为两大类： 一类理论认为在塑性状态下仍是应力和应变 全量之间的关系即全量理论；另一类理论认 为在塑性状态下是塑性应变增量（或应变率 和应力及应力增量（应力率）之间的关系即 增量理论或流动理论。
为了建立塑性本构关系，需要考虑三个要 素： 1、初始屈服条件；
得到 i 3G i 1
则 Sij 2G1 eij
这是全量理论的另一种表达形式。
例4-1、在薄壁筒的拉伸与扭转问题中，若
材料为理想弹塑性，且 0。.5 设拉力为P，扭 矩为M，筒的平均半径为r，壁厚为t。于是
筒内应力为均匀应力状态，有
z

P
2rt
,z
eij S ij
3、‘单一曲线假设’：不论应力状态如何，
对于同一种材料来说，应力强度是应变强度
的确定函数i i ， 是与Mises条件相应的。
（ i E i ，1 单拉时
） E 1
ii

1
2
E

ii
全量型塑性 本构方程为
eij

3 i 2 i
3
（三）在简单加载条件下，材料进入塑性时
各应变分量同时达到屈服，即 s ,， s
又
s

s
3G
,

s
s
G

s
3
1 G

s
3G
分别代入（4）得到

s


s
3G
2


1 3

s
s
3G
2

3G
s
2
0.707 s
针对下面两种情况，求出方向加载中的应
力—应变关系。
（1）随动强化；（2）等向强化。
/ MPa
200
100 2
1
随动强化
3
/ 10 3
等向强化
解：（1）随动强化 P 时0.0，02相应的应力和应变分别为
246.5MPa, 0.003232
塑性模量的表达式为
EP mn P n1
或 K

G 3
u
k
,ki

Gu i, jj

fi
2G eij
,j
在弹性状态时，上式右端等于零，可得到
弹性解。将它作为第一次近似解，代入上式
右端作为已知项，又可以解出第二次近似解。
重复以上过程，可得出所要求精度内接近实
际的解。在小变形情况下，可以证明解能够
很快收敛。在很多问题第二次近似解已能给
应力—应变的全量关系，而又不包含历史的 因素，只有在某些特殊加载历史下才有可能 因此，这种关系只能在特定条件下应用。
一、全量理论的基本假设 1、体积的改变是弹性的，且与静水应力成 正比，而塑性变形时体积不可压缩。

e
ii

1
2
E

ii
,
P 0
2、应变偏张量与应力偏张量相似且同轴,即，
S ij
i i
（其中
i
3 2
Sij Sij ,）i
2 3
eij eij
二、依留申小弹塑性形变理论
1943年，依留申考虑了与弹性变形同量
级的塑性变形，给出了微小弹塑性变形下的
应力—应变关系
在弹性阶段：
eij
（SijG即剪切弹性模量）
2G
在塑性阶段：
（ eij

S ij 2G
eij

3 i 2 i
Sij , i
3Gi
（因 i E i 21， 而G塑 i 性状态 ） 0.5
当应力从加载面卸载时，也服从广义Hooke
定律，但是不能写成全量形式，只能写成增
量形式。
d ii
1 2
E
d ii
,
deij

1 2G
dSij
§4-3 全量型本构方程
本方法：按位移求解或按应力求解。在全量 理论适用并按位移求解弹塑性问题时，依留 申提出的弹性解法显得很方便。
将 Sij 2代G1入 用ei位j 移表示的平衡
微分方程得：
其 中 K


G 3
u
k
,ki

Gu i, jj
2G eij
,j

fi
0
K

E
31 2