参数提取

A Parameter Extraction Method for Microwave

Coupled Resonater Filters

摘要：本文提出了一种直接优化耦合矩阵从而求得耦合系数及谐振频率的方法。首先在柯西法的基础上构建了一种更精确有理多项式模型，这种模型既适合无耗的滤波器，也适合有耗的滤波器，其次提出了一种简单而高效的目标函数，新的目标函数对初值敏感度低，优化速度快，这种方法能应用于级联型以及交叉耦合型的耦合谐振滤波器的参数提取，最后的例子证明了此方法的有效性。

1.介绍

在滤波器的仿真及实物的调试中，往往不能一次性的得到需要的耦合系数及谐振频率，需要不停的“迭代”来得到最优的波形，能够有效的指导调试人员的计算机辅助调试技术是提高效率的一个主要因素。为此，人们提出了各种计算机辅助调试的方法。这些方法基本上可以归为5类。1.耦合谐振滤波器的顺序调谐；2.基于电路模型参数提取的计算机辅助调谐；3.基于输入反射系数的极点和零点的计算机辅助调谐；4.时域调谐；5模糊逻辑调谐。

本文提出的方法可以归类到基于电路模型的参数提取，它的基本原理是：首先将带通滤波器的S 参数归一为低通原型S 参数，再通过一个适当的有理多项式拟合S 参数，柯西法是最常用到的有理多项式拟合方法，该方法通过对精确模型响应有限的抽样，得到一个超定方程。解该方程，即可得到表述滤波器响应的两个多项式P (s ) ，F (s ) 系数，再通过Feld-keller 方程计算出多项式E (s )的系数。

()()()()()()s E s E s P s P s F s F -=-+-*** (1)

然而这种方法至少存在两个缺陷，其一,拟合出来的相位不准，其二，对于有耗的情况，在用Feld-keler 方程求解E(s)的时候并不能保证虚轴两边根的个数一样，也就是不能保证E(s)的最高阶数等于滤波器阶数，这样所得到的耦合矩阵及谐振频率并不准确。本文在柯西法的基础上提出了一种新的多项式拟合方法，能很好的解决这两个问题，下文称之为改进柯西法。得到E ，F ，P 以后就可以通过综合或者优化的方法提取耦合矩阵及谐振频率，本文应用单纯型法优化耦合矩阵，提出了一种新的目标函数，能够快速而精确的得到最优解。

2.滤波器模型及分析

图1 有限Q 值谐振腔滤波器等效电路模型

微波滤波器有各种实现形式，而它们都可以通过传输函数S21和反射函数S11来表示，图1为有限Q 值微波谐振滤波器的等效电路模型，根据Kirchhoff 沿环路电压之和为零的定理，我们可以得到电路矩阵方程：

[][][][][]e j I Z I M jR jR U -=⋅=⋅+--''ω

(2)

其中，U 为单位阵，R 表示的矩阵中，除了111R r =，2R r NN =，其余元素均为零，

),,('21n r r r diag R ⋅⋅⋅=。M 是一个以ij m 为元素的对称矩阵，称为归一化的耦合矩阵。

[][]T

N N k i i i i i I 121-= 为电流向量，[][]T e 0001 =为激励向量，

[]Z 为等效的阻抗矩阵。我们所要提取的电路参数就在M ，R 和'R 矩阵中，其中M 对应实

际电路中的耦合系数，R 对应输入输出端的外在品质因数，'

R 对应腔体的无载Q 值。 我们可以看出电流向量[]I 可以表示为： [][][]e Z

j I ⋅-=-1

(3)

于是整个电路的S 参数就可以表示为：

[]

1121212122N N Z R R j i R R S --==

(4)

[]

111

111112121-+=-=Z

jR i R S

(5)

对于二端口网络，其散射系数有理多项式可表示为： )

()

()(21s E s P s S =

(6) )

()

()(11s E s F s S =

(7) 其中∑==⋅=

nz

k k k

k

s p

s P 0

)(，∑==⋅=n k k k

k s f s F 0

)(，∑==⋅=n k k k k s e s E 0

)(，n 为滤波器阶数，nz 为有

限频率传输零点个数。

从滤波器实测响应取N 个样点，建立方程组求解多项式F ，P 的系数k f 和k p ，方程组用矩阵表示如下:

[]01121=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p f M p f V S V S nz n

（8）

其中：[]T

n f f f f ,,,10 =，[]T

n p p p p ,,,21 =，(){}N i i s S diag S ,,2,11111 ==，

(){}N i i s S diag S ,,2,12121 ==。i i j s ω=，m V 为范德蒙德矩阵，其元素为

()N i n k j v k i k i ,,2,1;1,,2,1,1

, =+==-ω。需注意的是（8）要有解的必要条件是

1++≥nz n N 。

对于无耗的情况，可以通过Feld-keller 方程计算出多项式E (s )的系数，如果网络有耗，求得的E (s )的根可能会小于滤波器的阶数，这里我们改用最小二乘法来求解E (s )。

(7)式可以改写为：

∑==⋅==

n

k k k k s e s S s F s E 0

)(11)

()( （9） 通过最小二乘法可以求得m H

n n H n E V V V e **)*(1-=，其中)

(11)

()(k k m s S s F k E =

，

N k ,,2,1 =，[]T

n e e e e ,,,10 =。

我们以一4阶级联型Chebyshev 滤波器为例说明上述方法的有效性并与柯西法作对比。

图2. 4阶Chebyshev 滤波器

柯西法 改进柯西法

E(s)

F(s)

P(s)

E(s)

F(s)

P(s)

0s 0.572 - 0.495i 0.056 - 0.005i 0.754 + 0.002i -0.111 - 0.748i 0.056 - 0.005i

0.002 - 0.754i

1s 1.527 - 1.332i -0.002 - 0.129i -0.309 - 1.988i -0.002 - 0.130i 2s 2.209 - 1.615i 0.305 - 0.009i -0.177 - 2.771i 0.305 - 0.009i 3s 1.950 - 1.020i 0.003 - 1.025i 0.175 - 2.186i 0.003 - 1.025i

4s

1.0000

1.0000

0.533 - 0.883i

1.0000

表1. S 参数有理多项式拟合系数