Bayes分析中的多源信息融合问题

第12卷第1期2000年1月

系统仿真学报

JOURNA L OF SYSTEM SIMU LATION

Vol.12No.1January ,2000

文章编号:10042731X (2000)012005424

B ayes 分析中的多源信息融合问题

张士峰,蔡　洪

(国防科技大学自动控制系,长沙　410073)

收稿日期:1998208217

摘　要:在Bayes 小子样理论中,验前分布的获取与表示是一个关键问题。本文对验前样本和现场子样服从同一总体分布情况下的经典统计方法和Bayes 方法进行了比较。然而在工程实践的大多数情况中,验前样本和现场子样并不完全属于同一总体分布。本文推导了异总体情况下最佳验前数据量,讨论了多源异总体信息融合问题。仿真结果表明了方法的有效性。

关键词:Bayes 估计;验前分布;最佳验前数据量;信息融合中图分类号:O29:TN911.2 文献标识码:A

Fusion of Information of Multiple Sources in B ayesian Analysis

ZHA N G S hi 2f eng ,CA I Hong

(Department of Automatic Control ,National University of Defense Technology ,Changsha 410073,China )

Abstract :How to acquire proper prior distribution is a key problem in Bayesian analysis.This paper compares the classical statistical method with Bayesian method under the condition that the prior data and the testing data are the same distribu 2tion.However ,the prior data and the testing data are not the same distribution in many actual cases.The paper also gives the best volume of the prior data ,and discusses the fusion of information of multi p le sources.The simulation shows that the method proposed in this paper is effective.

K eyw ords :Bayesian estimation ;prior distribution ;best volume of the prior data ;information fusion

1　问题的提出

由于高新技术的采用,试验中设备和手段的进步和多样化,使试验信息具有多种信息源,且各信息源情况各异,在统计学上不属于同一总体。在利用Bayes 小子样理论对飞行器试验进行鉴定和精度分析过程中,为了尽可能少做现场试验,必须充分利用各种验前信息。而这些验前信息是在不同试验条件下所获得的,如何合理地利用这些多源验前信息给出验前分布,是Bayes 方法应用中急待解决的一个问题。

计算机仿真技术是获得验前数据的一个重要手段,仿真模型在经过模型验证、信度检验后便被用来模拟真实系统,产生验前数据。通过计算手段,理论上可以产生无穷多个验前数据,那么我们是否可以利用所有这些数据结合现场子样来进行Bayes 分析呢?下面将逐步讨论这些问题。

2　同总体情况下B ayes 方法和经典方法的比

较

考虑再入飞行器的落点密集度D 的估计问题。

假设验前落点偏差子样为

x (0

)

i ,i =1,…,m ,现场试验

子样x j ,j =1,…,n ,且两种子样服从于同一分布N (μ,D ),μ、D 均为未知。

如果假设(μ,D )的验前密度为共轭分布族正态逆G am 2

ma 分布密度,当获得样本X =(x 1,…,x n )后,令

t =

∑n

i =1

(x

i

-x )2

,x =

1n

∑n

i =1

x

i

(1)

则(x ,t )为(μ,D )的充分统计量。

μ的极大似然估计为x ,当给定μ=x 时,将其代入π(x ,t |μ,D )π(D ),得到D 的验后似然函数为:

π(D |X )=g (D ,α1,β1)

(2)

g (D ,α1,β1)=α1β

1Γ(β1

)D -(β1

+1)

e

-α1

/D ,D >0,α1>0,β1>0(3)

其中

α1=α0+t 2　β1=β0+n

2

这里α0、β0、

为验前参数,α0=12∑m i =1(x (0)i -x (0))2,x (0)

=1m ∑m i =1x (0)i

β0=m

2

这里采用平方误差损失函数,则D 的经验Bayes 估计为

D ^

b

=E[D |X ]=

α1β1

-1=1m +n -2(S 21+S 2

2)(4)其中

S 2

1=

∑m

i =1

(x (0

)

i

-x

(0)

)2

S 22=

∑n i =1

(x

i

-x )

2

另一方面,如果利用经典统计方法,把仿真信息及特殊试验条件下的折合信息一起当作现场子样进行估计,则可得

D 的估计为

^D c =

1m +n -1

(S 23+S 2

4)

(5)

其中

S 2

3=∑m

i =1

(x (0

)i

-x t )2

S 24=∑n i =1

(x

i

-x t )2

x t =

1m +n

∑

m i =1

x (0

)i +

∑n

i =1

x

i

从经典统计的观点出发来评价估计的好坏,这时把D

看作常量,引入了指标V =E (^D -D )

2

D 2

,^D b 、^D c 均为D 的无

偏估计,即E[^D b ]=E[^D c ]=D 。

通过计算可得

V b =

E (^D b -D )

2

D 2=

2m +n -2

(6)V c

=

E (^D c -D )2

D 2

=

2m +n -1

(7)

从V b >V c 之差作为比较的标准,经典估计优于Bayes 估计。但在实际工程中,试验情况各异,验前数据和现场试验数据不可能严格服从同一总体分布。

3　异总体情况下B ayes 分析及最佳验前数据

量问题

假设验前数据x (0)

i ,i =1,…,m 是仿真信息或通过信

息转换折合到全程的验前数据,服从于分布N (μ1,D 1),现场试验数据x j ,j =1,…,n 服从于N (μ2,D 2)。

定义λ1=

(μ1-μ2)

2

D 2,λ2=D 1D 2

(8)

为验前数据的质量因子,表征了验前数据总体和现场试验数据总体的差异程度。

在进行Bayes 分析时,一般情况下,我们总是在一定可信度下检验了验前数据和现场数据相容后,忽略了验前总体和现场总体的微小差异,此时D 的Bayes 估计仍为

D ^

b

=E[D |X ]=

α1β1

-1=1m +n -2(S 21+S 2

2)(9)但

V b

=

E (^D b -D 2)2

D 2

=(m 2-1)λ22+(m -1)2-2+2n -2(m -1)2

λ2(m +n -2)

2

(10)

当λ2=1时,V b =

2

m +n -2和(2)中的相同;

当m 、n 固定时,令dV b d λ2=0,可得^λ2=m -1

m +1,当m →∞时,^λ2=1使V b =min ;

当n 、λ2固定时,令

dV b

dm

=0,可得:^m =6n -2λ2

2-4n λ2-6+4λ2

2n λ22+2n -4n λ2-4λ2

2+4λ2-2

(11)

注意,当λ2=0时,^m

=3,^D b =1

n +1S 22

,它是损失函数为L (θ,δ

)=δ-D

D

2

时的Minimax 估计。

当n =6时,^m =

30-2λ2

2-20λ2

8λ2

2-20λ2+10

(λ2≤1),有表1成立。表1　n =6时,λ2和^m

、V b 的关系λ2

0.10.20.30.40.50.60.650.680.69

^m 3.54.156.69.7519.642.5156∞

V b

0.269

0.250

0.2291

0.2054

0.1773

0.1414

0.1184

0.1021

表1中,当0169≤λ2≤1时,^m 为∞,而V b =(λ2-1)2

。

取m 0=[^m ]为不超过^m 的整数部分,则称m 0为最佳验前数据量。m 0的含义是当验前数据的个数m 小于m 0时,继续增加验前数据的个数将改进估计的性能;当验前数据的个数m 等于m 0时,继续增加验前数据的个数将对估计问题产生不好的影响,即m 0为在验前总体和现场总体存在差异时对验前数据个数的最大容忍限。

这里可以看出,仿真数据虽然可以产生无穷多,但它的

分布总体和现场试验数据的分布总体存在着差异,不能够无限制的利用这些数据来求取验前分布,否则验前数据会对

Bayes 决策起关键作用,而忽略现场试验数据的影响。

在实际工程应用中,λ1和λ2均为未知,可用下列估值来代替

λ1=

(x (0)-x )2

^D b

(12)

・

55・第12卷1期

张士峰等:Bayes 分析中的多源信息融合问题