构造法证明不等式
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【KEYWORDS】Constructing method；Structural thought；model.
目 录
3.4构造图形
3.5构造对偶式
3.6构造复数
3.7加强命题证明不不等式
3.8构造不等式
1构造法概述
1.1构造法的含义
如何界定构造法？关于构造法，目前主要是从两个方面来理解。从宏观方面来说数学构造法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。 从这个定义出发，构造法就有了有限性、能行性的规定。数学分析中，诸如有界数列必有收敛子列，连续函数介值定理的证明所用的方法都不能算作构造法，因为它们都违背了构造法的有限性的原则。从微观方面来说，构造法是根据所要解决的具体问题，展开联想，有针对性的构造某种切合数学问题的模型，进而寻找到问题解决的途径。综上所述，我比较倾向于以下的理解，无论是数学体系的构建，如现在盛行的公理化方法，还是具体问题，构造法就是根据问题的典型特征，或选择具有相容性的，不言自明的公设，推导出一整套数学；或是以问题所给条件，结论为元件，发现问题各个环节的联系，从而形成数学模型，达到解决问题的目的。
2.2如何构造模型
直到1967年，数学家比肖泊的书出版，宣告从此构造法进入“现代构造数学”阶段.随着计算机的出现，构造数学派上了大用场。吴文俊院士说，由于计算机的发展，构造性数学在不远的将来获得大的发展，甚至成为数学的主流。
1.3构造法解题遵循的原则
构造法具有简明、精巧、新颖等特点，使思维突破常规，获得发展，富有创造性。中学几何中，作辅助线、因式分解中加项减项就是最生动的体现。一个问题，如能找到合适的数学模型，常常可以缩短思维过程。但是应当看到，任何事物都有两面性。构造法并不是万能的。由于构造法具有极强的针对性，往往是一题一构造，适用性并不强。其次不必过分追求高技巧，为构造而构造。题目该怎么解就怎么解，以自然为上，要像“呼吸一样自然”。运用构造法证明不等式，主要有以下步骤：
构造法证明不等式
编号：
本科毕业设计（论文）
题目：构造法证明不等式
Constructing method to prove inequality
摘 要
【摘要】1978年，《参考消息》第四版刊载了当年在布加勒斯特举行的第二十届国际数学奥林匹克竞赛题。由此，国内数学教育界才第一次知道，世界上有“国际奥林匹克竞赛”（陈计、叶中豪《初等数学前沿》）。加之时代因素，由这则小消息作为发端，国内数学界形成了一波研究数学竞赛，研究初等数学的高潮。四十多年来，对这两者的研究延续不断，可谓方兴未艾。作为一种极富创新精神的方法，构造法被广泛的运用于中学数学竞赛的各个部分。而构造法在证明不等式方面，其独创性和巧妙性往往让人叹为观止。仅仅在国内，每年都有数以百计的关于构造法解题的论文涌现，可见这一方法的吸引力之大。
This article altogether is divided into three chapters. First chapter is to outline of construction method, which tells the structure thought and method of history and the study of the thought and method at home and abroad present situation, points out that the construction should follow the rules to solve problems. The second chapter is the key, of constructing method to prove inequality of basic mathematical model, and combining the math competition, the university entrance exam of many examples, to experience the enchantment of the construction method from them to see the beauty of math. The third chapter is epilogue. Contrast to nearly three decades of literature, the innovation of this paper lies in that will strengthen the proposition to prove inequality as a new model of constructing method to prove inequality made some exploration, discussed the tectonic process made the corresponding thinking, the germinal tectonicthinking process of certain models to give more detailed analysis.
据说，在西方，除了《圣经》之外，出版次数最多，流传最广的书就是欧几里得的《几何原本》，这是体现公理化思想的典范。《原本》是一部精致的借助演绎推理的系统。从它最初的定义、公设、公理出发，一步步推出了大量的，很不显然的几何定理（张景中《数学与哲学》）。对欧几里得第五公社的研究使数学家们认识到，作为公理化方法最原初的公设，可以是构造的，甚至不必是“真理”，只要不违反公理选择的独立性原则、相容性原则、协调性原则，就可以建立一整套数学。换言之，公设在上述前提下是可自由选择的，即存在很大的构造性。这种认识在欧几里得之前是不可思议的。这是个巨大的进步这大大解放了数学家的思想。
此后，数学得到了长足的发展——非欧几何的建立、康托集合的诞生。19世纪末，20世纪早期，人们竟然发现可以从被数学家广泛接受的，作为数学基础的康托集合论推出矛盾。1919年，著名哲学家兼数学家罗素以通俗化的语言描述了这一悖论，即为罗素悖论。这引起了一大批富于才华的数学家对数学基础的研究。并形成了三大数学学派。即以罗素为代表的逻辑主义学派，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义派和以荷兰数学家兼哲学家布劳威尔为代表的直觉主义派。罗素本人在《数学原理》中用构造层次论建立起宏大的数学基础，避开了逻辑上的缺陷。但是这个系统太复杂，数学们希望找到更简明的数学理论作为数学基础。将构造思想发展到极致的是布劳威尔，他否认排中律，主张一切数学对象必须能像自然数那样能被在有限步骤内构造出来才可以认为是存在的，这就是著名的“存在必须被构造”。布劳威尔在自己观点的指导下建立了构造性数学，构造性，构造性实数，构造性集合，构造性微积分。但是由于直觉主义学派否认排中律，即否认反证法，大部分已知的数学必须被抛弃，数学家并不接受。
1.2构造法历史
可以说，构造思想伴随着数学产生。古代中国，曾在数学上取得辉煌的成就。而取得这些成就的方法，多是构造性方法。我国因研究机械证明而享誉国际的数学家吴文俊院士指出，中国古代数学是构造性数学，在每一个问题中都力图给出构造性解答（张景中《数学与哲学》）。在西方，毕达哥拉斯学派的一名成员帕索斯根据该数学学派所发现的毕达哥拉斯定理，构造出一个直角边长都是自然数“ ”的等腰直角三角形，从而发现了不可公度量 。这直接导致该学派“万物皆为数”这一信条的破灭，使人们对数的认识得到第一次深化。这即是第一次数学危机。随后，在希腊数学家欧几里得之前，人们并不知道素数是否有无穷多个。欧几里得对这个问题给出肯定的回答。他的证明是这样的。假设素数只有有限个： 。接着他构造了一个数
【关键词】构造法；构造思想；模型。。
英文题目Constructing method to prove inequality
Abstract
【ABSTRACT】
In 1978, the fourth edition of the references published in those days the twentieth international mathematicalOlympiad in Bucharest contest questions.thus,Domestic mathematics education to know for the first time, there are "of the international Olympic competition" in the world (Chen meter, Ye Zhonghao the frontiers of elementary mathematics). Combined with the age factor, by the small message as a start, formed a wave study maths at home, the climax of elementary mathematics research. For more than forty years, the study of the two prolonged, just. As a kind of innovative method, structure method is widely used different parts of the secondary school mathematics competition. And constructing method toprove inequality in terms of its originality and clever tend to surprise. Just at home, every year hundreds of papers about construction method of problem solving, visible appeal of this method.
如果 是素数，很明显，这个素数不同于已知的 个素数中的任何一个，而 将所有的素数囊括尽净，这说明我们假设是错误的；如果 是合数，则它可以被小于它自身的素数整除，由假设可知，这样的素数必然是 中的某一个 。但是 ，这表明，自然数1可以被大于1自身的某个素数整除，这同样是荒谬的。这样就证明了素数有无穷多个。从欧几里得的证法我们不难看出构造法在其中的运用。
本文一共分为四章章。第一章对构造法进行概述，即讲述了构造思想及构造法的历史和目前国内外对这一思想与方法的研究现状，指出构造法解题所应遵循的规则。第二章则是构造法解题的模型概述，比较全面的总结了构造法证明不等式的基本数学模型，对模型产生的思维过程进行剖析。第三章结合数学竞赛、高考的众多实例对各个模型进行说明，对一些问题给出新的解答，从中体会构造法的迷人之处，窥见数学之美。第三章四章是结语。对比近三十年的文献，本文的创新之处在于将加强命题证明不等式作为构造法证明不等式的一种新模型作了一些探索，对思维构造过程作了相应论述，对某些模型的构造思维生发过程给予比较细致的剖析。
（1）仔细审题。单遵教授说拿到题目的第一步就是仔细阅读题，理解题意。能在短时间内通过自己的理解强记题目（《解题研究》）
（2）仔细分析题目各个环节之间的联系，展开联想，转化为熟知的问题。
（3）根据已知解。
2模型概述
2.1模型归纳
和中学数学其他知识点相比，不等式证明手段千变万化，充满奇思妙想，极富数学美，构造法集中体现了这一点。而对数学美的追求又常常反过来帮助我们发现更美的解法。运用这一方法需要构造一些数学模型。常见有构造函数、方程、数列、不等式、对偶式、几何图形、复数、向量、二项式。参照以往文献，我认为，加强命题是一种强有力的模型，加强命题就是把命题转化为更强的命题，使得问题明朗化。
目 录
3.4构造图形
3.5构造对偶式
3.6构造复数
3.7加强命题证明不不等式
3.8构造不等式
1构造法概述
1.1构造法的含义
如何界定构造法？关于构造法，目前主要是从两个方面来理解。从宏观方面来说数学构造法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。 从这个定义出发，构造法就有了有限性、能行性的规定。数学分析中，诸如有界数列必有收敛子列，连续函数介值定理的证明所用的方法都不能算作构造法，因为它们都违背了构造法的有限性的原则。从微观方面来说，构造法是根据所要解决的具体问题，展开联想，有针对性的构造某种切合数学问题的模型，进而寻找到问题解决的途径。综上所述，我比较倾向于以下的理解，无论是数学体系的构建，如现在盛行的公理化方法，还是具体问题，构造法就是根据问题的典型特征，或选择具有相容性的，不言自明的公设，推导出一整套数学；或是以问题所给条件，结论为元件，发现问题各个环节的联系，从而形成数学模型，达到解决问题的目的。
2.2如何构造模型
直到1967年，数学家比肖泊的书出版，宣告从此构造法进入“现代构造数学”阶段.随着计算机的出现，构造数学派上了大用场。吴文俊院士说，由于计算机的发展，构造性数学在不远的将来获得大的发展，甚至成为数学的主流。
1.3构造法解题遵循的原则
构造法具有简明、精巧、新颖等特点，使思维突破常规，获得发展，富有创造性。中学几何中，作辅助线、因式分解中加项减项就是最生动的体现。一个问题，如能找到合适的数学模型，常常可以缩短思维过程。但是应当看到，任何事物都有两面性。构造法并不是万能的。由于构造法具有极强的针对性，往往是一题一构造，适用性并不强。其次不必过分追求高技巧，为构造而构造。题目该怎么解就怎么解，以自然为上，要像“呼吸一样自然”。运用构造法证明不等式，主要有以下步骤：
构造法证明不等式
编号：
本科毕业设计（论文）
题目：构造法证明不等式
Constructing method to prove inequality
摘 要
【摘要】1978年，《参考消息》第四版刊载了当年在布加勒斯特举行的第二十届国际数学奥林匹克竞赛题。由此，国内数学教育界才第一次知道，世界上有“国际奥林匹克竞赛”（陈计、叶中豪《初等数学前沿》）。加之时代因素，由这则小消息作为发端，国内数学界形成了一波研究数学竞赛，研究初等数学的高潮。四十多年来，对这两者的研究延续不断，可谓方兴未艾。作为一种极富创新精神的方法，构造法被广泛的运用于中学数学竞赛的各个部分。而构造法在证明不等式方面，其独创性和巧妙性往往让人叹为观止。仅仅在国内，每年都有数以百计的关于构造法解题的论文涌现，可见这一方法的吸引力之大。
This article altogether is divided into three chapters. First chapter is to outline of construction method, which tells the structure thought and method of history and the study of the thought and method at home and abroad present situation, points out that the construction should follow the rules to solve problems. The second chapter is the key, of constructing method to prove inequality of basic mathematical model, and combining the math competition, the university entrance exam of many examples, to experience the enchantment of the construction method from them to see the beauty of math. The third chapter is epilogue. Contrast to nearly three decades of literature, the innovation of this paper lies in that will strengthen the proposition to prove inequality as a new model of constructing method to prove inequality made some exploration, discussed the tectonic process made the corresponding thinking, the germinal tectonicthinking process of certain models to give more detailed analysis.
据说，在西方，除了《圣经》之外，出版次数最多，流传最广的书就是欧几里得的《几何原本》，这是体现公理化思想的典范。《原本》是一部精致的借助演绎推理的系统。从它最初的定义、公设、公理出发，一步步推出了大量的，很不显然的几何定理（张景中《数学与哲学》）。对欧几里得第五公社的研究使数学家们认识到，作为公理化方法最原初的公设，可以是构造的，甚至不必是“真理”，只要不违反公理选择的独立性原则、相容性原则、协调性原则，就可以建立一整套数学。换言之，公设在上述前提下是可自由选择的，即存在很大的构造性。这种认识在欧几里得之前是不可思议的。这是个巨大的进步这大大解放了数学家的思想。
此后，数学得到了长足的发展——非欧几何的建立、康托集合的诞生。19世纪末，20世纪早期，人们竟然发现可以从被数学家广泛接受的，作为数学基础的康托集合论推出矛盾。1919年，著名哲学家兼数学家罗素以通俗化的语言描述了这一悖论，即为罗素悖论。这引起了一大批富于才华的数学家对数学基础的研究。并形成了三大数学学派。即以罗素为代表的逻辑主义学派，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义派和以荷兰数学家兼哲学家布劳威尔为代表的直觉主义派。罗素本人在《数学原理》中用构造层次论建立起宏大的数学基础，避开了逻辑上的缺陷。但是这个系统太复杂，数学们希望找到更简明的数学理论作为数学基础。将构造思想发展到极致的是布劳威尔，他否认排中律，主张一切数学对象必须能像自然数那样能被在有限步骤内构造出来才可以认为是存在的，这就是著名的“存在必须被构造”。布劳威尔在自己观点的指导下建立了构造性数学，构造性，构造性实数，构造性集合，构造性微积分。但是由于直觉主义学派否认排中律，即否认反证法，大部分已知的数学必须被抛弃，数学家并不接受。
1.2构造法历史
可以说，构造思想伴随着数学产生。古代中国，曾在数学上取得辉煌的成就。而取得这些成就的方法，多是构造性方法。我国因研究机械证明而享誉国际的数学家吴文俊院士指出，中国古代数学是构造性数学，在每一个问题中都力图给出构造性解答（张景中《数学与哲学》）。在西方，毕达哥拉斯学派的一名成员帕索斯根据该数学学派所发现的毕达哥拉斯定理，构造出一个直角边长都是自然数“ ”的等腰直角三角形，从而发现了不可公度量 。这直接导致该学派“万物皆为数”这一信条的破灭，使人们对数的认识得到第一次深化。这即是第一次数学危机。随后，在希腊数学家欧几里得之前，人们并不知道素数是否有无穷多个。欧几里得对这个问题给出肯定的回答。他的证明是这样的。假设素数只有有限个： 。接着他构造了一个数
【关键词】构造法；构造思想；模型。。
英文题目Constructing method to prove inequality
Abstract
【ABSTRACT】
In 1978, the fourth edition of the references published in those days the twentieth international mathematicalOlympiad in Bucharest contest questions.thus,Domestic mathematics education to know for the first time, there are "of the international Olympic competition" in the world (Chen meter, Ye Zhonghao the frontiers of elementary mathematics). Combined with the age factor, by the small message as a start, formed a wave study maths at home, the climax of elementary mathematics research. For more than forty years, the study of the two prolonged, just. As a kind of innovative method, structure method is widely used different parts of the secondary school mathematics competition. And constructing method toprove inequality in terms of its originality and clever tend to surprise. Just at home, every year hundreds of papers about construction method of problem solving, visible appeal of this method.
如果 是素数，很明显，这个素数不同于已知的 个素数中的任何一个，而 将所有的素数囊括尽净，这说明我们假设是错误的；如果 是合数，则它可以被小于它自身的素数整除，由假设可知，这样的素数必然是 中的某一个 。但是 ，这表明，自然数1可以被大于1自身的某个素数整除，这同样是荒谬的。这样就证明了素数有无穷多个。从欧几里得的证法我们不难看出构造法在其中的运用。
本文一共分为四章章。第一章对构造法进行概述，即讲述了构造思想及构造法的历史和目前国内外对这一思想与方法的研究现状，指出构造法解题所应遵循的规则。第二章则是构造法解题的模型概述，比较全面的总结了构造法证明不等式的基本数学模型，对模型产生的思维过程进行剖析。第三章结合数学竞赛、高考的众多实例对各个模型进行说明，对一些问题给出新的解答，从中体会构造法的迷人之处，窥见数学之美。第三章四章是结语。对比近三十年的文献，本文的创新之处在于将加强命题证明不等式作为构造法证明不等式的一种新模型作了一些探索，对思维构造过程作了相应论述，对某些模型的构造思维生发过程给予比较细致的剖析。
（1）仔细审题。单遵教授说拿到题目的第一步就是仔细阅读题，理解题意。能在短时间内通过自己的理解强记题目（《解题研究》）
（2）仔细分析题目各个环节之间的联系，展开联想，转化为熟知的问题。
（3）根据已知解。
2模型概述
2.1模型归纳
和中学数学其他知识点相比，不等式证明手段千变万化，充满奇思妙想，极富数学美，构造法集中体现了这一点。而对数学美的追求又常常反过来帮助我们发现更美的解法。运用这一方法需要构造一些数学模型。常见有构造函数、方程、数列、不等式、对偶式、几何图形、复数、向量、二项式。参照以往文献，我认为，加强命题是一种强有力的模型，加强命题就是把命题转化为更强的命题，使得问题明朗化。