基础物理学第二十五章量子力学基础

实物粒子的能量：
Em2ch
实物粒子的动量：
pBaidu Nhomakorabea mv h
以上两式称为 德布罗意公式 或 德布罗意假设。
实物粒子波动性的实验证据
(1) 戴维孙—革末（美国）通过电子在晶体表面的散射实 验得到了与X射线衍射相似的电子衍射图象。（1927年）
电子在单晶金上的衍射图象 电子在金—钒多晶上的衍射图象
(2) 汤姆孙（英国）通过电子在多晶膜上的透射得到了环 状的电子衍射图象。（1927年）
例题1： 一实物粒子的质量m=1×10–9kg，速率v=1×10–6m/s。
（例25-1）
求该粒子的德布罗意波长。
h pm h ( v 1 1 6 .6 9 0 )3 1 1 ( 3 1 04 6 0 ) 6 .6 3 1 1 0 m 9
例题2： 求电子经U1 = 100 V 和 U2 = 10000 V 电压加速后的德
可见，氢原子处于基态时的德布罗意波长正好等于氢原子 第一玻尔轨道的周长！
由德布罗意假设可得到玻尔氢原子模型中的量子化条件：
或：
2rnnhn h
p mv
mv n r2h n n1,2,3,
n=3
可见：德布罗意波的驻波条件就是玻尔氢原子理论的角动 量量子化条件。
利用电子的波动性可制成分辨率极高的电子显微镜。
布罗意波长。
不考虑相对论效应时：
2 1m 2 v eU v2 m eU v v1 2 5 5 ..9 9 3 6 1 16 70 m 0 m s s((U U 1 2 1 1V 0 0)V 0 0 ) 0
电子的德布罗意波长：
h
mv
2ehmU 1 2 1 1.2 .3 2n n 3m m
光的圆孔衍射图象
电子穿过金箔的衍射图象
(3) 约恩孙从电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验证 实了电子也具有波动性。
约恩孙电子电子双缝、四缝衍射图象 以后的实验还证实了中子、质子以及原子等都具有波动性。
由德布罗意公式，实物粒子波动性的频率和波长分别为：
E, h
h
p
由于普朗克常量如此的小（~10–34），使宏观粒子波动 性（物质波）的频率如此的高、波长如此的短。所以宏 观粒子的波动性显现不出来，但微观粒子的波动性却相 当显著。
4h
2
不确定关系揭示了一条重要的物理规律： 微观粒子在客观上不能同时具有确定的坐标和确定的动量。
当：Δx→∞时，Δpx→0，如：光的直线传播原理。 当：Δx→0时，Δpx→∞，这说明单缝越窄则衍射越明显。
注：由于h是一个极小的物理量，所以对宏观粒子，不确 定关系是察觉不到的。
例题4： 设子弹质量m=0.01kg，枪口直径0.5cm，由不确定
U2=104V时，v=0.2c。若考虑相对论效应，则λ2有3%的误差。
例题3：
（例25-2） 求氢原子中基态电子的德布罗意波长。
低能时可不计相对论效应，所以氢原子中基态电子
的动能为：
E k2 1m2v 2 p m 2 p2mkE
h
h
hc
p 2mkE 2m2cEk
h 1 ce 2 n V 4 ,m 0 m 2 0 .5 cM 11 eV
★波动理论： 条纹的明暗表示光强的分布。
s1
s s2
★光子理论：
明暗条纹的分布表示到达屏上光子数的 分布。
s1
s s2
对单个光子而言，它落在屏幕上的哪一点是不确定的（见 图25-5），但大量光子到达屏幕上的位置符合一定的概率 统计规律。
s1 s
s2
因此，从光子概念出发，光是概率波。
光子和电子穿过双缝时的衍射实验结果
x px 2
y py 2
z pz 2
2h 1.05 416 034Js
上式称为海森堡坐标和动量的不确定关系。 其意义是：微观粒子不可能同时具有确定的位置和动量。
利用电子的单缝衍射对不确定关系的简单证明：
设一束动量为p 的电子垂直入射在宽
为Δx的单缝上。
x
x 方向的位置不确定量为Δx。
第25章 量子力学基础
★玻尔的氢原子理论缺 陷 ★对原子光谱的进一步研究应建立了更为严格的量子物理。
本章主要内容：
1、实物粒子的波粒二象性； 2、不确定关系； 3、波函数、薛定谔方程及其应用。
§25-1 德布罗意假设、实物粒子
的波粒二象性
1、德布罗意假设：
1924年德布罗意（法国）从对称性出发，将光的波粒二象 性推广到了所有的实物粒子，认为实物粒子也具有波动性， 称为德布罗意波或物质波。
1240 1.22(n 6m )
20.51 1160 E k E k
例题3：
（例25-2） 求氢原子中基态电子的德布罗意波长。
氢原子处于基态时的轨道半径 r = 0.529 Å = 0.0529 nm。
Ek
e2
80r
13.6eV
1 .22 (n6 )m 0 .33 (n2 )m 2 0 .05 (n 2)m 9 1.6 3
动量的 x 分量 px≠0。
若忽略次极大，则：0pxpsin1 φ1 为半角宽度： xsin1
px
p
φ1
Δx
0pxpsin1
xsin1
所以，电子在 x 方向的动量不确定量为：
p xpsi1 n p x h x h x
即：
xpx h
x
px
p
φ1
Δx
若考虑次极大，则：
xpx h
更为精确的理论证明：
xpx
光学显微镜与电子显微镜成像比较
光学显微镜的最大放大倍数只有1000倍左右，最大分辨距离约为 0.2μm；而电子显微镜当加速电势差达到10万伏特时，电子波的波 长只有0.004μm，比可见光短10万倍左右。
2、德布罗意波（物质波）的统计解释）：
1926年，玻恩（德国）指出德布罗意波是概率波。
光的双缝干涉的二象性解释：
关系估算子弹射出枪口时的横向速度。
按题意，设Δx = 0.5 cm。
由不确定关系：
xpxxm vx 24 h
vx4m hx1.0 51 0 30m s
可见：Δvx 远小于子弹的飞行速度（几百米/秒），所以
由于微观粒子也具有波粒二象性，所以与微观粒子相对 应的德布罗意波（物质波）也应该是概率波。
电子逐个穿过双缝时的衍射实验结果
§25-2 不 确 定 关 系
★牛顿力学认为：任意时刻质点具有确定的位置和动量。 ★量子力学认为：因而粒子在任意时刻不具有确定的位 置和动量。
1927年海森堡（德国）根据量子力学证明微观粒子位置的 不确定量和动量的不确定量之间的关系为：