导数的运算法则及复合函数的导数 课件

题型二 求复合函数的导数 【例 2】 求下列函数的导数．
(1)y＝ 1－1 2x2； (2)y＝e2x＋1； (3)y＝( x－2)2； (4)y＝5log2(2x＋1)． [思路探索] 可分析复合函数的复合层次，再利用复合函数的 求导法则求解．
(2)y＝eu，u＝2x＋1， ∴y′x＝y′u·u′x＝(eu)′·(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.
复合函数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x) 的求导法 的导数间的关系为yx′＝ yu′·ux′，即y对x的导
则 数等于 y对u的导数与u对x的导数的乘积 .
想一想：若复合函数y＝f(g(x))由函数y＝f(u)，u＝g(x)复合而成， 则函数y＝f(u)，u＝g(x)的定义域、值域满足什么关系？ 提示 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y ＝f(u)的定义域的子集．
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x
＋11.
(3)y′＝x＋3′x2＋3x2＋－3x＋2 3x2＋3′＝－xx22－＋63x＋2 3.
(4)y′＝(xsin
x)′－co2s
x′＝sin
x＋xcos
x－2csoisn2xx.
(5)∵y＝
x5＋
x7＋ x
数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数 乘上分母减去分子乘上分母的导数，再
除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数 的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
(3)法一 ∵y＝( x－2)2＝x－4 x＋4，
∴y′＝x′－(4 x)′＋4′
＝1－4×
＝1－
2 x.
法二 令 u＝ x－2，则 y′x＝y′u·u′x＝2( x－2)·( x－2)′
＝2(
x－2)12·1x－0＝1－
2 x.
(4)设 y＝5log2u，u＝2x＋1，
则 y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝ul1n02＝2x＋110ln 2.
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x·tan x；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝xx2＋＋33；(4)y＝xsin x－co2s x；
(5)y＝
x5＋
x7＋ x
x9；
(6)y＝x－sin2xcos2x.
[思路探索] 可先确定式子的形式，再用基本初等函数的导数公式
第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数
1．导数运算法则
法则 [f(x)±g(x)]′＝
f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′＝ f′(x)·g(x)＋ f(x)·g′(x)
语言叙述
两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差)
两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函
和四则运算法则求解．
解 (1)y′＝(x·tan x)′＝xcsoisn xx′
＝xsin
x′cos
x－xsin cos2x
xcos
x′
＝sin
x＋xcos xcos cos2x
x＋xsin2x
＝sin
xcos x＋x cos2x .
(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
名师点睛 1．运用导数运算法则的注意事项
(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进
行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可． (2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的 和或差，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f1′(x)±f2′(x)±…±f′n (x)． ②[ af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)； ③当 f(x)＝1 时，有g1x′＝－gg′2xx.
(3 分) (4 分)
∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x03－2x0) ＝(3x20－2)(1－x0)．
(6 分)
解得 x0＝1 或 x0＝－12.
(8 分)
故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)． (10 分)
即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
(12 分)
∴k＝x10，kx0＝1＝ln x0. ∴x0＝e，k＝1e. 结合图象知：当 k≤0 或 k＝1e时， 方程 ln x＝kx 有一解． 当 0<k<1e时，方程 ln x＝kx 有两解． 当 k>1e时，方程 ln x＝kx 无解．
方法点评 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义 ，就是曲线 y ＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导 数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某种意义上说，导 数也就是数形结合的桥梁．
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求 y＝sin2x＋3π的 导数，设 y＝sin u，u＝2x＋3π，则 yx′＝yu′·ux′＝cos u·2＝2cos u ＝2cos2x＋π3. (4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写．
【示例】 讨论关于 x 的方程 ln x＝kx 解的个数． [思路分析] 通过求导的方法求出曲线 y＝ln x 与直线 y＝kx 相 切时 k 的值，借助图形回答问题． 解 如图，方程 ln x＝kx 的解的个数就是直线 y＝kx 与曲线 y ＝ln x 交点的个数． 设直线 y＝kx 与 y＝ln x 切于 P(x0，ln x0) ，则 kx0＝ln x0. ∵(ln x)′＝1x，
【题后反思】 点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不 一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交 点，解题时注意不要失解．
方法技巧 数形结合思想在导数中的应用 数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质 和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时， 由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性 质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时， 既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相 辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分 析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之 后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为 简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．
x9＝x2＋x3＋x4，
∴y′＝(x2＋x3＋x4)′＝2x＋3x2＋4x3.
(6)先使用三角公式进行化简，得 y＝x－sin2xcos2x＝x－12sin x， ∴y′＝x－12sin x′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x.
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点， 选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、 差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将函数化简，然后求 导，以减少运算量．
题型三 求导法则的应用 【例3】百度文库求过点(1，－1)与曲线f(x)＝x3－2x相切的直线方程．
[规范解答] 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 k＝y′|x＝x0＝3x20－2(2 分) 故切线方程为 y－y0＝(3x20－2)(x－x0) ① ∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0 ② 又∵(1，－1)在切线上，
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的 导数运算中，不能出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及gfxx′＝ gf′′xx这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求 导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则 中分子上是“－”．
2．复合函数求导 对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x)′＝2cos 2x，而(sin 2x)′≠cos 2x.