第3章 计算机控制基础理论

图3-3 应用零阶保持器恢复的信号
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第3章 计算机控制基础理论
4）零阶保持器特性分析
H 0 (s) =
sin(
零阶保持器的传递函数为
1 − e−Ts s
−j Tω 2
其频率特性为
H 0 ( jω ) =
1 − e − jT ω =T jω
ωT
2 ωT 2
) e
T sin
则幅频特性为
H 0 ( jω ) =
δ T (t ) =
k =−∞
∑ δ (t − kT ) ,
∞
t = kT
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第3章 计算机控制基础理论
采样定理给出了合理选择采样周期的理论指导原则，在计 算机控制系统中对采样周期的选择要折中考虑许多因素。 f s ≥ (5 ~ 10) f max 在实际中，采样频率通常取 ，或者更高。
对于工业过程，总结了如下经验数据可供参考：
第3章 计算机控制基础理论
第3章 计算机控制基础理论
内容提要
3.1 计算机控制系统的信号变换理论 3.2 计算机控制系统的数学描述 3.3 连续系统的离散化方法及特点 3.4 离散控制系统的特性分析 3.5 离散控制系统的根轨迹设计法和频域设计法 3.6 本章小结
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第3章 计算机控制基础理论
3.1 计算机控制系统的信号变换理论
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第3章 计算机控制基础理论
3）z反变换 已知Z变换表达式 F ( z ) ，求相应离散序 列 f (kT ) 或 f * (t ) 的过程称为Z反变换，记为
f (kT ) = Z −1[ F ( z )]
常用的Z反变换方法有长除法、部分分式 法和留数计算法。
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例3-3 求 F ( z ) =
∑
∞
k=0
f ( k T )[ ∫
+∞ −∞
δ (t − k T )e −Ts d t ] =
∑
∞
f ( k T )e − k T s
k =0
第3章 计算机控制基础理论
将采样信号 f * (t )的拉氏变换中包含 eTs 的超越函数定义为一个新的复 变量z，即
z = eTs
则有 s = 1 lnz
T
−1
−2
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(2) 部分分式展开法 例3-2 已知函数 F (s) = s( s + a) ，求 F ( z )
p2 = −a ，则 A1 = 1 A2 = −1 解： F (s) 有两个单极点 p1 = 0 、 、 展开为部分分式之和
a
F ( s) =
F ( z) =
a 1 1 = − s( s + a) s s + a
q =
max min
2n −1
q 是二进制数的最低有效位对应的整量单位。量化过程是一
个小数归整过程，所以量化误差为 ± q
1 2
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3）信号的恢复过程与采样/保持器 信号的恢复过程是从离散信号到连续信号的过 程，是采样过程的逆过程。 由于采样信号仅在采样时刻才有输出值，而在两 个采样点之间输出为零，为了使两个采样点之间的信 号恢复为连续模拟信号，以前一时刻的采样值为参考 基值作外推，使两个采样点之间的值不为零，这样来 近似采样信号。将数字信号序列恢复成连续信号的装 置叫采样保持器。
ω s = 2π f s =
2π T
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对于实际系统，当时 t < 0 根据 δ 函数的性质，有
f (t ) = 0
f * (t ) = f (t ) ∑ δ (t − kT ) = f (t )δ T (t )
k = −∞
∞
(3-2)
式中， δ T (t ) 为理想采样开关的数学模型，
f (t )
f (t )
T
(a) 采样开关
f * (t )
f * (t )
τ
0
1T
2T
3T
4T
5T L
t
0
1T
2T
3T
4T
5T L
t
(b) 连续信号
(c) 采样信号
图3-2 信号的采样过程
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采样开关输入的原信号 f (t )为连续信号，输出的采样信 号f
*
(t ) 是离散的模拟信号。当采样开关的闭合时间很
几点说明：
(1) 任意项 f (kT ) z 具有明确的物理意义： f (kT ) 表示幅值，z的幂次表示该采样脉冲出现的时 刻； (2) 上述求取z变换方法称为单边z变换，当 t < 0 时，f * (t ) = 0 而称
F ( z ) = Z[ f * (t)] =
k =−∞
−k
∑
∞
f (kT ) z − k
温度
10~20s
流量
1~5s
压力
3~10s
液面
6~8s
成分
15~20s
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2）信号的量化 将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 f * (t ) 用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。 执行量 化动作的装置是A/D转换器，把在 f min ~ f max 范围 * 内变化的采样信号 f (t )通过字长为 n 的A/D转换器，变换 成 0 ~ 2n − 1 范围内的某个数字量。 量化单位定义为： − f f
πω ωs πω ωs
相频特性为 ∠H 0 ( jω ) = − T ω + kπ
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Τ
0.637T
H 0 ( jω )
0
− 180o
0.5ω s ωs ∠H 0 ( jω )
2ωs
3ωs
L
ω
图3-4 零阶保持器的幅频特性及相频特性
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3.2 计算机控制系统的数学描述
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2）Z变换的求法 * 求取离散时间函数 f (t )的z变换的三种方法 (1) 级数求和法 例3-1 求单位阶跃函数的Z变换。 解：根据Z变换定义，有
F ( z ) = Z [1(k )] = ∑ z − k
k =0 ∞
= 1 + z + z + L + z−k + L = 1 z = −1 1− z z −1
z z − z − 1 z − e − aT (1 − e − aT ) z −1 = 1 − (1 + e − aT ) z −1 + e − aT z −2
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(3) 留数法 如果函数 F (s) 为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格的真有理分式，则 F (s) 的Z 变换 F ( z )可直接由下式求得
F ( z ) = Z [ f * (t )] = Z [ f ( kT )] = Z [ f (t )] = ∑ f ( kT ) z − k
k =0
∞
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z变换的基本定理 包括线性定理、位移滞后定理、位移超前 定理、初值定理、终值定理、时域离散卷积定 理、复位移定理、复域微分定理和复域积分定 理。可以简化z变换计算和离散控制系统分析。
F(z) = Z[F(s)] = ∑Res[F( p)
i=1 n
1 ] 1− epT z−1 p= pi
= ∑[( p − pi )F( p)
i=1
m
n 1 1 dri −1 1 ] [( p − pi )ri F( p) ]p= p + ∑ ri −1 pT −1 p= pi 1− e z 1− epT z−1 i i =m+1 (r i −1)!dp
T为采样周期，并将 F * ( s) 记为 F ( z ) ，得到离散函数 f * (t ) 的z变换：
* F (z) = Z [ f ( t )] =
∑
∞
f ( kT ) z − k
k =0
(3-5)
F ( z ) 称为离散函数 f * (t )
的z变换，也叫离散拉氏变换或采
样拉氏变换。
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第3章 计算机控制基础理论
为双边z变换，在控制系统中，通常只研究单边z变 换；
第3章 计算机控制基础理论
(3) 如果两个不同的时间函数 f1 (t ) 和 f 2 (t )， f 1 (t ) ≠ f 2 (t ) 但其采样值完全重复, 即
f 1 * (t ) = f 2 * (t )
则 F1 ( z ) = F2 ( z ) ，说明z变换 F ( z )与离散函数 f * (t ) 是 一一对应的，但是 F ( z )与 f (t )之间的对应关系却不唯一。 从这个意义上来说，连续时间函数 f (t )与相应的离散 时间函数 f * (t ) 具有相同的z变换，即
*
*
第3章 计算机控制基础理论
计算机控制系统分析与设计方法分两种。 （1）连续化设计方法：将计算机控制系统视为连续系统，用连续 系统的分析及设计方法进行研究。其基本思想是：当采样频率足够高 时，采样系统近似于连续变化的模拟系统，此时忽略采样开关和保持 器，用s域的设计方法先设计满足性能指标要求的连续控制器，再用s域 到z域的离散化方法求控制器脉冲传函，最后验证，如性能指标不符 合，还需重新设计。 （2）离散化设计方法：其基本思想是：直接在z域中用z域根轨迹 法或频域设计法进行分析，设计出数字控制器，系统控制器的设计和性 能指标的计算都是依据离散控制理论并针对离散时间信号进行的。
*
f (t ) 的只是在采样时刻 kT 与 f (t ) 在 可以看到，经反变换得到 ， 该时刻 f (kT ) 的值相等，而在其他时刻的值可以任意。常用 函数的Z变换列教材表3-2中。
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第3章 计算机控制基础理论
2 线性定常离散系统的差分方程及其求解 1）差分的定义
一阶前向差分的定义为 ∆f (k ) = f (k +1) − f (k ) n阶前向差分的定义为 ∆n f (k) = ∆n−1 f (k +1) − ∆n−1 f (k) 同理， 一阶后向差分的定义为 ∇f (k ) = f (k ) − f (k −1) n阶后向差分的定义为
1．z变换与z反变换 1） z变换的定义 设离散系统的采样信号为
f * (t ) =
∑
∞
f ( kT ) δ ( t − kT )
(3-3) (3-4)
k =0
对上式进行拉氏变换，即得采样信号的拉氏变换
F * ( s ) = L[ f * (t )] = ∫
=
+∞ −∞
f * (t )e −Ts dt
k =0 ∞
(3-1)
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第3章 计算机控制基础理论
从信号的采样过程可知，信号的采样不是取全部 时间上的信号值，而是取某些时刻的值。这样处理是 否会造成信号的丢失呢？ 香农（Shannon）采样定理指出：对于一个具有有 限频谱ω
< ω m ax 的连续信号进行采样时，采样信号 f * (t )
唯一地复现原信号 f (t ) 所需的最低采样角频率必须满 足 ω s ≥ 2ω max 或 T ≤ 2π / ω max 的条件。其中， ωmax 是 原信号频率的最高角频率。 采样角频率与采样频率、采样周期的关系为：
短 ，则采样信号就可以认为是原信号在开关闭合瞬时 的值。整个采样信号就可看作是一个加权脉冲序列，用 f * (t ) 表示成： 理想脉冲函数将采样后的脉冲序列
f * (t ) = f (0)δ (t ) + f (T )δ (t − T ) + f (2T )δ (t − 2T ) + L = ∑ f ( kT )δ (t − kT )
第3章 计算机控制基础理论
零阶保持过程是将前一采样时刻的采样值恒定地 保持到下一个采样时刻出现之前，即在区间内零阶保 持器的输出为常数，如图所示。
零阶保持器
f ( kT )
f ( kT )
H 0 ( s)
f h (t )
f h (t )
f (t )
0
1T
2T
3T
4T
5T
L
t
0
1T
2T
3T
4T
5T
L
t
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第3章 计算机控制基础理论
2．信号的采样、量化、恢复及保持
1）信号的采样过程
计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或数字序列的方式传递的，按一定的 时间间隔，把时间和幅值上连续的模拟信号变成在0、T、2T、……KT时刻的一 连串脉冲输出信号的集合的过程叫做采样过程。 实现采样动作的装置叫采样开关或采样器。
z ( z − 1)( z − 2) z −z + z −1 z − 2
的Z反变换 f ( kT )
F ( z) =
⎡ −z ⎤ = −1 Z −1 ⎢ ⎣ z − 1⎥ ⎦
⎡ z ⎤ = 2k Z −1 ⎢ ⎣ z − 2⎥ ⎦
f (kT ) = −1 + 2 k
即
f * (t ) = δ (t − T ) + 3δ (t − 2T ) + 7δ (t − 3T ) + 15δ (t − 4T ) + L
r (t) +
−
e* (t)
u* (t )
y(t ) D/A转换 被控对象
A/D转换
数字计算机
测量元件
图3-1 典型计算机控制系统结构
1．计算机控制系统的信号形式
典型的计算机控制系统如图3-1所示。图中，系统 的输入信号 r (t ) 、输出信号 y (t ) 等为连续时间信号； 而计算机的输入信号e (t )与输出信号 u (t ) 均为离散时 间信号，并且是特殊的离散时间信号——数字信号。 连续时间信号变换成数字信号通过A/D转换器完 成，数字信号变为连续时间信号是通过D/A转换器完 成的。