简单的三角恒等变换(一轮复习总结)

答案：C
2.sinsi2n352°0－°12的值为
()
A.12
B．－12
C．－1
D．1
解析： sinsi2n352°0－°12＝2s2insi2n352°0－°1＝－2scions2700°°
＝－2ssiinn2200°°＝－12.
答案：B
3．若
f(x)＝2tan
x－2sinx2x2－x1，则 sin2cos2
1 个公式——辅助角公式 可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．
y＝asin α＋bcos α＝
a2＋b2sin(α＋φ)其中tan

φ＝ba
有 a2＋b2≥|y|.
2 个方向——三角恒等变换的基本方向
三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当
的变换达到由此及彼的目的．变换的基本方向有两个：一是
2
；
cosα2＝ ± tanα2＝ ±
1＋cos α 2；
1－cos α 1＋cos α .
(3)用 sin α，cos α 表示 tanα2.
tanα2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
[探究] 如何用tan α表示sin 2α与cos 2α？ 提示：sin 2α＝2sin αcos α＝si2ns2inα＋αccoossα2 α＝ta2nta2αn＋α1； cos 2α＝cos2α－sin2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－＋ttaann22αα.
时切化弦，更易通分、约分. 2.三角函数式化简的要求
(1)能求出值的应求出值；
(2)尽量使三角函数种数最少；
(3)尽量使项数最少； (4)尽量使分母不含三角函数；
(5)尽量使被开方数不含三角函数.
3.三角函数化简的方法 化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同
角，降幂或升幂.
——————————————————————————
[归纳·知识整合]
1．半角公式
(1)用 cos α 表示 sin2α2，cos2α2，tan2α2.
1－cos α
1＋cos α
1－cos α
sin2α2＝
2
；cos2α2＝ 2 ；tan2α2＝ 1＋cos α .
(2)用 cos α 表示 sinα2，cosα2，tanα2.
sinα2＝ ±
1－cos α
解：∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.
∵－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2，π＜2α－β＜52π，
而 sin(2α－β)＝35＞0，
∴2π＜2α－β＜52π，cos(2α－β)＝45.
又－π2＜β＜0 且 sin β ＝－1123，∴cos β＝153， ∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×153－35×－1123＝5665. 又 cos 2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝1930. 又 α∈π2，π，∴sin α＝3131030.
答案：－12
三角函数式的化简
[例 1] (1)化简：sins2inα－α－2cπ4os2α＝________； (2)已知 0＜x＜π2，化简：

lgcos

x·tan
x＋1－2sin2x2＋lg
2cosx－π4－lg(1＋sin 2x)．
[自主解答] (1)原式＝2si2n2αscionsαα－－c2ocsoαs2 α＝2 2·cos α.
[典例] (2012·安徽高考)设函数 f(x)＝ 22cos2x＋π4＋ sin2x.
(1)求 f(x)的最小正周期；
(1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数 名及角入手)；
(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
————————————————————————
2．已知 sin(2α－β)＝35，sin β＝－1123，且 α∈π2，π，β∈ －π2，0，求 sin α 的值．
(1)求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间； (2)当 x∈－π6，π6时，求 f(x)的值域． 解：f(x)＝sin 2x＋ 3(1－2sin2x)＋1＝sin 2x＋ 3cos 2x＋1 ＝2sin2x＋π3＋1. (1)函数 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π. 由正弦函数的性质知，当 2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2，
变换函数名称，可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二
倍角的余弦公式等；二是变换角的形式，可以使用两角和与
差的三角函数公式、倍角公式、对角进行代数形式的变换等．
3 个步骤——三角恒等变换的步骤 三角恒等变换可以归纳为以下三步：
创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题 1．三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一，主 要与三角函数的求值、化简以及三角函数的性质相结合命 题，有时也与向量等其他知识交汇命题． 2．解决此类问题时，一要重视三角变化中的诸多公 式，熟悉它们之间的内在联系；二要熟悉三角变换中各方 面的技巧，特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技 巧．
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
[例 3] (2013·西域模拟)已知函数 f(x)＝ 3sin2x＋sin xcos x，x∈π2，π.
(1)求f(x)的零点； (2)求f(x)的最大值和最小值．
[自主解答] (1)令 f(x)＝0，得 sin x·( 3sin x＋cos x)＝0， 所以 sin x＝0 或 tan x＝－ 33. 由 sin x＝0，x∈π2，π，得 x＝π； 由 tan x＝－ 33，x∈π2，π，得 x＝56π. 综上，函数 f(x)的零点为56π或 π.
∴sin α＝－35，
cos α2＋sinα2
∴11＋－ttaannαα22＝
cosα2 cosα2－sinα2
＝ccoossαα22＋－ssiinnαα22
α cos2
＝cosα2－csoisnα2α2＋csoinsαα22＋2 sinα2 ＝co1s2＋α2－sinsiαn2α2＝1＋cossinα α＝1－－4535＝－12.
—————
————————————
公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用及注意事项
(1)利用 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)把形如 y＝
asin x＋bcos x＋k 的函数化为一个角的某种函数的一次
式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对
[备考方向要明了]
考什么
怎么考
能运用两角和与差 的正弦、余弦、正切公 式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简 单的恒等变换(包括导出 积化和差、和差化积、 半角公式，但对这三组 公式不要求记忆).
1.以选择题或填空题的形式单独 考查，如2012年江苏T11.
2.在解答题中，与三角函数的图 象与性质、解三角形等综合， 突出考查三角恒等变换的工具 性作用，如2012年安徽T16 等．
(2)原式＝lg(sin x＋cos x)＋lg(sin x＋cos x)－lg(1＋sin 2x) ＝lgsin1＋x＋sinco2sxx2＝lg11＋＋ssiinn 22xx＝lg 1＝0.
[答案] (1)2 2cos α
—————
————————————
1.三角函数式的化简原则
一是统一角，二是统一函数名，能求值的求值，必要
＝5sin2α2＋cos2α2si＋n α4－sincoαs＋α6·1＋c2os α－8
＝5＋4sinsinα＋α－3＋co3scαos
α－8＝4sin sin
α＋3cos α α－cos α
＝4ttaannαα－＋13＝－54.
保持本例条件不变，求11＋－ccooss
2α－sin 2α－sin
称轴等． (2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的．当 φ 为特
殊角即|ab|的值为 1 或 3 33时要熟练掌握．对 φ 是非特殊 角时，只要求会求最值即可．
——————————————————————————
3．(2013·银川模拟)已知函数 f(x)＝sin 2x－2 3sin2x＋ 3＋1.
f1π2的值为
A．－43 3
B．8
()
C．4 3
D．－4 3
解析：∵f(x)＝2tan x＋1－1 2sin2x2＝2tan x＋2scionsxx＝ 2sin x
s答in案x2c：osBx＝sin42x，∴f1π2＝si4nπ6＝8.
4．(教材习题改编)函数 y＝ 3cos 4x＋sin 4x 的最小正周期为
即 kπ－51π2≤x≤kπ＋1π2(k∈Z)时，函数 y＝sin2x＋π3为单调递增函 数，故函数 f(x)的单调递增区间为kπ－51π2，kπ＋1π2(k∈Z)．
(2)∵x∈－π6，π6，∴2x＋π3∈0，23π， ∴sin2x＋π3∈[0,1]， ∴f(x)＝2sin2x＋π3＋1∈[1,3]． ∴f(x)的值域为[1,3]．
1．化简：ta1nα2－tanα2·1＋tan
α α·tan2.
解：原式＝csoinsα2α2－csionsα2α2·1＋csoins
α sinα2 α·cosα2
＝sincoα2scoαsα2·1＋csoins
αα·csionsα2α2
2．形如 asin x＋bcos x 的化简 asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tan φ＝ba.
[自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)化简 2＋cos 2－sin21的结果是( )
A．－cos 1
B．cos 1
C. 3cos 1
D．－ 3cos 1
解 析 ： 2＋cos 2－sin21 ＝ 1＋cos 2＋1－sin21 ＝ 2cos21＋cos2 1＝ 3cos 1.
2α的值． 2α
解：11＋－ccooss
2α－sin 2α－sin
22αα＝22csoisn22αα－－22ssininααccoossαα
＝2sin 2cos
αsin αcos
α－cos α－sin
αα＝－tan
α＝13.
—————
————————————
已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路
[自主解答] (1)∵tan α＋tan1 α＝－130， ∴3tan2α＋10tan α＋3＝0， 解得 tan α＝－13或 tan α＝－3. ∵34π<α<π，∴－1<tan α<0. ∴tan α＝－13.
Байду номын сангаас
(2)∵tan α＝－13，
∴5sin2α2＋8sin2αs2icnosαα2－＋π411cos2α2－8
α ＝2scionsαα＋2scionsαα·csoins αα·csoins2α2
＝2scionsαα＋2sinαα2＝2scionsαα＋4ssiinn2αα2 cos2
2cos ＝
αsi＋n α4sin2α2＝21－2sisni2nα2α＋4sin2α2＝sin2
α.
三角函数求值 [例 2] 已知34π<α<π，tan α＋tan1 α＝－130. (1)求 tan α 的值； (2)求5sin2α2＋8sin2αs2icnosαα2－＋π411cos2α2－8的值．
(2)f(x)＝ 23(1－cos 2x)＋12sin 2x
＝sin2x－π3＋
3 2.
因为 x∈π2，π，所以 2x－π3∈23π，53π.
所以当 2x－π3＝23π，即 x＝π2时，
f(x)的最大值为 3；
当 2x－π3＝32π，即 x＝1112π时，
f(x)的最小值为－1＋ 23.
________．
解析：y＝
3cos
4x＋sin
4x＝2

3 2 cos
4x＋12sin

4x

＝2cosπ6cos
4x＋sinπ6sin

4x

＝2cos4x－π6，
故 T＝24π＝π2.
答案：π2
5．解若析co：s ∵α＝co－s α45＝，α－是45，第且三α象是限第角三，象则限11＋ －角tt，aannαα22＝________.