2020届高考数学二轮复习专题《数列中的新定义问题》

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专题25数列中的新定义问题
以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高.解决新定义问题,首先考察对定义的理解.其次是考查满足新定义的数列的简单应用,主要考察综合分析能力,搞清定义是关键,仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意,在新环境下灵活应用已有知识,从而找到恰当的解决方法.
a n各项均不相同,a1=1,定义
b n(k)=a n+(-1)k a n
已知数列{}
,其中n,k∈N*.
+k
(1)若b n(1)=n,求a5;
a n的前n项和为
(2)若b n+1()k=2b n()k对k=1,2均成立,数列{}
a n的通项公式.
S n.求数列{}
数列新定义问题是近几年高考的热点,解题的关键在于在“新”上做文章,解题前应深刻理解“新数列”的含义,并将其进行转化,使“新数列”问题变成一个熟知的常规题型.本题从数列“b n(k)”的构造入手,找到它与原数列{a n}之间的关系,再利用条件中n,k的任意性,应用特殊化思想解决第(1)题;第(2)题则是从已知出发,先得到两个关于递推关系式,然后通过代数恒等变形及消元方
的关系,从而证得最终结果.
法,推出a n与a n
+1
(2019·南京二模)设数列{a n}的各项均为正数.若对任意的n∈N*,存在k∈N*,使得a2n+k=a n·a n+2k成立,则称数列{a n}为“J k 型”数列.
(1)若数列{a n}是“J2型”数列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若数列{a n}既是“J3型”数列,又是“J4型”数列,证明:数
列{a n }是等比数列.
已知数列{}a n 、{}b n 、{}c n ,对于给定的正整数k ,记b n =a n -a n +k ,c n =a n +a n +k (n ∈N *).若对任意的正整数n 满足:b n ≤b n +1,且{}c n 是等差数列,则称数列{}a n 为“H (k )”数列.
(1)若数列{}a n 的前n 项和为S n =n 2,证明:{}a n 为H (k )数列;
(2)若数列{}a n 为H (1)数列,且a 1=1,b 1=-1,c 2=5,求数列{}a n 的通项公式;
(3)若数列{}a n 为H (2)数列,证明:{}a n 是等差数列.
(2020·徐州模拟)设数列{}a n 的各项均为不等的正整数,其前n 项和为S n ,我们称满足条件“对任意的m ,n ∈N *,均有(n -m )S n +m =(n +m )(S n -S m )”的数列{}a n 为“好”数列.
(1)试分别判断数列{}a n ,{}b n 是否为“好”数列,其中a n =2n -1,b n =2n -1,n ∈N *,并给出证明;
(2)已知数列{}c n 为“好”数列,若c 2 017=2 018,求数列{}c n 的通项公式.
设数列{}a n 的首项为1,前n 项和为S n ,若对任意的n ∈N *,均有S n =a n +k -k (k 是常数且k ∈N *)成立,则为“P (k )数列”.
(1)若数列{}a n 为“P (1)数列”,求数列{}a n 的通项公式;
(2)是否存在数列{}a n 既是“P (k )数列”,也是“P (k +2)数列”?若存在,求出符合条件的数列{}a n 的通项公式及对应的k 的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列{}a n 为“P (2)数列”,a 2=2,设T n =a 12+a 222+a 323+…+
a
n 2n ,证明: T n <3.
(2020·苏州模拟)定义:对于任意n ∈N *,x n +x n +2-x n +1仍为数列{}x n 中的项,则称数列{}x n 为“回归数列”.
(1)己知a n =2n (n ∈N *),判断数列{}a n 是否为“回归数列”,并说明理由;
(2)若数列{}b n 为“回归数列”,b 3=3,b 9=9,且对于任意n ∈N *,均有b n <b n +1成立.
①求数列{}b n 的通项公式;
②求所有的正整数s ,t ,使得等式b 2s +3s +1-1b s 2+3s -1
=b t 成立.
(本小题满分16分)(2019·南京三模)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ,若存在正整数r ,t 且r <t ,使得S r =t ,S t =r 同时成立,则称数列{}a n 为“M ()r ,t 数列”.
(1)若首项为3,公差为d 的等差数列{}a n 是“M (r ,2r )数列”,求d 的值;
(2)已知数列{}a n 为等比数列,公比为q .
①若数列{}a n 为“M (r ,2r )数列”,r ≤4,求q 的值; ②若数列{}a n 为“M (r ,t )数列”,q ∈(-1,0),求证:r 为奇数,t 为偶数.
(1)d =-1;(2)①q =-12或q =-132
;②略.
(1)因为{a n }是M (r ,2r )数列,所以S r =2r ,且S 2r =r .
由S r =2r ,得3r +r (r -1)2d =2r .因为r >0,所以(r -1)d =-2 (*);
由S 2r =r ,得6r +2r (2r -1)2
d =r ,因为r >0,所以(2r -1)d =-5 (**);
………………………2分(从条件中得到关于r ,d 的方程组(*),(**))
由(*)和(**),解得r =3,d =-1.
………………………4分(解方程(*)(**)) (2)①(i)若q =1,则S r =ra 1,S t =ta 1.因为{a n }是M (r ,2r )数列,所以ra 1=2r (*),2ra 1=r (**),
由(*)和(**),得a 1=2且a 1=12,矛盾,所以q ≠1 (5)
分(讨论q =1的情形)
(ii)当q ≠1,因为{a n }是M (r ,2r )数列,所以S r =2r ,且S 2r =r , 即a 1(1-q r )1-q =2r (*),a 1(1-q 2r )1-q
=r (**),由(*)和(**),得q r =-12. ………………………………………………6分(求出q 的值)
当r =1时,q =-12;当r =2,4时,无解;当r =3时,q =-132
. 综上,q =-12或q =-132
.………………………8分(分类讨论确定r 、q 的值)
②证明:因为{a n }是M (r ,t )数列,q ∈(-1,0),所以S r =t ,且S t =r ,
即a 1(1-q r )1-q =t ,且a 1(1-q t )1-q =r ,两式作商,得1-q r 1-q t =t r ,即r (1-q r )=t (1-q t ).
(i)若r为偶数,t为奇数,则r(1-|q|r)=t(1+|q|t).
因为r<t,0<1-|q|r<1,1+|q|t>1,所以r(1-|q|r)<t(1+|q|t),这与r(1-|q|r)=t(1+|q|t)矛盾,所以假设不成立.
………………………………………………10分(证明r为偶数,t为奇数时,导出矛盾不成立)
(ii)若r为偶数,t为偶数,则r(1-|q|r)=t(1-|q|t).
设函数y=x(1-a x),0<a<1,则y′=1-a x-xa x ln a,
当x>0时,1-a x>0,-xa x ln a>0,所以y=x(1-a x)在(0,+∞)为增.
因为r<t,所以r(1-|q|r)<t(1-|q|t),
这与r(1-|q|r)=t(1-|q|t)矛盾,所以假设不成立.
………………………………………………………………………12分(证明r,t均为偶数也产生矛盾)
(iii) 若r为奇数,t为奇数,则r(1+|q|r)=t(1+|q|t).
设函数y=x(1+a x),0<a<1,则y′=1+a x+xa x ln a.
设g(x)=1+a x+xa x ln a,则g′(x)=a x ln a(2+x ln a),令g′(x)=0,
得x=-2
ln a.因为a
x>0,ln a<0,
所以当x>-2
ln a,g′(x)>0,则g(x)在区间(-
2
ln a,+∞)递增;
当0<x<-2
ln a,g′(x)<0,则g(x)在区间(0,-2
ln a)递减,所以
g(x)min=g(-2
ln a)=1-a 2
ln a.
因为-2
ln a>0,所以a 2
ln a<1,所以g(x)min>0,从而g(x)>0在(0,+∞)恒成立,
所以y=x(1+a x),0<a<1在(0,+∞)上单调递增.因为r<t,
所以r (1+|q |r )<t (1+|q |t ),
这与r (1-|q |r )=t (1-|q |t )矛盾,所以假设不成立.
………………………………………………14分(证明r 为奇数,t 为偶数时,也产生矛盾)
(iv) 若r 为奇数,t 为偶数.由①知,存在等比数列{a n }为“M (1,2)数列”.
综上,r 为奇数,t 为偶数.
………………………16分(由①推证过程,导出结论)
第一步:利用条件列出关于r 、d 的方程组;
第二步:解第一步中的方程组,求出r 、d 的值;
第三步:先考虑公比q =1的特殊情形、导出矛盾,此时无解;
第四步:解方程组得q r
=-12; 第五步:将r =1,2,3,4代入验证,求得q 的值;
第六步:验证r 为偶数,t 为奇数时,导出矛盾;
第七步:验证r ,t 均为偶数时,也导出矛盾;
第八步:验证r 为奇数,t 为偶数,也导出矛盾;
第九步:验证r 为奇数,t 为偶数时,存在满足题设的数列并得出结论.
作业评价
若数列{a n }满足 1a n +1-1a n =d (n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为“调和数列”.已知正项数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 为“调和数列”,且b 1+b 2+…+b 9=90,则b 4·b 6的最大值是_________.
若数列{a n }满足1
a n +1-p a n
=0,n ∈N *,p 为非零数列,则称数列{a n }为“放飞”数列.已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 为“放飞”数列,且b 1b 2b 3…b 99=299,则b 8+b 92的最小值是________.
若数列{a n }满足a n -1+a n +1≥2a n (n ≥2),则称数列{a n }为凹数
列.已知等差数列{b n }的公差为d ,b 1=4,且数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫b n n 为凹数列,则d 的取值范围是________.
对于数列A :a 1,a 2,a 3,…,定义{a n }的“差数列”ΔA :a 2-a 1,a 3-a 2,a 4-a 3,…
(Ⅰ)若数列A :a 1,a 2,a 3,…的通项公式a n =2n -1+1,写出ΔA 的前3项;
(Ⅱ)试给出一个数列A :a 1,a 2,a 3,…,使得ΔA 是等差数列; (Ⅲ)若数列A :a 1,a 2,a 3,…的差数列的差数列Δ(ΔA )的所有项都等于1,且a 19=a 92=0,求a 1的值.
若数列{a n }中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称{a n }为 “等比源数列”.
(1)已知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n -1. ①求数列{a n }的通项公式;
②试判断数列{a n }是否为“等比源数列”,并证明你的结论.
(2)已知数列{a n }为等差数列,且a 1≠0,a n ∈Z (n ∈N *).求证:{a n }为“等比源数列”
(2020·苏州期中)已知数列{a n }的首项为1,定义:若对任意的n ∈N *,数列{a n }满足a n +1-a n >3,则称数列{a n }为“M 数列”.
(1)已知等差数列{a n }为“M 数列”,其前n 项和S n 满足S n <2n 2+2n (n ∈N *),求数列{a n }的公差d 的取值范围;
(2)已知公比为正整数的等比数列{a n }为“M 数列”,记数列{b n }
满足b n =34a n ,且数列{b n }不为“M 数列”,求数列{a n }的通项公式.。

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