2020届高考数学二轮复习专题《数列中的新定义问题》

专题25数列中的新定义问题

以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．解决新定义问题，首先考察对定义的理解．其次是考查满足新定义的数列的简单应用，主要考察综合分析能力，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，在新环境下灵活应用已有知识，从而找到恰当的解决方法.

a n各项均不相同，a1＝1，定义

b n(k)＝a n＋(－1)k a n

已知数列{}

，其中n，k∈N*.

＋k

(1)若b n(1)＝n，求a5；

a n的前n项和为

(2)若b n＋1()k＝2b n()k对k＝1,2均成立，数列{}

a n的通项公式．

S n.求数列{}

数列新定义问题是近几年高考的热点，解题的关键在于在“新”上做文章，解题前应深刻理解“新数列”的含义，并将其进行转化，使“新数列”问题变成一个熟知的常规题型．本题从数列“b n(k)”的构造入手，找到它与原数列{a n}之间的关系，再利用条件中n，k的任意性，应用特殊化思想解决第(1)题；第(2)题则是从已知出发，先得到两个关于递推关系式，然后通过代数恒等变形及消元方

的关系，从而证得最终结果.

法，推出a n与a n

＋1

(2019·南京二模)设数列{a n}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝a n·a n＋2k成立，则称数列{a n}为“J k 型”数列．

(1)若数列{a n}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；

(2)若数列{a n}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数

列{a n }是等比数列．

已知数列{}a n 、{}b n 、{}c n ，对于给定的正整数k ，记b n ＝a n －a n ＋k ，c n ＝a n ＋a n ＋k (n ∈N *)．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n ＋1，且{}c n 是等差数列，则称数列{}a n 为“H (k )”数列．

(1)若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2，证明：{}a n 为H (k )数列；

(2)若数列{}a n 为H (1)数列，且a 1＝1，b 1＝－1，c 2＝5，求数列{}a n 的通项公式；

(3)若数列{}a n 为H (2)数列，证明：{}a n 是等差数列．

(2020·徐州模拟)设数列{}a n 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为S n ，我们称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有(n －m )S n ＋m ＝(n ＋m )(S n －S m )”的数列{}a n 为“好”数列．

(1)试分别判断数列{}a n ，{}b n 是否为“好”数列，其中a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，n ∈N *，并给出证明；

(2)已知数列{}c n 为“好”数列，若c 2 017＝2 018，求数列{}c n 的通项公式．

设数列{}a n 的首项为1，前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，均有S n ＝a n ＋k －k (k 是常数且k ∈N *)成立，则为“P (k )数列”．

(1)若数列{}a n 为“P (1)数列”，求数列{}a n 的通项公式；

(2)是否存在数列{}a n 既是“P (k )数列”，也是“P (k ＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{}a n 的通项公式及对应的k 的值；若不存在，请说明理由；

(3)若数列{}a n 为“P (2)数列”，a 2＝2，设T n ＝a 12＋a 222＋a 323＋…＋

a

n 2n ，证明： T n <3.

(2020·苏州模拟)定义：对于任意n ∈N *，x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{}x n 中的项，则称数列{}x n 为“回归数列”．

(1)己知a n ＝2n (n ∈N *)，判断数列{}a n 是否为“回归数列”，并说明理由；

(2)若数列{}b n 为“回归数列”，b 3＝3，b 9＝9，且对于任意n ∈N *，均有b n

①求数列{}b n 的通项公式；

②求所有的正整数s ，t ，使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b s 2＋3s －1

＝b t 成立．

(本小题满分16分)(2019·南京三模)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若存在正整数r ，t 且r

(1)若首项为3，公差为d 的等差数列{}a n 是“M (r ,2r )数列”，求d 的值；

(2)已知数列{}a n 为等比数列，公比为q .

①若数列{}a n 为“M (r ,2r )数列”，r ≤4，求q 的值； ②若数列{}a n 为“M (r ，t )数列”，q ∈(－1,0)，求证：r 为奇数，t 为偶数．

(1)d ＝－1；(2)①q ＝－12或q ＝－132

；②略．

(1)因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r .

由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r .因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2 (*)；

由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2

d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5 (**)；

………………………2分(从条件中得到关于r ，d 的方程组(*)，(**))

由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1.

………………………4分(解方程(*)(**)) (2)①(i)若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1.因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，

由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1 (5)

分(讨论q ＝1的情形)

(ii)当q ≠1，因为{a n }是M (r ,2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ， 即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r )1－q

＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12. ………………………………………………6分(求出q 的值)

当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2,4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132

. 综上，q ＝－12或q ＝－132

.………………………8分(分类讨论确定r 、q 的值)

②证明：因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1,0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，

即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t )1－q ＝r ，两式作商，得1－q r 1－q t ＝t r ，即r (1－q r )＝t (1－q t )．