微分方程的简单应用

求f(t).
x2 y2 z2 t2
解 f (t) 3
f ( x2 y2 z2 )dv t3,
x2 y2 z2 t2
3
2
d

d
t f () 2 sind t3,
0
0
0
12 t f () 2d t3. 0
显然f(0)=0.上式两边对t求导，得
1 x
dx
dx

C

x(1 6x C). x
由初始条件y(1)=0得C=5,则所求曲线方程为
y 6x2 5x 1.
5.6.3 利用微分方程求解物理与力学方面的问题
求解物理、力学方面的应用题，通常要利用物 理、力学中的有关定律，如力学中的物体运动所遵 循的牛顿第二定律；弹性变形中的虎克定律；热学 中的冷却定律；放射性问题中的衰变规律等，建立 所描述的问题的微分方程。
y=y(x),由已知条件得
P(x,y)
x ydx 1(1 y)x x3.
0
2
方程两边对x求导
0
B(1,0)
y 1 (1 y) 1 yx 3x2,
2
2
整理得
y 1 y 1 6x.
x
x
于是
y

e
1 x
dx




1 x

6x

e
y x 4k 2x2 1 1 ln | 2kx 4k 2x2 1 | C.
2
4k
法二
y


1 2k

t2 1dt,
由分部积分法
y t t2 1 1 td t2 1 t t2 1 1
t2 dt
2k
2k
2k
2k t2 1
t
t2 1
1
t2 11 dt
a mg , k
故方程的通解为
x

c1
kt
c2e m

mg k
t.
又
dx dt


k m
kt
c2e m

mg k
,
由初始条件解得
c1


m2 k2
g, c2

m2 k2
g.
从而得
x(t)

mgBaidu Nhomakorabeak
t

m2g k2
(1
kt
em
).
令t=A，则得液面与底面距离为
x(t)

mg k
A
4k
4k
所以所求曲线族为
y x 4k 2x2 1 1 ln | 2kx 4k 2x2 1 | C.
2
4k
例5 在连接A(0,1）和点B(1,0)的一条向上凸的曲线
上任取一点P(x,y),已知曲线与弦AP之间的面积为x3,
求此曲线方程。
A(0,1)
x3
y=y(x)
解 设所求曲线方程为
1, 2
解之得通解为
f
(x)

C1

x
C2e 2

2x

1 3
ex.
将
y |x0 1
y |x0
1, 2
代入上式得
C1

3, C2

11 , 3
从而原方程的特解为
f
(x)

2x
3
11

e
x 2

1
ex.
3
3
例3 设f(t)连续，且
f (t) 3
f ( x2 y2 z2 )dv t3,
解 设t时物体的温度为T=T(t),由题意，得
dT k(T a),T cekt a.
dt
由
t 0,T T0,得c T0 a,
故温度T与时间t的关系为 T T0ekt a(1 ekt ).
现由题意知 a 20,T0 100, 代入上式，得
T 80ekt 20.


1
x
3xdx,
2
1
即得
ln f (x) x 3ln x C1,
f
(x)

C
1
e x (C
eC1 )(x

0).
x3
例2 设二阶可微函数f(x)满足方程
x
(t
1)
f
(x
t)dt

x2

ex

f
(x),
0
求f(x).
x
x
解 0 (t 1) f (x t)dt 0 (t 1) f (x t)d (x t)
m d 2x mg k dx ,
dt 2
dt
得
d2x dt 2

k m
dx dt

g,
x(0)

0,
x(0)

0,
由特征方程 r2 k r 0, 得特征根 m
k r1 0, r2 m .
对应的齐次线性方程通解
kt
x c1 c2e m . 令 x* at, 将 x* a, x* 0 代入方程，得
令t=secu,则
2k
t2 1dt,
t2 1dt tan ud secu tan u secu tan udu
secu[sec2u 1]du secu sec2udu secudu
secud tan u secudu
tan u secu tan ud secu secudu
f (t) 12 t2 f (t) 3t2,
由一阶非齐次线性方程的求解公式得通解
f
(t )

e12 t2dt

3t 2e 12t2dt dt

C

1 Ce4t3 .
4
将f(0)=0代入上式得 故原方程的特解为
C 1 ,
4
f (t) 1 (e4t3 1).
5.6 微分方程的简单应用
用微分方程解决实际问题的一般步骤是：
（1）根据问题的实际背景，建立微分方程与定解 条件；
（2）根据方程的类型，用适当的方法求出方程的 通解，并根据定解条件确定特解；
（3）若所得结果与实际相差太远，就修改模型， 重新求解。
5.6.1 利用微分方程求解函数方程
例5.6.1 设可微函数y=f(x)满足方程
令x-t=m,原方程变为
x
(x m 1)
f
(m)dm

x2
ex

f
(x),
0
方程两边同时对x求导，并整理得
x f (m)dm 2x ex 2 f (x), 0
再求导一次，得
f (x) 1 f (x) 1 1 ex ,
2
2
y |x0 1,
y |x0
2k
2k t2 1
t t2 1 1 ( t2 1dt 1 dt)
2k
2k
t2 1
t t2 1 2k
合并同类项，有
1 2k
(
t2 1dt
1 dt) t2 1
2 y t t2 1 1
1 dt
2k
2k t2 1
令t=secm,从而有
y t t2 1 1 ln | t t2 1 | C.
x
x
0 xf (t)dt 0 (x 1)tf (t)dt,
求函数f(x).
解 方程两边分别对x求导，得
x f (t)dt x2 f (x)
x
tf (t)dt,
0
0
上式两边再对x求导且整理得
x2 f (x) (1 3x) f (x).
分离变量且积分得

f (x)dx f (x)
m2 g k2
k A
(1 e m ).
例5.6.10 物体冷却速度与该物体和周围介质的温 差成正比。具有温度为T0的物体放在保持常温为a 的室内，求温度T与时间t的关系。
若设室温为200C,一物体加热到1000C ，在10分 钟内冷却到600C，问此物体从1000C降到250C需要 经过多少时间？
tan u secu tan u secu tan udu secudu
合并同类项，有

t2 1dt tan u secu 1 ln | secu tan u | C
2
2
从而有
y t t2 1 1 ln | t t2 1 | C.
4k
4k
所以所求曲线族为
例5.6.9 质量为m的物体，在液面上由静止状态开 始铅直下沉，经A秒钟后沉到底，已知在下沉过程 中，液体对它的阻力与下沉速度成正比（比例系数 为k)。求物体在下沉过程中深度与时间t的函数关系， 并求液面到底面的距离。
解 取物体初始位置为坐标原点。Ox轴垂直向下， 设t时刻物体下沉深度x=x(t).由牛顿第二定律知
将t=10,T=60代入上式，得
k 1 ln 2. 10
再将 k 1 ln 2 及T=25代入 T 80ekt 20 10
中，得t=40分钟 即物体从100度降到25度要经过40分钟。
4
5.6.2 利用微分方程求解几何问题
例4 求一曲线族，使其从x=0处到任一点(x,y)处的 弧长与终点横坐标的x平方成正比。
解 由弧微分的表达式知
x 1 y2 dx kx2 , 0
方程两边对x求导，并整理得
y 4k2x2 1,
求解，令2kx=t,此时方程化为
y 1