第三章 导数的四则运算法则
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导数的四则运算法则
x
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
dy
即
x x (a ) a ln a .
x x 特别地， 有 (e ) e ．
例 13
解
求 y arcsin x 的导数．
y arcsin x 是 x sin y 的反函数， sin y 在 x
dx cos y 0 ． 区间 , 内单调、可导，且 dy 2 2
.
三.导数公式小结
1.基本初等函数的导数公式
C 0(C为常数）； （log a x ) 1 x ln a ;
1 ( x ) x ( 为实数）；
（ln | x |)
x x (e ) e ;
1 x
;
x x ( a ) a ln a;
(sin x ) cos x; (tan x ) 1
2
求 y sin 2 x ln x 的导数.
y 2sin x cos x ln x
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x ) ln x
2sin x cos x 1
x 1 2cos 2 x ln x sin 2 x . x
f ( x ) lim
1 1 lim x 0 x y 0 x ( y ) y
y
即 f ( x )
1
( y )
.
反三角函数导数公式的证明(略)
例 12
解
求 y a (a 0, a 1) 的导数．
x
y a 是 x log a y 的反函数， x log a y 在 且 dx 1 0 , (0,) 内单调、可导，又 dy y ln a 1 x y y ln a a ln a , 所以 dx
课件6：3.2.3 导数的四则运算法则
课堂小结
2．曲线y＝f(x)在点M(x0，f(x0))处的切线方程为y－ f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．若没有给出切点，往往先设切 点为M(x0，f(x0))，再利用导数求斜率及切线方程， 最后根据给定的条件求解问题．
∴－ b－b＋ 2c＝a＝0，0， c－1＝0，
解得ab＝ ＝22， ， c＝1.
∴f(x)＝2x2＋2x＋1.
考点3：求曲线的切线方程
例3：求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直 线方程． 【解析】解答本题可先设出切点坐标，对函数求 导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线 过点(1，－1)代入求解．
点 A(0,16)在切线上，则有 16－(x30－3x0)＝3(x20－1)(0－x0)． 化简得 x03＝－8，解得 x0＝－2. 所以切点为 M(－2，－2)， 切线方程为 9x－y＋16＝0.
课堂小结
1．利用公式和求导法则求导数是要注意： (1)在求导之前，先对函数式进行化简，然后再 求导，这样既可减少计算量，也可少出差错． (2)在函数中有两个以上因式连乘时，要注意多 次使用积的求导法则．
一点通：求曲线的切线方程有以下两种情况 (1)求曲线在点P处的切线方程． (2)求过点P与曲线相切的直线方程，这时点P 不一定是切点，也不一定在曲线上，求解步骤为：
题组集训
5．设曲线 y＝xx－＋11在点(3,2)处的切线与直线 ax＋y＋1＝0
垂直，则 a 等于
()
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
3.2.3 导数的四则运算法则
已知函数 f(x)＝1x，g(x)＝x2，那么 f′(x)＝－x12， g′(x)＝2x. 问题 1：如何求 h(x)＝f(x)＋g(x)的导数？
导数的四则运算法则课件
工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
工具
第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
工具
第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
x0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
第三章 导数的四则运算法则
x
解析
ex x－ 2 1 2 k ∵f′(x)＝ x3 ＋ x ＋ x2 ，
e ∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得 k＝2.
1
2
3
4
解析
答案
1 3 a 2 4.设函数 f(x)＝3x －2x ＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0)) 处的切线方程为 y＝1，确定 b，c 的值.
f ′ x f x (3) .( ′＝ g ′ x gx
× )
题型探究
类型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数：
1 3 2 (1)f(x)＝3ax ＋bx ＋c； 1 3 2 解 f′(x)＝3ax ＋bx ＋c ′
a － d ＝ 0 ， － c＝ 0 ， a－d－cx＝0， 所以 即 a ＝ 1 ， ax＋b＋c＝x， b＋c＝0，
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟 求解此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则.
跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； 解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b. 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
解答
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程. 解 由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0.
解析
ex x－ 2 1 2 k ∵f′(x)＝ x3 ＋ x ＋ x2 ，
e ∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得 k＝2.
1
2
3
4
解析
答案
1 3 a 2 4.设函数 f(x)＝3x －2x ＋bx＋c，其中 a>0，曲线 y＝f(x)在点 P(0，f(0)) 处的切线方程为 y＝1，确定 b，c 的值.
f ′ x f x (3) .( ′＝ g ′ x gx
× )
题型探究
类型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数：
1 3 2 (1)f(x)＝3ax ＋bx ＋c； 1 3 2 解 f′(x)＝3ax ＋bx ＋c ′
a － d ＝ 0 ， － c＝ 0 ， a－d－cx＝0， 所以 即 a ＝ 1 ， ax＋b＋c＝x， b＋c＝0，
解得a＝d＝1，b＝c＝0.
反思与感悟 求解此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则.
跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于
跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； 解 因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)， 所以f′(x)＝2ax＋b. 又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
解答
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程. 解 由(1)可知，g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7. 又g(0)＝3， 所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)， 即7x＋y－3＝0.
三节导数四则运算和反函数求导法则
例4.3.7 解:
求 y loga x 3 x 的导数 (a 0,a 1)
y (loga x) (3
x)
1
1 3
x lna 2 x
13
x lna 2 x
定理4.3.2 设f ( x) 和g( x) 都是可导的，则它们的积
函数是可导的，且满足: [ f ( x)g( x)] f ( x)g( x) f ( x)g( x)
3x (ln x cos x sin x)
例4.3.9
sin x 求 y x 的导数
1
11
1
解:
y
(sin
x)
x
sin
x ( ) x
cos x
x
x2
sin
x
x cos x sin x
x2
.
定理4.3.3 设 g( x) 可导且 g( x) 0 ,则它的倒数也可导，
且满足: 或
证明:
例4.3.13 求双曲函数及反双曲函数的导数.
解: 由于
(e x )
1
( e
x
)
(e x ) (e x )2
ex (e x )2
e x
于是
ex ex ex ex
(shx) (
)
chx
2
2
同理可得 (chx) shx
由于 cthx (thx)1 chx 和 shx
e x e x shx thx e x e x chx
解:
(loga
x)
lim
x0
loga
(x
x) x
loga
x
x
loga (1
lim
x0
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则1.求和规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的和的导数等于各自函数的导数之和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)2.差规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的差的导数等于各自函数的导数之差。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)3.乘法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数，则它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)4.除法规则：如果f(x)和g(x)都是可导函数且g(x)不等于零，则它们的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方。
即：(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2这些四则运算法则可以用于计算复杂函数的导数。
下面通过一些简单的例子来说明这些规则的具体应用。
例子1：计算函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1的导数。
解：对于这个函数，可以按照求和规则和乘法规则分别对各项进行求导。
f'(x)=(x^3)'+(2x^2)'+(-3x)'+(1)'=(3x^2)+(4x)+(-3)=3x^2+4x-3例子2：计算函数g(x)=(2x^2+3x-1)/(x+2)的导数。
解：应用乘法规则和除法规则对该函数进行求导。
g'(x)=((2x^2+3x-1)'*(x+2)-(2x^2+3x-1)*(x+2)')/(x+2)^2=(((4x+3)*(x+2))-((2x^2+3x-1)*1))/(x+2)^2=(4x^2+11x+6-2x^2-3x+1)/(x+2)^2=(2x^2+8x+7)/(x+2)^2通过这两个简单的例子，我们可以看到四则运算法则在计算导数中的应用。
3-4《导数的四则运算法则》PPT-北师大版选修PPT课件
导函数,
且v≠
0,
则y
u v
也是
x
的可导函数,且
y
u
v
uv - uv v2
(v 0)
(证明方法同法则1,故证明从略.)
推论 2
1 v
-
v v2
(c为常数)
例3 设函数 y a - x , 求 y .
a x
解 根据除法法则，有
(a - x)(a x) - (a - x) - (a - x)
(a x)2
2a - (a x)2 .
例 4 设 函数 y = tan x， 求 y .
解
y (tan x) sin x
cos x
(sin x) cos x - sin x(cos x)
cos2 x
cos 2 x sin2 cos 2 x
导数的四则运算法则
周春生
河口一中
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数．
2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数
3.会求一些简单复合函数的导数.
教学重难点
教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
知识链接 基本初等函数的导数公式
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 7 设 y 1- x2 , 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2
yu (
u) 1 2u 2
1 (1 - x2 )
.
这样可以直接写出下式
导数四则运算法则
我们知道 一元 函数 y = f (x) 的导数的几何
意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数．因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
x 0 x
x 0 x x 0 x x 0
u (x )v (x ) u (x )v (x ).
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) u2(x) .
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
第三章 函数的微分学
第二节 导数的四则运算法则
一、导数的四则运算 二、偏导数的求法
一、导数的四则运算
定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，
则它们的和、差、积与商 v(x) (u(x) 0) u(x)
在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
另外可求得
(arcsin x) 1 , 1 x2
(arccos x) 1 , 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
,
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
(以后补证)
一、偏导数的求法
例 6 求 函 zx数 23x y2y3 在点 (2 , 1) 处
意义是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , y0) 处切线的斜率， 而二元函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0) 处的偏导数， 实际上就是一元函数 z = f ( x , y0) 及 z = f (x0 , y ) 分别在点 x = x0 及 y = y0 处的导数．因此二元函 数 z = f (x , y) 的偏导数的几何意义 也是曲线切线 的斜率.
x 0 x
x 0 x x 0 x x 0
u (x )v (x ) u (x )v (x ).
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) u2(x) .
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
第三章 函数的微分学
第二节 导数的四则运算法则
一、导数的四则运算 二、偏导数的求法
一、导数的四则运算
定理 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，
则它们的和、差、积与商 v(x) (u(x) 0) u(x)
在 x 处也可导，且
(u(x) v(x)) = u(x) v (x);
另外可求得
(arcsin x) 1 , 1 x2
(arccos x) 1 , 1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
,
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
(以后补证)
一、偏导数的求法
例 6 求 函 zx数 23x y2y3 在点 (2 , 1) 处
课件5：3.2.3 导数的四则运算法则
2．设 f(x)＝ax3＋3x2＋2，若 f′(－1)＝4，则 a 的值等
于( )
A.139
B.136
C.133
D.130
【解析】∵f′(x)＝3ax2＋6x，
∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝130.
【答案】D
3．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐 标原点，则α＝________． 【解析】因为y′＝α·xα－1，所以在点(1，2)处的切线斜 率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点， 故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 【答案】2
复合函数的导数 y＝f(x)的导数 y′＝f′(x)又可记为：ddxy＝y′＝f′(x)．
特别是当 y＝f(u(x))是 x 的复合函数时，记号ddxy明确 表示对 x 求导数，它和dduy是不同的，两者的关系是
___dd_xy_＝ __dd_uy_· ___dd_ux_________．
课堂互动探究
解：(1)y′＝(x4－2x2－3x＋3)′＝4x3－4x－3 (2)y′＝xx2＋＋33′ ＝（x＋3）′（x2＋（3）x2＋ －（3）x＋ 2 3）（x2＋3）′ ＝－（xx2－2＋63x）＋23.
(3)法一 y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11.
特别地当 f(x)＝1 时有g（1x）′＝ －gg′2（（xx）） ．
知识点2：复合函数的导数
导数的四则运算法则
±
′
= ′ () ± ′ ().
2. 函数的积、商的导数运算法则
′
′
= ′ () + ′ ()；
′ − ′
=
2
≠0 .
小
结
追问： 你有哪些收获？
运用函数的导数运算法则求函数的导数，比用导数定义求函
数的导数要方便很多.
运用导数运算法则可以求很多初等函数的导数，这有助于研
究更多函数的性质.
课后作业
1. 求下列函数的导数：
（1） = 3cos + 2 ；
（2） = e ln；
（3） = tan.
2
2. 求曲线 = +
3
在点(1,4)处的切线方程.
′ 98 = 25 ′ 90
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
即净化到纯净度为98%时净化费用变化的快慢是净化到纯净
度为90%时净化费用变化快慢的25倍.
小
结
问题5 我们学习了哪些知识内容？
函数的和、差、积、商的导数运算法则.
小
结
1. 函数的和、差的导数运算法则
2sin
′
（2） () =
2
′
2sin ′ 2 − 2sin( 2 )′
=
4
2cos ⋅ 2 − 2sin ⋅ 2
=
4
2cos − 4sin
=
.
3
3
ℎ′ () = [ 2 + 2
= 2 + 2
′
]′
北师大版数学高二课件 3.4 导数的四则运算法则
12345
解析 答案
规律与方法
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利 用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特 征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运 算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
则f′(1)等于
A.－3
B.2e
2 C.1－2e
√D.1－32e
解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋3x，
令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3，
∴f′(1)＝1－32e.
解析 答案
命题角度2 与切线有关的问题
例4
(1)设曲线
2－cos y＝ sin x
x在点π2，2处的切线与直线
x＋ay＋1＝0
思考2 若y＝h(x)＝f(x)＋g(x)，I(x)＝f(x)－g(x)，那么h′(x)，I′(x)分
别与f′(x)，g′(x)有什么关系？
答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx.
∴h′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xln x； 解 f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.
解答
x－1 (2)y＝x＋1； 解 方法一 y′＝xx＋ －11′＝x＋1x－＋1x－2 1＝x＋212. 方法二 y＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
A.2 解析
1 B.2
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中非常重要的一个内容，它们是利用导数的性质进行四则运算的基本规则。
本质上，这些规则是微分操作与代数运算之间的对应关系，它们使得我们能够灵活、高效地应用导数概念解决各种实际问题。
1. 常数倍法则：设k是常数，对于任意可导函数f(x)，有d/dx (k·f(x)) = k·(d/dx) f(x)。
它表示常数倍的函数导数等于常数倍的函数原函数的导数。
2. 常数法则：对于常数c，有d/dx(c) = 0。
它表示常数的导数等于0，因为常数在任意两点之间没有变化。
3.基本变换法则：设f(x)和g(x)是可导函数，对于任意实数a和b，有：a. d/dx (f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)，它表示函数的加减运算在取导数时可以分别取导。
b. d/dx (a·f(x) ± b·g(x)) = a·(d/dx)f(x) ±b·(d/dx)g(x)，它表示常数倍的函数的加减运算在取导数时可以先取导再进行加减运算。
4.乘积法则：设u(x)和v(x)是可导函数，对于任意实数a和b，有：d/dx (u(x)·v(x)) = u(x)·(d/dx)v(x) + v(x)·(d/dx)u(x)，它表示两个函数乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数再加上第二个函数乘以第一个函数的导数。
特别地，若其中一个函数是常数函数，则该法则简化为常数倍法则。
5.商法则：设u(x)和v(x)是可导函数，对于任意实数a和b（b≠0），有：d/dx (u(x)/v(x)) = (v(x)·(d/dx)u(x) -u(x)·(d/dx)v(x))/v^2(x)，它表示两个函数商的导数等于分子函数乘以分母函数的导数再减去分母函数乘以分子函数的导数，最后除以分母函数的平方。
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跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝xtan x； (2)f(x)＝2－2sin2x2； (3)f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； (4)f(x)＝sin x1＋sin x. 考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的应用 解 (1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin xcos x′ ＝xsin x′cos x－xsin xcos x′cos2x ＝sin x＋xcos xcos x＋xsin2xcos2x＝sin xcos x＋xcos2x. (2)∵f(x)＝2－2sin2x2＝1＋cos x， ∴f′(x)＝－sin x. (3)方法一 f′(x)＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x ＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵f(x)＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴f′(x)＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23. (4)∵f(x)＝sin x1＋sin x， ∴f′(x)＝cos x1＋sin x－sin x·cos x1＋sin x2＝cos x1＋sin x2. 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例2 (1)已知函数f(x)＝ln xx＋2xf′(1)，求f(x)； (2)设f(x)＝(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f′(x)＝xcos x. 考点 导数的应用 题点 利用导数求函数解析式 解 (1)由题意得f′(x)＝1－ln xx2＋2f′(1)， 令x＝1，得f′(1)＝1－ln 11＋2f′(1)，即f′(1)＝－1. 所以f(x)＝ln xx－2x. (2)由已知得f′(x)＝[(ax＋b)sin x＋(cx＋d)cos x]′ ＝[(ax＋b)sin x]′＋[(cx＋d)cos x]′ ＝(ax＋b)′sin x＋(ax＋b)(sin x)′＋(cx＋d)′cos x＋(cx＋d)(cos x)′ ＝asin x＋(ax＋b)cos x＋ccos x－(cx＋d)sin x ＝(a－cx－d)sin x＋(ax＋b＋c)cos x. 又因为f′(x)＝xcos x， 所以{a－d－cx＝0，ax＋b＋c＝x，即{a－d＝0，－c＝0，a＝1，b＋c＝0， 解得a＝d＝1，b＝c＝0. 反思与感悟 求解此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．
3．若函数f(x)＝exx在x＝x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值等于( )
A．0
B．1
C.12
D．不存在
考点 导数的运算法则
题点 导数的除法法则及运算
答案 C
解析 ∵f′(x)＝xex－exx2，
又f′(x0)＋f(x0)＝0，
x0ex0 ex0 ex0
∴
x02
＋ x0 ＝0，解得x0＝12.
一、选择题
1．下列求导运算正确的是( )
A.(x＋3x′＝1＋3x2
B．(log2x)′＝1xln 2 C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
考点 导数的运算法则
题点 导数运算法则的应用
答案 B
解析 A中，(x＋3x′＝1－3x2，故错误；
B中，(log2x)′＝1xln 2，故正确； C中，(3x)′＝3xln 3，故错误；
考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的应用 解 (1)f′(x)＝(13ax3＋bx2＋c′ ＝(13ax3′＋(bx2)′＋c′＝ax2＋2bx. (2)f′(x)＝(xln x＋2x)′＝(xln x)′＋(2x)′ ＝x′ln x＋x(ln x)′＋2xln 2＝ln x＋1＋2xln 2. (3)方法一 f′(x)＝(x－1x＋1′ ＝x－1′x＋1－x－1x＋1′x＋12 ＝x＋1－x－1x＋12＝2x＋12. 方法二 ∵f(x)＝x－1x＋1＝x＋1－2x＋1＝1－2x＋1， ∴f′(x)＝(1－2x＋1′＝(－2x＋1′ ＝－0－2x＋1′x＋12＝2x＋12. (4)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′· ex＋x2· (ex)′ ＝2x· ex＋x2· ex＝ex(2x＋x2)． 反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分． (2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接 应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化 解题过程． (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用 积、商的求导法则求导．
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3
C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1
D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x
考点 导数的运算法则
题点 导数运算法则的应用
答案 D
解析 D中，∵y＝sin x＋cos x，
∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x.
3．2.3 导数的四则运算法则
学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综 合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
知识点一 和、差的导数 已知f(x)＝x，g(x)＝1x. 思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？ 答案 f′(x)＝1，g′(x)＝－1x2. 思考2 试求Q(x)＝x＋1x，H(x)＝x－1x的导数． 答案 Q′(x)＝1－1x2. H′(x)＝1＋1x2. 梳理 和、差的导数 (f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)． 知识点二 积、商的导数 (1)积的导数 ①[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． ②[Cf(x)]′＝Cf′(x)． (2)商的导数 []fxgx′＝f′xgx－fxg′xg2x(g(x)≠0)． 注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，[]fxgx′≠f′xg′x.
考点 导数的运算法则
题点 导数的加减法则及运算
答案 e2
解析 ∵f′(x)＝exx－2x3＋1x＋2kx2，
∴f′(1)＝－e＋1＋2k＝1，解得k＝e2.
4．设函数f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y
＝1，确定b，c的值．
考点 导数的应用
2．设y＝－2exsin x，则y′等于( )
A．－2excos x
B．－2exsin x
C．2exsin x
D．－2ex(sin x＋cos x)
考点 导数的运算法则
题点 导数的乘法法则及运算
答案 D
解析 y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x)．
3．对于函数f(x)＝exx2＋ln x－2kx，若f′(1)＝1，则k＝________.
跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)等于( ) A．－3 B．2e C.21－2e D.31－2e 考点 导数的应用 题点 利用导数求函数解析式 答案 D 解析 ∵f′(x)＝2exf′(1)＋3x， 令x＝1，得f′(1)＝2ef′(1)＋3， ∴f′(1)＝31－2e. 命题角度2 与切线有关的问题 例3 已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处 的切线方程． 考点 题点 解 因为当a＝－1时， f(x)＝ln x＋x＋2x－1，x∈(0，＋∞)． 所以f′(x)＝x2＋x－2x2，x∈(0，＋∞)， 因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)＝ln 2＋2， 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(ln 2＋2)＝x－2， 即x－y＋ln 2＝0. 引申探究 若本例函数不变，已知曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋ln 2＝0，求a. 解 因为f′(x)＝1x－a＋a－1x2＝－ax2＋x＋a－1x2， 又曲线在点(2，f(2))处的切线方程为x－y＋ln 2＝0， 所以f′(2)＝1, 即－22a＋2＋a－122＝1， 即a＝－1. 反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的 条件可以进行恒等变换，从而转化为这三个要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准 确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程． 考点 导数的应用
(1)[f(x0)＋g(x0)]′＝f′(x0)＋g′(x0)．( × ) (2)两函数和的导数等于它们各自导数的和，两函数积的导数却不等于它们各自导数的积．
( √ ) (3)[]fxgx′＝f′xg′x.( × )
类型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数： (1)f(x)＝13ax3＋bx2＋c；(2)f(x)＝xln x＋2x； (3)f(x)＝x－1x＋1；(4)f(x)＝x2· ex.
4．若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝π2处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等于(
)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
考点 导数的应用
题点 与切线有关的问题
答案 D
解析 ∵f′(x)＝sin x＋xcos x，∴f′(π2＝1，