季节性数据模型

利用这个表，我们能够细心观察观察值中的两种动态关系：连续月份的观察值的 关系和连续年的同一个月的观测值的关系。由于不同年份的同一个月份的数据是相似 的，因而很自然的考虑数据中出现的季节模式，换句话说，间隔 12 个时期的观察值
2
是相关的。ARIMA(p,d,q)模型描述了连续时期（月）的观察值间的相依关系，我们同 样可以用相似的模型来表示连续年份的同一月份的观察值间的时间相依关系。
我们可以证明它的自相关函数为：
⎧
⎪
⎪⎪ ⎨
⎪ ⎪
ρ11
ρ1 =
ρ12 = = ρ13
−θ 1+θ 2
−Θ 1+ Θ2 = ρ1 ×
ρ12
⎪⎩ ρk = 0,其它
根据它，我们可以对乘积 MA(1)模型进行识别。
例 2：乘积 AR（1）模型
在季节 AR(1)模型中，假设{et }是规则的 AR（1）模型，这里，我们采用偏差序列
Z t = c0 + c1t + β1 x1t + β 2 x2t + at
1.2 用哑变量表示的季节性模型
（4.1）
1
用哑变量表示的季节性模型的基本模型为：
Z t = c0 + β1 x1t + β 2 x2t + L + β11 x11t + at
其中， xit 为指标变量，即
xit
=
⎧1, ⎩⎨0,
第四章 季节性数据模型
本章主要内容
1．掌握传统的季节性模型及其缺陷； 2．掌握季节性 ARIMA 模型的建模方法； 3．掌握常见的一些季节性模型。
第一节 传统的季节性模型
1.1 三角函数表示的季节性模型
三角函数表示的季节性模型的基本模式是：
Zt
=
d sin( 2π 12
+ φ) + at
其中： d 是振幅，φ 是相角，利用三角公式，可以化成：
3
不起作用，然而这能够弥补。只要假设{et }是规则的 ARMA 模型而不是 i.i.d 的零均值
白噪声序列即可。 例 1：乘积 MA（1）模型
在季节 MA(1)模型中，假设{et }是规则的 MA（1）模型，就是：
Z t = C + et − Θet−12 ， et = at − θat−1
∴ Z t = C + at − θat−1 − Θ(at−12 − θat−13 )
2.1 季节性 MA 模型
Z t = C + (1 − ΘB12 )et
Or Zt = C + et − Θet−12
如果{et }是 i.i.d 的零均值白噪声序列，这就是以年为周期的季节性 MA(1)
模型，这种情况下，很容易检验它的自相关函数将是：
ρk
=
⎪⎧ ⎨1
− +
θ θ
2
, k = 12
⎪⎩ 0 , k ≠ 12
zt = Zt −η ，就是： zt − Φzt−12 = et ， et − φet−1 = at
4
∴ zt − Φzt−12 = et φ (zt−1 − Φzt−13 ) = φet−1
两式相减，我们有： zt − φzt−1 − Φzt−12 + φΦzt−13 = at (1 − φB − ΦB12 + ΦφB13 )zt = at
t为第i月份 其它
，
i
=
1，2，L，11
若模型中含有其它成分，模型中可以加入相应的成分。
带趋势项的模型为：
Z t = c0 + c1t + β1 x1t + β 2 x2t + L + β11x11t + at 上述模型在现实中还广泛应用，但它主要的一个缺点是它们假设趋势和季节性都 是决定性的，但是对经济和商业数据两者都不一定正确，我们下面讨论 20 世纪 60 年 代 Box 和 Jenkins 提出的改进的方法。
Z t = β1 x1t + β 2 x2t + at
其中， β1
= d cosφ ， β2
= d sinφ
， x1t
= sin( 2π 12
t) ， x2t
= cos( 2π 12
t)
若模型中含有其它成分，模型中可以加入相应的成分。
Hale Waihona Puke Baidu
带常数项的模型为：
Z t = c0 + β1 x1t + β 2 x2t + at 带趋势项的模型为：
或： (1 − φB)(1 − ΦB12 )zt = at
这就是乘积 AR 模型，第一个表示连续观察的动态结构，第二个表示 12 个时间间隔的观察 间的季节性动态结构。当然这个模型能一般化成高阶模型。
例 3：乘积 ARIMA（0，1，1）模型（航线模型） 季节性 ARIMA（0，1，1）模型为：
Z t − Z t−12 = et − Θet−12
=
(1
−
ΘB12
)
(1 − θB) (1 − B)
at
所以：
(1 − B12 )(1 − B)Zt = (1 − θB)(1 − ΘB12 )at 这一模型就是乘积 ARIMA(0,1,1)模型，这一模型已发现在实际中非常有用。由于 它起源于航线数据，所以把它命名为航线模型。
5
为了尝试识别这一模型，如果我们令：
参数估计
模型检验
(1 −
B)(1 − B12 )xt
=
1 1
+ +
0.66137 B 0.78978B
(1
−
0.77394
B12
)ε
t
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟阶数 6 12 18
结果
统计量 4.50 9.42
P值 0.2120 0.4002
20.58
0.1507
模型显著
待估参数
t 统计量 P 值 -4.66 <0.0001 23.03 <0.0001
= C + at − θat−1 − Θat−12 + Θθat−13
= C + (1 − θB − ΘB12 + ΘθB13 )at 或： Zt = C + (1 − θB)(1 − ΘB12 )at
模型的右边把常数 C 分开后，现在是表示成两个因子的乘积，第一个表示连续观察的动态结 构，第二个表示 12 个时间间隔的观察间的动态结构。虽然它是一个特殊的 MA（13）模型，它只 包含两个参数，每一个都集中模型动态结构的一个方面。
-6.81 <0.0001
参数均显著
8
乘积季节模型拟合效果图
2.4 广义乘积模型 更一般，对有周期长度为“S”的季节或循环行为的序列，一类广义乘积模型，
记作 ARIMA( p, d, q) × (P, D,Q)s 模型，是由下式给出：
其中：
Φ P (B s )φ p (B)(1 − B s ) D (1 − B)d Zt = C + ΘQ (B s )θ q (B)at
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Z6
Z7
Z8
Z9
Z10
Z11
Z12
Z13
Z14
Z15
Z16
Z17
Z18
Z19
Z20
Z21
Z22
Z23
Z24
Z25
Z26
Z27
Z28
Z29
Z30
Z31
Z32
Z33
Z34
Z35
Z36
.
.
1960
Z133
Z134
Z135
Z136
Z137
Z138
Z139
Z140
Z141
Z142
Z143
Z144
或 (1 − B12 )Z t = (1 − ΘB12 )et
假设{et }是规则的 ARMA(1,1)模型，即
则有：
et − et−1 = at − θat−1 或 (1 − B)et = (1 − θB)at
et
=
(1 − θB) (1 − B) at
(1 − B12 )Zt
=
(1 − ΘB12 )et
这正好与规则的 MA(1)模型的自相关函数相一致。该模型当然能扩展成高阶的季节 MA 模型。
2.2 季节性 AR 模型 类 似 AR 模 型 ， 我 们 可 以 考 虑 季 节 性 AR 模 型 。 季 节 性 AR(1) 模 型 为 ：
(1 − ΦB12 )Z t = C + et or Zt − ΦZt−12 = C + et
则：
wt = (1 − B12 )(1 − B)Zt
wt = (1 − θB)(1 − ΘB12 )at 这就是乘积 MA(1)模型。 这样我们就可以用下面方法尝试识别此模型：
* Zt 的 SACF 持续保持很大并彼此很接近，则作一次差分得到 ut ；
* ut 的 SACF 在滞后 12，24，36，…，持续保持很大，则作 12 阶差分得到 wt ；
12
尝试识别这些模型，下面笨劣的方法发现还是很管用的 * 季节差分，SACF 在滞后 S, 2S, 3S,…保持很大； * 季节 AR, SACF 在滞后 S, 2S, 3S,…的地方拖尾，SPACF 在滞后 S 或 2S 截尾； * 季节 MA ，SACF 在滞后 S 或 2S 截尾。
13
11
参数估计
(1 −
B)(1 −
B4 )xt
=
1 1− 0.44746B + 0.28132B4
εt
拟合效果图
第三节 常见的季节性模型
1. (1 − B)(1 − B s )Zt = (1 − θB)(1 − ΘB s )at 2. (1 − B)(1 − B s )Zt = (1 − θB − ΘB s )at 3. (1 − B s )Zt = (1 − θB)(1 − ΘB s )at 4. (1 − B s )Zt = (1 − θB − ΘB s )at 5. (1 − B s )Zt = c + (1 − θB)(1 − ΘB s )at 6. (1 − B s )Zt = c + (1 − θB − ΘB s )at 7. (1 − B)Zt = (1 − ΘB s )at 8. (1 − φB)(1 − B s )Zt = (1 − ΘB s )at 9. (1 − ΦB s )Zt = (1 − θB)(1 − ΘB s )at
如果{et }是 i.i.d 的零均值白噪声序列，这就是以年为周期的季节性 MA(1)模型，
这种情况下，很容易检验它的自相关函数将是：
ρk
=
⎪⎨⎧Φ
k 12
⎪⎩ 0
, k = 12,24,36,L , 其它
这个模型也可看作是规则的 AR(12)模型的特殊情况，也能扩展成高阶的 AR 模型。
2.3 乘积模型 季节性 MA 模型和季节 AR 模型的缺点是它们对连续的观察之间可能有的动态关系
第二节 季节性 ARIMA 模型
考虑 1949 年 1 月到 1960 年 12 月国际航空公司旅客人数取对数后的月度数据，
我们可以把数据按月和年用表 4.1 所示的二维表形式表示。
表 4.1 国际航空公司旅客人数取对数后的数据
月 年
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
1949 1950 1951
.
* wt 的 SACF 服从乘积 MA（1）模型的 ACF 模式，即在 1 和 12 很大，在 11 和 13 也比较大，其它地方很小。
例 4.1:拟合 1948——1981 年美国女性月度失业率序列
差分平稳 一阶、12 步差分
差分后序列自相关图
6
差分后序列偏自相关图
7
乘积季节模型拟合
模型定阶: ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12
9
对原序列作一阶差分消除趋势，再作 4 步差分消除季节效应的影响，差分后序列 的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数
6
12
18
统计量 43.84 51.71 54.48
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001
10
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
模型拟合 定阶 ARIMA( ARIMA(4,1,0) × (0,1,0)4
ΦP (Bs ) = 1− Φ1Bs − Φ2Bs −L− ΦP Bs
ΘQ (B s ) = 1 − Θ1B s − Θ2 B s − L − ΘQ B s
φ p (B) = 1 − φ1B − φ2 B − L − φ p B
θq (B) = 1−θ1B −θ2B −L −θq B
ARIMA( p, d, q) × (P, D,Q)s 模型的识别方法。 例 4.2 拟合 1962——1991 年德国工人季度失业率序列