函数的极限

第三节 函数的极限

一、知识归纳 1、知识精讲：

1）当x →∞时函数f(x)的极限:

当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞

→)(lim ,(或

x

→+∞时,f(x)→a)

当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞→)(lim ,(或

x

→-∞时,f(x)→a)

注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题

=+∞

→)(lim x f x a x f x =-∞

→)(lim ⇔a x f x =∞

→)(lim

2）当x →x 0时函数f(x)的极限:

当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作

a x f x x =→)(lim 0

,(或

x →x 0时,f(x)→a)

注：a x f x x =→)(lim 0

与函数

f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都

无关。

3）函数f(x)的左、右极限:

如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-

→)(lim

。

如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+

→)(lim 0

。

注：=-

→)(lim

x f x x a x f x x =+

→)(lim 0

⇔a x f x x =→)(lim 0

。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。

注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-

→)(lim 0

x f x x )(lim 0

x f x x +→；

②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。

4）函数极限的运算法则：

与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞

→∞

→那么

B A b a n n n +=+∞

→)(lim B A b a n n n -=-∞

→)(lim

B A b a n n n .).(lim =∞

→ )0(lim

≠=∞→B B A

b a n

n n 注：以上规则对于x →∞的情况仍然成立。

2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。

3.几个重要极限：

（1）01

lim =∞

→n

n （2）C C n =∞

→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1

→q q n n 例1．求下列各极限

220241

(1)lim()42

(2))

(3)lim cos (4)lim

cos sin 22

x x x x x x x x

x

x

x x π→→∞

→→

-----

解：(1)原式=lim 2→x 4

1

21-=+-x (2)原式=∞

→x lim b a x

ab x b a x ab x b a +=++++++)()(2

(3)因为1||lim 0

=+

→x x x ，而1||lim 0-=-→x x x ，≠+

→|

|lim

x x x ||lim

0x x x -

→，所以|

|lim 0x x

x →不存在。 (4)原式=2

sin 2cos 2sin 2cos lim

22

2x x x x x --→

π=2)2sin 2(cos lim 2=+→x x x π （5）0)31(lim =+∞→x x ，但-∞→x 时，x )31(→+∞。可知∞→x 时，lim ∞

→x x

)3

1(不存在。 【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。

②第（5）小题易与数列极限lim ∞→n n

)3

1

(相混，

数列极限中∞→n 特指+∞→n ，而函数极限中的∞→x 包括了+∞→x 与-∞→x 。

例2 求下列极限：

222235721

(1)lim()1111

n n n n n n →∞+++++++++； 1

1

.1242(2)lim()1393n n n --→∞++++++++

解：（1） )1

1

2171513(

lim 2222+++++++++∞

→n n n n n n 2

2222

2[3(21)]

1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n

→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++（2）

11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123

n n n n

n n n n n n n n n

--→∞→∞→∞→∞-++++--====++++--- ()()()0

320203(1)0(0)():

120

()4()

(2)(),1,5,()x x b x f x x f x x f x x f x f x f x x x

→→∞→⎧+>⎪

==⎨⎪+>⎩-==x x x 例设试确定b 的值,使lim 存在为多项式且lim lim 求的表达式解:（1）+

→0lim x f （x ）=

+→0

lim x

（2x +b ）=b ,-

→0lim x f （x ）=

-→0

lim x

（1+2x ）=2,

当且仅当b =2时,

+

→0lim

x f （x ）=

-

→0lim

x f （x ）,

故b =2时,原极限存在. （2）由于

f （x ）是多项式,且∞→x lim

x

x x f 3

4)(-=1,

∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0

lim

→x x

x f )

(=5, 即0

lim →x （4x 2+x +a +x

b ）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .

评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同.

（2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.