曽谨言量子力学第1章习题解答
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第一章
量子力学的诞生
1.1设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,
,2,1,
x V E m p n nh x d p -===⋅⎰
)(x V
解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：222
1
)(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =
， （2）
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a
a
a
a
==⋅=-=-=⋅⎰⎰
⎰+-+-222222222)21(22πωπ
ωωω
得ω
ωπm n
m nh a 22
=
=
（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,
==n n E n ω （4）
积分公式：
c a
u a u a u du u a ++-=-⎰
arcsin 2222
22
2
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有
()⎰==⋅ ,3,2,1,
x
x x
n h n dx p
即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）
a h n p x x 2/=∴,
同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m
p p p m E z
y x z y x n n n z
y x π ,3,2,1,,=z y x n n n
1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用
,,2,1,20
==⎰
n nh d p π
ϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
ϕ
=。 解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。
它的角动量.
ϕϕI p =（广义动量），ϕp 是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,220
===⎰
m mh p dx p ϕ
π
ϕπ
mh p =∴
ϕ，
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
==ϕ，
,3,2,1=m
补充：
1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动，
⎩
⎨⎧<<><∞=a x a
x x x V 0,0,0,)(
试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2
=⋅
=n n a λ
n a /2=∴λ （1）
又据de Broglie 关系
λ/h p = （2）
而能量
()
,3,2,12422/2/2
2
222
222
22==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能222
1
)(x m x V ω=
] (解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:⎰
=nh pdq
在量子化条件中,令⋅
=x m p 为振子动量,x q = 为振子坐标,设总能量E
则 2
22
22x m m P E ω+
= )2(222x m E m p ω-=
代入公式得:
nh dx x m E m =-⎰
)2
(22
2ω
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA 的四倍,要决定振幅a ,注意在A 或B 点动能为0,222
1
a m E ω=
,(1)改写为: nh dx x a m a
a
=-⎰-222ω (2)
积分得:nh a m =πω2
遍乘
π
ω
21得 ωπ
ω n h E ==2
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x ,用t 的项表示:
t a x q ωsin ==
求微分:tdt a dx dq ωωcos == (4) 求积分:t ma x m p ωωcos ==⋅
(5) 将(4)(5)代量子化条件:
nh tdt ma pdq T
==⎰⎰
02
22cos ωω T 是振动周期,T=
ω
π
2,求出积分,得