《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

图

题46-第六章 刚体的基本运动 习题全解

[习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=ϕ（ϕ以rad 计，t 以s 计）。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点，在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小，并问物体在什么时刻改变它的转向？ 解：

角速度： 2394)34(t t t dt d

dt d -=-==

ϕω 角加速度：t t dt

d

dt d 18)94(2-=-==ωα 速度： )94(2t r r v -==ω

切向加速度：rt t r a t 18)18(-=-==ρα

法向加速度：222

22

)94()]94([t r r

t r v a n -=-==ρ

加速度： 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+=

物体改变方向时，速度等于零。即：

[习题6-2] 飞轮边缘上一点Ｍ，以匀速ｖ＝１０ｍ／ｓ运动。后因刹车，该点以

)/(1.02s m t a t =作减速运动。设轮半径Ｒ＝０.４ｍ，求Ｍ点在减速运动过程中的运动方程及

ｔ＝２ｓ时的速度、切向加速度与法向加速度。 解：

t dt

d a t 1.04.022-===ϕ

ρα （作减速运动，角加速度为负）

02=C ，故运动方程为：

速度方程：1005.02

+-=t v

切向加速度：)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=⨯-=-==

法向加速度：222)25125.0(4.0+-⨯==t a n ρω

[习题6-3] 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过５分钟

后，转子的角加速度为)/(600

s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转？ 解：kt dt d ==ωα ππϕ60000450

300|3300=⨯==s t ， 转数)30000260000N r （＝

π

π

[习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆m OA 5.1=，在铅垂面内转动，杆m AB 8.0=，Ａ端为铰链，Ｂ端有放置工件的框架。在机构运动时，工件的速度恒为s m /05.0，ＡＢ杆始终铅垂。设运动开始时，角0=ϕ。求运动过程中角ϕ与时间的关系。并求点Ｂ的轨

迹方程。

解：

ＯＡ作定轴转动；ＡＢ作刚体的平动。 01=C 故

30

cos

5.1cos 5.1t

x x A B ===ϕ………………….(a) 8.030

sin 5.18.0sin 5.18.0-=-=-=t

y y A B ϕ………(b)

由(a) 、(b)得：

1)5.18.0()5.1(22=++B B y x ，即Ｂ点的轨迹方程为： 1)5

.18.0()5.1(22=++y x （圆） [习题6-5] 揉茶机的揉桶由三个曲柄支持，曲柄的支座Ａ，Ｂ，Ｃ与支轴ａ，ｂ，ｃ都恰成等

边三角形，如题6-3附图所示。三个曲柄长度相等，均为mm l 150=，并以相同的转速

min /45r n =分别绕其支座在图示平面内转动。求揉桶中心点Ｏ的速度和加速度。

解：三根曲柄作定轴转动，揉桶作刚体平动，故a 与O 的速度、加速度相同。

[习题6-6] 刨床上的曲柄连杆机构如题6-６附图所示，曲柄ＯＡ以匀角速ω０绕Ｏ轴转动，其转动方程为φ＝ω０ｔ。滑块Ａ带动摇杆Ｏ１Ｂ绕轴Ｏ１转动。设ＯＯ１＝ａ，ＯＡ＝ｒ。求摇杆的转动方程和角速度。

解：

故摇杆的转动方程为：

[习题6-7] 槽杆ＯＡ可绕一端Ｏ转动，槽内嵌有刚连于方块Ｃ的销钉Ｂ，方块Ｃ以匀速率沿水平方向移动。设ｔ＝０时，ＯＡ恰在铅直位置。求槽杆ＯＡ的角速度与角加速度随时间ｔ变化的规律。

解：销钉Ｂ与Ｃ同在一方块上作刚体的平动，故它们的速度 度相同。 角速度：

2

2222222)

(11t v b bv b v t v b b b v b

t v dt

d C C C C C C +=⋅+=⋅+=

=ϕω 角加速度：2

2223

2

2222222)

(22)(1)(t v b t bv t v t v b bv t v b bv dt d dt d C C C C C C C +-=⋅+⋅-=+==ωα [习题6-8] 带传动系统如图所示,两轮的半径分别为ｒ１＝７５０ｍｍ,ｒ２＝３００ｍｍ，轮Ｂ由静止开始转动，其角加速度为０.４πｒａｄ／ｓ２

。设带轮与带间无滑动，问经过多少秒后Ａ轮转速为３００ｒ／ｍｉｎ？ 解：

传速比：

1

2

21r r n n = [习题6-9] 两轮Ⅰ，Ⅱ，半径分别为ｒ１＝１００ｍｍ，ｒ２＝１５０ｍｍ，平板ＡＢ放置在两轮上，如图所示。已知轮Ⅰ在某瞬时的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝０.５ｒａｄ／ｓ２

，求此时平板移动的速度和加速度以及轮Ⅱ边缘上一点Ｃ的速度和加速度（设两轮与板接触

处均无滑动）。 解：

平板作平动，其速度、加速度与轮Ｉ的轮缘切向速度与切向加速度分别相同。

[习题6-10] 电动绞车由带轮Ⅰ和Ⅱ及鼓轮Ⅲ组成，鼓轮Ⅲ和带轮Ⅱ刚连在同一轴上。各轮半径

分别为ｒ１＝３００ｍｍ，ｒ２＝７５０ｍｍ，ｒ３＝４００ｍｍ。轮Ⅰ的转速为ｎ＝１００ｒ／ｍｉｎ。设带轮与带之间无滑动，试求物块Ｍ上升的速度和带ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ各段上点的加速度的大小。 解： 传速比：

0==CD AB a a （皮带作匀速度运动）

BC 带： ＤＡ带：

[习题6-11] 摩擦传动的主动轮Ⅰ作６００ｒ／ｍｉｎ的转动，其与轮Ⅱ的接触点按箭头所示的方向移动，距离ｄ按规律ｄ＝（１００－５ｔ）ｍｍ变化（ｔ以ｓ计）。求：（１）以距离ｄ

的函数表示Ⅱ的角加速度；（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度。已知摩擦轮的半径ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ。 解：

（１）以距离ｄ的函数表示Ⅱ的角加速度 主动轮轮缘速度：

（２）当ｄ＝ｒ时，轮Ⅱ边缘上一点的全加速度