线性方程组典型习题及解答

线性方程组

1. 用消元法解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-

+-+=--

+

-

=-+-+

=-

-+-5

2522220

21

22325

4

321

53

2

154321

5

4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 解: 方程组的增广矩阵 :

⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------420

200110100112430211321312630202530112430211321512522110112121111211321⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--------→60000

0110100112430211321,可知,系数矩阵的秩为3,增广矩阵的秩为4,系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,从而方程组无解.

2. 讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪

⎨⎧=++

=

+

+=++2

3

2

1

3

2

1

321

1

λλλλλx x x x x x x x x 有唯一解、无解和有无穷多解。

解：将方程组的增广矩阵进行初等行变换，变为行阶梯矩阵。

()()

()()B

A =⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡+------→→⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣

⎡→⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22

2

2211210

1101

111

1

11111

1

1

1

11

1

λλλλλλλ

λλλ

λλλλλλλ

λλ

λ 于是，当2,1-≠λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于3，等于未知量的个数，此

时方程组有唯一解;2

)1(,21,213

321++-=+=++-

=λλλλλx x x 当2-=λ时，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，此时方程组无解；

当1=λ时，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，都等于1，小于未知量的个数，此时方程组有无穷多解，即3211x x x --=，其中32,x x 为自由未知量。

3. 当b a ,取何值时线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++b

x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325

432154321334536223231有解？并求其解。

解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换：

对方程组的增广矩阵A 施行初等行变换可变换为

.20

000003622102

51101⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-----b a a 。由此可知，()2=A r ，而且当02=+-=b a a ，即 2,0==b a 时，()()2==A r A r ，从而原方程组有无穷多解：

为任意常数

54354325431,,,6223,25x x x x x x x x x x x ---=-++=