1.4 次序统计量及其分布

1 , n!
二、单个次序统计量的分布
定理2 设总体X的密度函数为f(x), 分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本, 则第k个次序统计量X(k)的密度函 数为
n! k 1 n k fk ( x) ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x ) ( k 1)!( n k )!
F1n ( x , y ) P { X (1) x , X ( n ) y } P{ X ( n ) y } P{ x X (1) X ( n ) y } ( F ( y )) P{ x X i y } ( F ( y ))n ( F ( y ) F ( x ))n
1.4 次序统计量及其分布
一、次序统计量。
定义 设 ) 称为
该样本的第i 个次序统计量，它的取值是将样本观测
值由小到大排列后得到的第 i 个观测值。其中 X(1)=minX1, X2, …, Xn 称为该样本的最小次序统计量， X(n)=maxX1, X2, …, Xn
可给出的 X(1) , X(2), X(3) 分布列如下：
X (1)
0
19 27
1
7 27
2
1 27
X (2)
0
7 27
1
13 27
2
7 27
p
X (3)
p
0
1 27
1
7 27
2
19 27
p
这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步, 给出两个次序统计量的联合分布, 如:
X(1) 和X(2) 的联合分布列为
证明:k 1,n时,直接可得 F1 ( x ) P ( X (1) x ) 1 P (min( X i ) x ) 1 (1 F ( x ))n Fn ( x ) P ( X ( n ) x ) P (max( X i ) x ) ( F ( x ))
n! pij ( y , z )= [ F ( y )]i 1[ F ( z ) F ( y )] j i 1 ( i 1)!( j i 1)!( n j )! [1 F ( z )]n j p( y ) p( z ), yz
定理3： ( X (1) , X ( n ) )的联合分布密度为（连续型) n( n 1)( F ( y ) F ( x ))n 2 f ( x ) f ( y ), x y f X(1), X( n ) ( x , y ) x y 0 证明：当x y时，显然成立。 当x y时{X ( n ) y } { X (1) x , X ( n ) y } { X (1) x , X ( n ) y }
1 k 1 k 1 n k Cn F ( x )C n ( F ( x )) (1 F ( x x )) 1
nC
k 1 n 1
( F ( x ))
k 1
(1 F ( x ))
n k
f ( x )d x

k 1 k 1 n k dFk ( x) nCn ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x)dx 1 n! k 1 n k fk ( x) ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x ) ( k 1)!( n k )!
一 二 三 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
一 二 三 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
一 二 三 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2
称为该样本的最大次序统计量。
样本X1, X2,…,Xn 是独立同分布的，而次序统计
量 X(1), X(2),…, X(n) 则既不独立，分布也不相同。
例 设总体X 的分布为仅取0,1,2的离散均匀分布,分 布列为
x
p
0 1/3
1 1/3
2 1/3
现从中抽取容量为3的样本，其一切可能取值有 33=27种，下表列出了这些值，由此
二者不等，由此可看出
X(1) 和 X(2)是不独立的。
定理1：次序统计量是充分统计量.
证明：
P ( X i1 x(1) ,, X in x( n ) | X (1) x(1) ,, X ( n) x( n) )

P ( X i1 x(1) , , X in x( n ) ) P ( X (1) x(1) , X (2) x(2) , X ( n ) x( n ) )
证法 2
i Fk ( x ) P { X k x } C n ( F ( x ))i (1 F ( x ))n i ik F ( x) n! k 1 n k t (1 t ) dt 0 ( k 1)!( n k )! n
n! f k ( x ) ( Fk ( x )) ( F ( x )) k 1 (1 F ( x )) n k f ( x ) ( k 1)!( n k )!
n i 1 n
2 F1n ( x , y ) n( n 1)( F ( y ) F ( x ))n 2 f ( x ) f ( y ) f1 n ( x , y ) x y 0
对n个次序统计量也可给出其联合分布， 定理：设总体 X 的密度函数为 f ( x ) 分布 函数为F(x),( X1 , X 2 ,, X n )T 为样本，则次序 统计量 ( X(1) , X(2) ,, X( n) )T 的联合分布密度函数为
X(1)
X(2)
0 7/27 0 0
1 9/27 4/27 0
2 3/27 3/27 1/27
0 1 2
因为 P(X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ，
因为 P( X(1) = 0, X(2) = 0) =7/27 ， 而
P( X(1) = 0)*P( X(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，
n n ! f ( yi ), y1 y2 yn f ( y1 , y2 , , yn ) i 1 0
样本中位数和样本极差
T T ( X , X , , X ) X ( X , X , , X ) • 设 1 2 的样本， (1) (2) n 是来自总体 ( n)
'
当k 1, k n时,可得 f1 ( x ) n(1 F ( x ))n 1 f ( x ) f n ( x ) n( F ( x ))n1 f ( x )
三、多个次序统计量的联合分布
对任意多个次序统计量可给出其联合分布， 以两个为例说明：
定理3 次序统计量 (x(i), x(j)), (i j) 的联合 分布密度函数为
n
一般地, 用 P{ x X ( k ) x x } 表示 X 1 , X 2 , ,X n中有 一个落在( x , x x ], k 1个落在( , x ], n k 个落在 ( x x , )的概率, 则
Fk ( x ) P { x X k x x }
是次序统计量，则样本中位数定义为
X n1 , 2 X 1 X n 1 ), (Xn 2 2 2 它的值为 x n1 , 2 1 x x n 1 ), ( xn 2 2 2 n为奇数 n为偶数
n为奇数 n为偶数
样本极差定义为 R X ( n ) X (1) max X i min X i 它的值为 r xn x1 max xi min xi