上海市嘉定区2020届高三数学二模

上海市嘉定区2020届高三二模数学试卷

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 已知集合{2,4,6,8}A =，{1,2,3}B =，则A B =I

2. 线性方程组2538

x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为

3. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的侧面积等于

4. 在5(2)x -的二项展开式中，项的系数为

5. 若实数x 、y 满足0120x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩

，则z x y =+的最大值为

6. 已知球的主视图的面积是z x y =+，则该球的体积等于

7. 设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S =

8. 已知函数()2log a f x x =+（0a >且1a ≠）的反函数为1()y f x -=，若1(3)2f -=，则a =

9. 设z ∈C ，290z +=，则|4|z -=

10. 从4对夫妇中随机抽取3人进行核酸检测，则所抽取的3人中任何两人都不是夫妻的概 率是 （结果用数值表示）

11. 设P 是双曲线2

2

18y x -=上的动点，直线3cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）与圆22(3)x y -+ 1=相交于A 、B 两点，则PA PB ⋅uu r uu r 的最小值是 12. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

若222sin a b c A ++=，

则A =

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 已知x ∈R ，则“1x >”是“|2|1x -<”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

14. 下列函数中，既是(0,)+∞上的增函数，又是偶函数的是（ ） A. 1y x

= B. 2x y = C. 1||y x =- D. lg ||y x = 15. 如图，若正方体1111ABCD A B C D -的侧面11BCC B 内动点P 到棱11A B 的距离等于它到 棱BC 的距离，则点P 所在的曲线为（ ）

A. 椭圆

B. 双曲线

C. 抛物线

D. 圆

16. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差

中项，若对任意的*n ∈N ，都有13[,]n n S s t S -

∈，则t s - 的最小值为（ ）

A.

23 B. 94 C. 12 D. 16

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，边长为3，5PC =， PD ⊥底面ABCD .

（1）求四棱锥P ABCD -的体积；

（2）求异面直线AD 与BP 所成角的大小.

（结果用反三角函数值表示）

18. 设常数a ∈R ，函数2()3sin 2cos f x x a x =+.

（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；

（2）若()36

f π

=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.

19. 某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元，为了调整产业 结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工，据估计，若能动员x （*x ∈N ）户农民 从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2%x ， 而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入为92()50

a x -（0a >）万元. （1）在动员x 户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总年收入，求x 的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a 的最大值.

20. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x = 的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r ，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；

（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r 为定值？若存在，求出点M 的坐标和

定值，若不存在，请说明理由.

21. 已知m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 满足：1

2n n n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数

， 记数列{}n a 的前n 项和为n S .

（1）若18a =，2m =，求7S 的值；

（2）若5m =，325S =，求1a 的值；

（3）若11a =，m 为奇数，求证：“1n a m +>”的充要条件是“n a 为奇数”.

参考答案

一. 填空题

1. {2}

2. 125318-⎛⎫ ⎪⎝⎭

3. 4π

4. 40

5. 3

6. 43

π 7. 63 8. 2 9. 5 10.

47 11. 3 12. 3π

二. 选择题

13. B 14. D 15. C 16. B

三. 解答题

17.（1）12；（2）5arctan 3.

18.（1）0a =；（2）{0,,}3π

π.

19.（1）050x ≤≤；（2）9.

20.（1）22184x y +=；（2）169OAB S =V ；（3）11(,0)4

M ，716MA MB ⋅=-uuu r uuu r . 21.（1）730S =；（2）17a =或10；（3）证明略.