9—4 欧拉公式的应用范围、经验公式 9—6提高压杆稳定性的措施

两端铰支
µ=1
λ=
µl 1×3.5
i = 0.032
=109
π 2E π 2 × 200×109 = ≈100 λp = 6 σp 200×10
λ > λp
2
∴ 可用欧拉公式
π EI 5 Fcr = = 4.67×10 N = 467kN 2 (µl)
F 由稳定条件 n = cr ≥ 3 N
F 467 ∴N ≤ cr = =156kN 3 3
cr
= a − bλ = 301M Fa
F =σ
cr
cr
⋅ A = 478KN
活塞的工作安全因数
n = Fcr =11.5 > nst F
所以满足稳定性要求。 所以满足稳定性要求。
例题：油缸活塞直经 D = 65mm，油压 F =1.2MPa。 65mm， =1.2MPa。 例题： 活塞杆长度 l =1250mm，材料为35钢，σS = 20MPa， =1250mm，材料为35钢 20MPa， E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直经。 210GPa， 6。试确定活塞杆的直经。
E σP
= 87.1
d i = = 0.025m 4 µl λ = = 40⋅ l i
µ =1
用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为
λ ≥ λP
40⋅l ≥ 81.7
l ≥ 2.04m
例题： 压杆截面如图所示。 例题： 压杆截面如图所示。若绕 y轴失稳可视为两端 固定， 轴失稳,可视为两端绞支。已知: 固定，若绕 z轴失稳,可视为两端绞支。已知:杆长 l=1m ,材料的弹性模量E=200GPa，σp=200MPa。 ,材料的弹性模量 材料的弹性模量E=200GPa， =200MPa。 求压杆的临界应力。 求压杆的临界应力。
已知： E = 200 GPa， σP = 200 MPa ， σS = 240 MPa ， GPa， 已知： 用直线公式时， MFa， MFa。 用直线公式时，a = 304 MFa， b =1.12 MFa。
（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度；
λP = π
压杆的 µ = 1
σcr σcr=σs σsA σP
O B
σcr=a−bλ
C
σ cr =
λ1 = π
E
σP
≈100
a −σs λ2 = b 2 π E
λ2
D
λ2
λ1
λ
0 < λ < λ2 称为小柔度杆，σcr = σs
λ2 < λ < λ1 称为中柔度杆，σcr = a − b λ π 2E λ > λ1 称为大柔度杆（细长杆），σcr = 2 ≥λ
3、合理选择材料 、 大柔度杆（细长压杆） 大柔度杆（细长压杆） 临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E 临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致 相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。 相等，所以选用高强度钢或低碳钢并无差别。
中柔度杆和小柔度杆 临界应力与材料的强度有关， 临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定 程度上可以提高压杆的稳定性。 程度上可以提高压杆的稳定性。
例题：AB，AC两杆均为圆截面杆 其直径=0.08m， 两杆均为圆截面杆， 例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径=0.08m， E=200GPa， =200MPa，容许应力[ ]=160MPa。 E=200GPa，σP=200MPa，容许应力[σ]=160MPa。 由稳定条件求此结构的极限荷载F 由稳定条件求此结构的极限荷载Fmax
π Fcr = Aσcr = A⋅
2
E
2 z
λ
= 89.5KN
例题：外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支， mm， 的钢管，两端铰支， 例题： Q235钢 试求： 材料为 Q235钢，承受轴向压力 F。试求： （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； 能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界 应力。 应力。
二， 欧拉公式的应用范围
只有在 σcr ≤ σF 的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的 的范围内， 临界力 Fcr（临界应力 σcr ）。
σcr = π
或
2
λ
E
2
≤σ P
λ≥
π E σ
2 P
令λ1 = π
E
σ
P
1，当 λ ≥ λ1（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用 大柔度压杆或细长压杆） 欧拉公式。 欧拉公式。 λ1 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可 的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢 E=206MPa， =200MPa， 取 E=206MPa，σF=200MPa，得
3 l = lmin =1.2m 4
4µl λ = = 2 2 = 75 < λ1 75< i D +d
a −σ S 304 − 240 λ2 = b = 1.12 = 57 < λ
用直线公式计算
µl
Fcr = Aσcr = (a − bλ) 4 (D − d ) =155.5KN
2 2
π
σ
临界压力是
活塞杆
D
F
d
活塞
活塞杆
D
F
d
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力应为
F = πD ⋅ F = 3980N 4
2
活塞杆
D
F
d
活塞
活塞杆承受的临界压力应为
F
cr
= nst ⋅ F = 23900 N
I i= A
把活塞的两端简化为铰支座。 把活塞的两端简化为铰支座。
µl λ= i
用试算法求直径 （1）先由 欧拉公式 求直径
2 2 2 2
i I i= A
λ=
µl
π E σ cr = 2 λ
2
F
Cr
= A⋅σ Cr
柔度（长细比）λ 越大，相应的 σcr 越小，压杆越容易 柔度（长细比） 越大， 越小， 失稳。 失稳。 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同， 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应 分别计算在各平面内失稳时的柔度 λ ，并按较大者计算 压杆的临界应力 σcr 。
π EI F = (µl)
2 cr
2
π EI = π F = (µl) (µl)
2 2 cr 2
Eπd 64
2
4
求得: 求得: d = 24.6mm。 24.6mm。
取 d = 25mm
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
µ⋅ l µ⋅ l λ= = = 200 d i 4
λ1 = π
E σP
= 97
由于 λ > λ1，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。 所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。
(D − d ) =
4 4
F ×5 − N ×2 = 0
2 F= N 5 (1004 −804 ) ×10−12 = 2.9×10−6 m4
C N π
（2） I =
A=
π
64
64 π 2
4
(D − d 2 ) =
π2
4
(1002 −802 ) ×10−6 = 2.8×10−3 m2
I 2.9×10−6 i= = = 0.032m −3 A 2.8×10
λ1 = π
E
σP
≈100
2， 当 λ ＜λ1 但大于某一数值 λ2 = a − σ s 的压杆不能应用欧拉 b 公式， 中等柔度的杆） 公式，用经验公式 σ cr = a − bλ （中等柔度的杆）
当 λ < λ2 （小柔度杆）时，按压缩的强度计算即
F σ cr = ≤ σ S A
临界应力总图
2、改变压杆的约束条件 、 细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比， 细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比， 所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。 所以增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。
比如采用稳定性比较好的约束方式， 比如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中 间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。 间增添支座，都可以有效的提高压杆的稳定性。
[N] =156kN
2 [F] = [N] = 62.4kN 5
§ 9 —6
提高压杆稳定性的措施
1.压杆的合理截面 1.压杆的合理截面
合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。
λ=
µl
i
i=
I A
所以在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比 较大的截面。比如空心杆等。
（1）
尽可能使I增大；（2） 尽可能使各方向λ值相等。
F
A 600 B
300
C
4m
解： 由平衡方程
F
F NAB = 2
A
NAC =
计算出
3F 2
B
600
300
C
4m
l
AB
= 2 3m
l
AC
= 2m
NAB
F
A
NAC
λP = π
E
F
σP
= 99
A 600 B
D i = = 0.02m 4
300
C
µ = l AB =173 > λP λAB i
λAC = µ l AC
λ
例题 ：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量 两端为球绞支的圆截面杆，
P 杆的直径d=100mm, E = 2.03×105 M Pa ,σ P = 300M a ，杆的直径d=100mm,
杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？ 杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？
解：
λP = π
i =100 > λP
NAB
4m
F
A
NAC
两杆都可用欧拉公式
例图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径 d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，
σP=200MPa， σs=240MPa，
E=206GPa，稳定 安全系数为nst=3。 试求容许荷截[F]。
A 2m
C 3m
F B
D
解：（1） 由杆ACB的平衡条件易求得外力 与CD杆轴向 ） 由杆 的平衡条件易求得外力F与 杆轴向 的平衡条件易求得外力 压力的关系为： 压力的关系为： xA A yA 2m F B 3m
§ 9 —4
欧拉公式的应用范围 • 经验公式
一、临界应力 1. 欧拉公式临界应力
压杆受临界力F 压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定 的平衡时，横截面上的压应力可按 的平衡时，
=
σ = F/A 计算。 计算。
F
cr
( µl)
π
2
EI
2
µ 为长度系数 µ l 为相当长度
Fcr π E I π E 2 π E π E σ cr = = = i = = 2 2 µl 2 (λ ) 2 A ( µl ) A ( µl ) ( ) i
z y
30mm
解：
λ1 = π
z y
E
σP
= 99
30mm
1 (0.03×0.023) I = y = 12 = 0.0058m iy A 0.03×0.02
= I z = 0.0087m iz A
µ y = 0.5
µz = 1
λHale Waihona Puke Baidu =
µy l iy
= 86
µz l =115 λz = iz
因为 λz > λy , 所以压杆绕 z 轴先失稳，且 λz =115 > λ1，用 轴先失稳， 欧拉公式计算临界力。 欧拉公式计算临界力。
E σP
=100
π(D4 − d4) I 1 64 i= = = D2 + d2 π(D2 − d2) 4 A 4 µl 4µl ≥ λP =100 λ= = 2 2 i D +d
100 0.052 + 0.042 =1.6m lmin = 4×1
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?