自主招生专题讲座三角函数(学生版)

2016年自主招生专题讲座三角函数
第一部分：考点清单
一、高考部分
1.三角函数概念、同角公式、诱导公式、图象和性质
2.三角公式：和、差、倍、半、万能公式、
3.正弦定理、余弦定理 、 二、自招部分
1.★射影定理B c C b a cos cos +=
2.★积化和差、★和差化积公式（你知道吗？）
3.★反三角函数
4. ★补充结论：（1）三倍角公式：=α3sin _____________ . =α3cos _____________ . （2）若20π
α<
<，则αααtan sin <<(你能证吗). （3）函数x x y sin =在),0(π上为减函数；函数x x y tan =在)2,0(π
上为增函数.
（4）面积公式：记ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，外接圆、内切圆半径分别为R,r ，半周长为2
c
b a p ++=
. 21112sin sin sin (sin sin sin )2224ABC a b c abc
S ah bh ch rp R A B C rR A B C R ∆=======++
=
))()((c p b p a p p --- (海伦公式)
第二部分：高考题真题对接
1．三角函数图象变换
例1.【2015湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2π
ϕϕ<<个单位后得到
函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3
x x π
-=，则ϕ=（ ）
A.
512π B.3π C.4π D.6
π 【答案】D.
2．三角变换公式（注意升降次公式）
例2.【2015湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|2
2
x
f x x x x =---+的零点个数为 ． 【答案】2 3．三角恒等变换
例3.（1）【2015重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则
3cos()
10sin()5
παπα-
=-（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 【答案】C
（2）【2015江苏，8】已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3
（3）.【2015四川，理12】=+ 75sin 15sin . 【答案】
6
2
. 4.解三角形 例4.（1）【2015新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（62-，6+2）
（2）.【2015湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北
30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.
【答案】6100
（3）.【2015重庆，理13】在△ABC 中，B =120o ，AB =2，A 的角平分线AD =3,则AC =_______. 【答案】6
例5.【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求
sin sin B
C
∠∠；(Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长．
【答案】(Ⅰ)
1
2
；(Ⅱ)1． 例6.【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,324
A A
B A
C π
=
== ,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.
5、三角等式证明
例7.【2015四川，理19】 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角. （1）证明：1cos tan
;2sin A A A
-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +===== 求tan
tan tan tan 2222
A B C D
+++的值. 【答案】（1）切化弦；（2
.
第三部分：自招真题讲解
一、三角函数的求值与化简
例1.（04同济）设θ是第二象限角，3sin 5θ=，则57sin(2)8
π
θ-=
例2.（01复旦）1
sec50cot10
+=
例3．（10清华）求444sin 10sin 50sin 70++的值. 答案：
98
变式：2
2
sin 10cos 40sin10cos 40++ 答案：34
例4.（11卓约2）2.已知sin 2()sin 2,r n αβ+=则
tan()
tan()
αβγαβγ++=-+( )
A.
11n n -+ B. 1n n + C .1n n - D.1
1n n +- 答案：D
A
例5.（13华约）已知⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=+51cos cos 3
1sin sin y x y x ，求)sin(),cos(y x y x -+ 。

答案：10815
cos(),sin()22517
x y x y +=-=-
例6．（13北约）对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326
---的值．
答案：10
例7．（12卓越）函数cos ()2sin y θ
θθ
=
∈+R 的值域是__________.
答案：[
例8．（11华约4）若222cos cos 3
A B A B π
+=
+，则的最小值和最大值分别为 (
) 3A.12 13
B.,22
C.1
1D ,122 .+
答案：B
例9．（12华约）三角式
1cos 0cos1+1
cos1cos 2
+
+
1
cos88cos89
化简为（ ）
A.cot1csc1
B. tan1csc1
C. cot1s c1e
D. tan1s c1e
答案：A
二、三角形中的三角函数 例10．（13卓越）在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知
()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小； （2）求sin sin A B ⋅的最大值．
答案：（1）3
C π
=，（2）max 3(sin sin )4
A B ⋅=
例11．（12北约）设,,A B C 为边长为1的正三角形三边上各一点，求222AB BC CA ++的最小值. 答案：3
4
例12．（12北约4）如果锐角ABC ∆的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离比。

答案：::cos :cos :cos a b c d d d A B C =.
例13．（12华约）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知22sin 1cos22
A B
C +=+. （1）求C 的大小；
（2）若22222c b a =-，求cos2cos2A B -的值. 答案：
23π，34
例14．（12华约13）已知锐角ABC ∆，BE 垂直AC 于E ，CD 垂直AB 于D ，BC=25,CE=7,BD=15,若BE ，CD 交于点H ，连接DE ，以DE 为直径画圆，该圆与AC 交于另一点F ，求AF 的长度。

答案：9
例15．（11卓约12）12.在ABC ∆中,2,AB AC AD =是角A 的平分线,且AD =(1)求k 的取值范围;
(2)若1ABC S ∆=,问k 为何值时,
BC 最短? 答案：4
03
k <<
例16．（11北约4）ABC ∆的三边,,a b c 满足2a b c +≥.求证：60C ≤. 答案：利用余弦定理及均值定理可以证明。

例17．（11华约11）已知ABC ∆不是直角三角形.
（1）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；
（2tan tan 1tan B C C A +-=
，且sin 2,sin 2,sin 2A B C 的倒数成等差数列，求cos 2
A C
-的值.
答案：（2）1
例18．（10华约11）在ABC ∆中，已知2
2sin cos 212
A B
C ++=，外接圆半径2R =． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值．
答案：3
C π
=，
例19．（10华约5）在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan
tan 22
A C
的值为（ ）
（A ）
15 （B ）14 （C ）12 （D ）2
3 答案：C
三、三角函数的图象与性质
例20． (12清华保送)()2(sin 2)cos sin 32
f x x x x =+-，且[0,2]x π∈，（1）求函数()f x 的最
大值与最小值；（2）求方程()f x =
答案：（1）2,2- （2）0,,23
π
π
例21． (13华约)已知()f x 就定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()f x 单调递增，(1)0f -=.设2
()sin cos 2x x m x m ϕ=+-，{|M m =对任意[0,
],()0}2
x x π
ϕ∈<， {|N m =对任意
[0,],(())0}2
x f x π
ϕ∈<，求M N ⋂.
答案：M N ⋂{|m =对任意[0,],()1}2
x x π
ϕ∈<-{|4m m =>-
例22．(12卓越)设()sin(),(0,)f x x R ωϕωϕ=+>∈，若存在常数(0)T T <，使()()f x T Tf x +=恒成立，则ω可取到的最小值为_______________ . 答案：min ωπ=
四、三角函数的综合问题 例23．（12北约7）求使得sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的a .
答案： 2
x π
∴=
例24．（10北约）1．（仅文科做）02
απ
<<，求证：sin tan ααα<<． （仅理科做）存不存在02
x π
<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．
例25．已知奇函数()f x 的定义域为全体实数，且当0x ≥时，()0f x '>，问是否存在这样的实数λ，使得(cos 23)(42cos )(0)f f f θλλθ-+->对所有[0,]2
π
θ∈均成立？若存在，则求出适合条件
的实数λ；若不存在，试说明理由。

例26．（14华约）已知函数()sin )sin()2sin ,(0)4
f x x x x a x b a π
=-+-+>有最大值1和最小值4，求,a b 的值. 答案：5
,14
a b ==-
第三部分：巩固练习
1.（11卓越）已知sin 2()sin 2n αγβ+=，则tan()
tan()αβγαβγ++=-+（ ）
A. 11n n -+
B. 1n n +
C. 1n n -
D. 1
1
n n +- 答案：D
2.（10复旦）设,[,]22ππ
αβ∈-，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是（ ）
A. [
B. [-
C.
D. 答案：D
3.（04上交）函数)2y x π
=≤≤的值域是___________.
答案：
4．（04复旦）设12,x x 是方程233
sin cos 055
x x ππ-+=的两个实数解，那么
12arctan arctan x x +=___________.
答案：5
π
5.（05复旦）函数1sin 2cos x
y x
+=+的最大值是__________.
答案：43
6.（04复旦）已知124sin(),sin()135αβαβ+=-=-，且0,0,2
π
αβαβ>>+<,求tan2α. 答案：16
63
7．(05复旦)在△ABC 中，已知tan :tan :tan 1:2:3A B C =，求
AC
AB
.
答案：
3
8．(05复旦)已知sin cos (0a a αα+=≤≤，求sin cos n n αα+关于α的表达式.
答案：n n
+ 9.（06复旦）解三角方程：sin()sin 294a x x π
+=+，其中a 为实常数.
答案：提示：化简为42()a t t
=+在[1,1]-上有解，再用勾勾函数写解集。

10.（06清华）已知sin ,sin ,cos θαθ成等差数列，sin ,sin ,cos θβθ成等比数列，求1
cos2cos22
αβ-的
值.
答案：0
11.（06清华）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，它们所对的边分别为a 、b 、c ，求证： 2cos cos 4sin 2
a A
B C b c ++
≥+. 答案：和差化积，再用均值定理。

12.（08清华）已知sin cos θθ+θ的取值范围. 答案：3[2,
2],4
4
k k k Z π
π
ππ-
++∈。