合数的约数个数及总和

合数的约数个数及总和

一个合数的全部约数，等于它的质因数分解式中不同质因数的指数加1的连

乘积，即若自然数N分解质因数的结果是N＝P

1r1·P

2

r2……P

n

rn(P

1

、P

2

……P

n

为互

不相同的质数，r

1、r

2

…r

n

为自然数，分别为P

1

、P

2

……P

n

的指数)，那么N的约

数的个数是：（r

1＋1）×（r

2

＋1）×…×（r

n

＋1）

N的所有约数的和是：

（1＋p

1＋p

1

2＋…＋p

1

r1）×（1＋p

2

＋p

2

2＋…＋p

2

r2）×…×（1＋p

n

＋p

n

2＋…＋

p

n

rn）

1．把下列各数写成质因数相乘的形式，并指出它们分别有多少个两位数的约数。

(1)146 (2)255 (3)360 (4)400

2．已知自然数B有2个约数，那么3B有多少个约数?

3．求165有多少个约数，这些约数的和为多少?

4．有9个不同约数的自然数中，最小的一个是多少?

5．长和宽为自然数，面积为180的形状不同的长方形共有多少种？

6．在100—300之间的自然数中有多少个数，它们的约数个数为奇数个?

7．若一个自然数N分解质因数为N=2× 3×7，式中r、p为自然数，问N共有多少个约数?

8．房间里有100盏电灯，并且编号号码为1，2，3……100，每盏灯上有一个拉线开关，开始时电灯全都是关的，100位同学由房间外逐个走进去，第一位同学把编号是1的倍数的灯的开关拉动一下，第二位同学把编号是2的倍数的灯的开关拉动一下，第三位同学把编号是3的倍数的灯的开关拉动一下……第100位同学把编号是100的倍数的灯的开关拉动一下，这时房间里有哪些号码的灯是亮的？

9．参加团体操比赛的共有若干人，如果每行12人或16人或18 人都正好是整行，求参加体操比赛的学生至少有多少人?

10．某汽车站有甲、乙、丙开往三地的汽车通过，甲车每隔15分钟开过此站，乙车每隔10分钟开过此站，丙车每隔12分钟开过此站，现三辆汽车在同一时刻从此站开过后再过多长时间又同时从此站开过?

11．在一条笔直的公路的一边每隔80米插一根旗杆，甲、乙两人同时从起点出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，记时表每走一分钟都要敲一下，比赛以谁能在表敲响时恰好走到旗杆旁谁为胜，问谁胜?另外一个人走了多少米?

12．加工机器零件，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时完成3个，第二道工序每个工人每小时完成12个，第三道工序每个工人每小时完成8个，要使生产顺利进行，又不浪费人力、时间，三道工序至少各分配多少人?

13．两个数的最大公约数为3，最小公倍数是165，求这两个数的差最小为多少?

14．已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数。

15．已知两个数不是互为约倍关系，它们的最小公倍数是最大公约数的6倍，求此二数中大数是小数的几倍?

16．大雪后的一天，甲、乙二人用步测的方法测一个花圃的周长，甲每步长54厘米，乙每步长72厘米，他俩起点和走的方向完全相同，由于两人脚印有重合，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圃的周长。